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L'essentiel :
- Conditionnelle : \(P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\), avec \(P(A)\ne 0\).
- Intersection : \(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A)\). En général \(P_A(B)\ne P_B(A)\).
- Indépendance : \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\), ce qui équivaut à \(P_B(A)=P(A)\).
- Arbre pondéré : chemin = produit des branches ; événement = somme des chemins. À chaque nœud, les branches totalisent \(1\).
- Un contre-exemple ne s'applique pas ici, mais attention : incompatibles \(\ne\) indépendants.
Définitions clés
Définition
Probabilité conditionnelle : \(P_A(B)\) est la probabilité de \(B\) sachant \(A\), donnée par \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\).
Définition
Indépendance : \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\). Alors savoir que \(B\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(A\).
Définition
Partition de \(\Omega\) : événements \(A_1,\dots,A_n\) deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\), tous de probabilité non nulle. Cas simple : \(\{A,\overline{A}\}\).
Définition
Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues, succès \(S\) (probabilité \(p\)) et échec \(\overline{S}\) (probabilité \(1-p\)). Sa répétition \(n\) fois (\(n\le 4\), indépendante) se représente par un arbre à \(n\) niveaux.
À connaître par cœur
Probabilité conditionnelle
\[P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\]
Probabilité d'une intersection
\[P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B) = P(B)\,P_B(A)\]
Indépendance
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]
Formule des probabilités totales
\[P(B) = \sum_i P(A_i)\,P_{A_i}(B)\]
\[\text{cas } \{A,\overline{A}\}:\ P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)\]
Arbre pondéré — règles de lecture
- Premier niveau = une partition de l'univers.
- Probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches.
- Probabilité d'un événement = somme des chemins qui le réalisent.
- À chaque nœud, la somme des branches issues vaut \(1\).
Indépendance — à retenir
- Si \(A\) et \(B\) indépendants, alors \(A\) et \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) et \(B\), \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) le sont aussi.
- « Avec remise » → tirages indépendants ; « sans remise » → tirages dépendants.
- Deux épreuves indépendantes : \(P(\text{r}_1\text{ puis r}_2)=P(\text{r}_1)\times P(\text{r}_2)\).
Méthode — Résoudre avec un arbre
Méthode — Arbre pondéré
- Repérer la partition du 1er niveau (souvent \(\{A,\overline{A}\}\)).
- Pondérer les branches (conditionnelles au-delà du 1er niveau).
- Chemin → multiplier ; événement → additionner les chemins.
- Pour une conditionnelle « à rebours » \(P_B(A)\) : calculer \(\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) après avoir trouvé \(P(B)\) par les probabilités totales.
Méthode — Répétition de Bernoulli
- Identifier le succès \(S\) et \(p\).
- Dessiner l'arbre à \(n\) niveaux, repérer les chemins favorables.
- « Au moins un succès » → passer par le contraire « aucun succès » = \((1-p)^n\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Confondre indépendance et incompatibilité.
✅ Incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\) ; indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
❌ Écrire \(P_A(B)=P_B(A)\).
✅ En général ces deux conditionnelles sont différentes.
❌ Une somme de branches \(\ne 1\) à un nœud.
✅ Les branches issues d'un même nœud totalisent \(1\).
❌ Traiter un tirage « sans remise » comme indépendant.
✅ Sans remise → la 2e probabilité est conditionnelle.
Exemple rapide
Exemple — probabilités totales
\(M_1\) produit \(60\%\) des pièces (défaut \(2\%\)), \(M_2\) produit \(40\%\) (défaut \(5\%\)).
- \(P(M_1\cap D)=0{,}6\times0{,}02=0{,}012\).
- \(P(M_2\cap D)=0{,}4\times0{,}05=0{,}020\).
- \(P(D)=0{,}012+0{,}020=0{,}032\) (somme des chemins vers \(D\)).