Probabilités conditionnelles et indépendance | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Dans un club de \(200\) adhérents, \(120\) sont des femmes (\(F\)). Parmi les femmes, \(90\) pratiquent la natation (\(N\)) ; au total, \(140\) adhérents pratiquent la natation.
1. Compléter le tableau croisé des effectifs.
2. On tire un adhérent au hasard. Calculer \(P(F)\), \(P(N)\) et \(P(F\cap N)\).
3. Calculer \(P_F(N)\) et interpréter.
1. Hommes : \(200-120=80\). Natation chez les femmes : \(90\), donc chez les hommes : \(140-90=50\). Non-nageurs : \(60\) au total (\(30\) femmes, \(30\) hommes).
2. \(P(F)=\tfrac{120}{200}=0{,}6\) ; \(P(N)=\tfrac{140}{200}=0{,}7\) ; \(P(F\cap N)=\tfrac{90}{200}=0{,}45\).
3. \(P_F(N)=\dfrac{P(F\cap N)}{P(F)}=\dfrac{0{,}45}{0{,}6}=0{,}75\) : parmi les femmes, \(75\%\) pratiquent la natation.
On donne \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}2\).
1. Calculer \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).
2. Calculer \(P(A\cup B)\).
3. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
1. \(P_A(B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\) ; \(P_B(A)=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\).
2. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7\).
3. \(P(A)\times P(B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2=P(A\cap B)\) : oui, \(A\) et \(B\) sont indépendants.
On lance deux dés équilibrés distincts. Soit \(A\) = « le premier dé donne \(6\) » et \(B\) = « le second dé donne un nombre pair ».
1. Donner \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A\cap B)\).
2. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier.
3. Mêmes questions avec \(C\) = « la somme des deux dés vaut \(7\) » et \(A\).
1. \(P(A)=\tfrac16\) ; \(P(B)=\tfrac12\) ; les dés sont distincts donc \(P(A\cap B)=\tfrac16\times\tfrac12=\tfrac{1}{12}\).
2. \(P(A)P(B)=\tfrac16\times\tfrac12=\tfrac{1}{12}=P(A\cap B)\) : oui, indépendants.
3. \(P(C)=\tfrac{6}{36}=\tfrac16\) (les couples de somme \(7\)). \(A\cap C\) = « premier dé \(=6\) et somme \(=7\) » = \((6\,;1)\), donc \(P(A\cap C)=\tfrac{1}{36}\). Or \(P(A)P(C)=\tfrac16\times\tfrac16=\tfrac{1}{36}\) : oui, \(A\) et \(C\) sont aussi indépendants.
Une entreprise reçoit ses composants de deux fournisseurs : \(70\%\) proviennent du fournisseur \(F_1\), le reste de \(F_2\). Le taux de composants défectueux est de \(3\%\) chez \(F_1\) et de \(6\%\) chez \(F_2\). On note \(D\) l'événement « le composant est défectueux ».
1. Construire l'arbre pondéré de la situation.
2. Calculer \(P(F_1\cap D)\) et \(P(F_2\cap D)\).
3. En déduire \(P(D)\).
1. Premier niveau : \(F_1\) (0,7) et \(F_2\) (0,3). Second niveau : \(D\) / \(\overline{D}\) avec 0,03 et 0,97 sous \(F_1\) ; 0,06 et 0,94 sous \(F_2\).
2. \(P(F_1\cap D)=0{,}7\times 0{,}03=0{,}021\) ; \(P(F_2\cap D)=0{,}3\times 0{,}06=0{,}018\).
3. \(P(D)=0{,}021+0{,}018=0{,}039\), soit \(3{,}9\%\).
Une urne contient \(4\) boules rouges et \(6\) boules bleues. On tire successivement deux boules.
1. Avec remise : calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.
2. Sans remise : calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.
3. Dans le cas sans remise, calculer la probabilité de tirer exactement une rouge.
1. Tirages indépendants : \(P=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{4}{10}=\dfrac{16}{100}=0{,}16\).
2. Tirages dépendants : \(P=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}\approx 0{,}133\).
3. Chemins « rouge puis bleue » et « bleue puis rouge » : \(\dfrac{4}{10}\times\dfrac{6}{9}+\dfrac{6}{10}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{48}{90}=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}533\).
Un joueur de basket réussit un lancer franc avec probabilité \(0{,}7\). Il effectue \(3\) lancers indépendants.
1. Probabilité de réussir les trois lancers.
2. Probabilité de réussir exactement deux lancers.
3. Probabilité de réussir au moins un lancer.
1. \(P(\text{RRR})=0{,}7^3=0{,}343\).
2. Chemins RRÉ, RÉR, ÉRR, chacun \(0{,}7\times0{,}7\times0{,}3=0{,}147\). Total : \(3\times 0{,}147=0{,}441\).
3. Contraire « aucun » = ÉÉÉ de probabilité \(0{,}3^3=0{,}027\). Donc \(P(\text{au moins un})=1-0{,}027=0{,}973\).
Un test de dépistage détecte une maladie. Dans une population, \(2\%\) des personnes sont malades (\(M\)). Le test est positif (\(T\)) dans \(95\%\) des cas chez un malade, et positif à tort dans \(4\%\) des cas chez une personne saine.
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer \(P(T)\), la probabilité qu'un test soit positif.
3. Calculer \(P_T(M)\), la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Commenter.
1. Niveau 1 : \(M\) (0,02) et \(\overline{M}\) (0,98). Niveau 2 : \(P_M(T)=0{,}95\), \(P_{\overline{M}}(T)=0{,}04\).
2. \(P(T)=P(M)P_M(T)+P(\overline{M})P_{\overline{M}}(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}04=0{,}019+0{,}0392=0{,}0582\).
3. \(P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}0582}\approx 0{,}327\), soit environ \(33\%\). Malgré un test fiable, un positif n'est malade que dans un tiers des cas : c'est l'effet de la rareté de la maladie.
Une usine fabrique des ampoules sur trois chaînes de production. La chaîne \(A_1\) fournit \(50\%\) de la production, \(A_2\) fournit \(30\%\) et \(A_3\) fournit \(20\%\). Le taux d'ampoules non conformes (\(N\)) est de \(2\%\) sur \(A_1\), \(4\%\) sur \(A_2\) et \(5\%\) sur \(A_3\). On prélève une ampoule au hasard.
1. Justifier que \(\{A_1, A_2, A_3\}\) forme une partition de l'univers.
2. Construire l'arbre pondéré et calculer \(P(A_1\cap N)\), \(P(A_2\cap N)\), \(P(A_3\cap N)\).
3. En déduire \(P(N)\), le taux global d'ampoules non conformes.
4. Une ampoule prélevée est non conforme. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la chaîne \(A_3\) ?
1. Toute ampoule provient d'exactement une chaîne : les \(A_i\) sont deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\) et de probabilités non nulles (\(0{,}5\ ;\ 0{,}3\ ;\ 0{,}2\), de somme \(1\)). C'est bien une partition.
2. \(P(A_1\cap N)=0{,}5\times0{,}02=0{,}010\) ; \(P(A_2\cap N)=0{,}3\times0{,}04=0{,}012\) ; \(P(A_3\cap N)=0{,}2\times0{,}05=0{,}010\).
3. Formule des probabilités totales : \(P(N)=0{,}010+0{,}012+0{,}010=0{,}032\), soit \(3{,}2\%\).
4. \(P_N(A_3)=\dfrac{P(A_3\cap N)}{P(N)}=\dfrac{0{,}010}{0{,}032}=0{,}3125\), soit environ \(31{,}3\%\).