Chapitre 8 | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:43
Le produit scalaire est un nouvel outil métrique puissant pour résoudre des problèmes de géométrie : il permet de caractériser l'orthogonalité, de calculer des longueurs et des angles. On l'introduit par la projection orthogonale et par la formule avec le cosinus, puis on établit ses propriétés (bilinéarité, symétrie), son expression en base orthonormée, et la formule d'Al-Kashi. Prérequis : vecteurs (somme, produit par un réel, colinéarité), norme et coordonnées en repère orthonormé, trigonométrie (cosinus) et théorème de Pythagore.
Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non nuls faisant un angle \(\theta\). Leur produit scalaire est le réel :
\[\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos\theta.\]Si l'un des vecteurs est nul, on pose \(\vec u \cdot \vec v = 0\). Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
Deux vecteurs issus de \(O\) et l'angle \(\theta\) qu'ils forment : \(\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\). Le signe du produit scalaire est celui de \(\cos\theta\).
Soit \(\vec u = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec v = \overrightarrow{AC}\). En notant \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\) :
\[\vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overline{AB} \times \overline{AH},\]produit des mesures algébriques : positif si \(H\) est du même côté que \(B\) par rapport à \(A\), négatif sinon. Les deux définitions coïncident.
\(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\). Le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) vaut \(\overline{AB}\times\overline{AH}\).
Pour tout vecteur \(\vec u\) : \(\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2\) (car \(\theta = 0\) et \(\cos 0 = 1\)). On le note \(\vec u^{\,2}\).
\(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta = 4 \times 3 \times \cos 60° = 12 \times \tfrac12 = 6.\)
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux si et seulement si :
\[\vec u \cdot \vec v = 0.\]En effet, pour des vecteurs non nuls, \(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff \theta = \tfrac{\pi}{2}\). Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
Vecteurs orthogonaux (\(\theta = \tfrac{\pi}{2}\)) : \(\cos\theta = 0\) donc \(\vec u \cdot \vec v = 0\).
\(\vec u \cdot \vec v = 0\) n'implique pas \(\vec u = \vec 0\) : deux vecteurs non nuls peuvent être orthogonaux. Le produit scalaire nul traduit l'orthogonalité, pas la nullité.
Pour tous vecteurs \(\vec u,\ \vec v,\ \vec w\) et tout réel \(k\) :
Ces règles permettent de développer les produits scalaires comme un calcul algébrique ordinaire.
On développe \((\vec u + \vec v)\cdot(\vec u - \vec v)\) comme une identité remarquable :
\[(\vec u + \vec v)\cdot(\vec u - \vec v) = \vec u\cdot\vec u - \vec u\cdot\vec v + \vec v\cdot\vec u - \vec v\cdot\vec v = \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2.\]\((\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) = \vec u\cdot\vec u + \vec u\cdot\vec v + \vec v\cdot\vec u + \vec v\cdot\vec v\). Par symétrie \(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\), donc :
\(\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2.\)
Dans un repère orthonormé, si \(\vec u\,(x\,;y)\) et \(\vec v\,(x'\,;y')\), alors :
\[\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'.\]En conséquence :
\[\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \vec u \perp \vec v \iff xx' + yy' = 0.\]La formule \(\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'\) est la somme des produits des coordonnées (pas le produit des sommes), et elle n'est valable qu'en base orthonormée.
Avec \(\vec u\,(3\,;-2)\) et \(\vec v\,(4\,;6)\) : \(\vec u \cdot \vec v = 3\times 4 + (-2)\times 6 = 12 - 12 = 0\). Les vecteurs sont donc orthogonaux.
Dans une base orthonormée \((\vec\imath\,;\vec\jmath)\), les coordonnées d'un vecteur \(\vec u\,(x\,;y)\) s'expriment à l'aide de produits scalaires :
\[x = \vec u \cdot \vec\imath \qquad\text{et}\qquad y = \vec u \cdot \vec\jmath.\]Autrement dit, la coordonnée d'un vecteur sur un axe s'obtient en effectuant le produit scalaire avec le vecteur unitaire de cet axe.
On écrit \(\vec u = x\,\vec\imath + y\,\vec\jmath\) et on développe par bilinéarité :
\[\vec u \cdot \vec\imath = (x\,\vec\imath + y\,\vec\jmath)\cdot\vec\imath = x\,(\vec\imath\cdot\vec\imath) + y\,(\vec\jmath\cdot\vec\imath) = x \times 1 + y \times 0 = x,\]car la base est orthonormée : \(\vec\imath\cdot\vec\imath = \|\vec\imath\|^2 = 1\) et \(\vec\jmath\cdot\vec\imath = 0\) (vecteurs orthogonaux). De même, \(\vec u \cdot \vec\jmath = y\). \(\qquad\blacksquare\)
Remarque. On retrouve ainsi la formule \(\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'\) : il suffit de développer \((x\,\vec\imath + y\,\vec\jmath)\cdot(x'\,\vec\imath + y'\,\vec\jmath)\) par bilinéarité.
\(\vec u \cdot \vec v = 2\times(-3) + 5\times 1 = -6 + 5 = -1\).
\(\|\vec u\| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\).
Pour tous vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) :
\[\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2,\] \[\|\vec u - \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 - 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2.\]Ces identités remarquables (analogues à \((a \pm b)^2\)) permettent de calculer un produit scalaire à partir des normes :
\[\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\Big(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\Big) = \tfrac12\Big(\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 - \|\vec u - \vec v\|^2\Big).\]Par polarisation : \(\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\big(\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 - \|\vec u - \vec v\|^2\big) = \tfrac12(25 + 9 - 16) = \tfrac12 \times 18 = 9.\)
Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) les longueurs des côtés et \(\widehat{A}\) l'angle en \(A\) :
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}.\]C'est la généralisation du théorème de Pythagore, que l'on retrouve si \(\widehat{A} = \tfrac{\pi}{2}\), car \(\cos\tfrac{\pi}{2} = 0\).
On écrit \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\). Alors :
\[a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2.\]En développant avec l'identité de la norme :
\[a^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2 = b^2 - 2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + c^2.\]Or \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = \|\overrightarrow{AC}\|\,\|\overrightarrow{AB}\|\cos\widehat{A} = bc\cos\widehat{A}\). D'où :
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}. \qquad\blacksquare\]Dans un triangle, \(b = 5\), \(c = 7\) et \(\widehat{A} = 60°\). Alors :
\[a^2 = 25 + 49 - 2\times 5 \times 7 \times \cos 60° = 74 - 70 \times \tfrac12 = 39,\]donc \(a = \sqrt{39} \approx 6{,}24\).
Dans Al-Kashi, il faut bien associer l'angle \(\widehat{A}\) au côté opposé \(a\). Le terme correcteur est \(-2bc\cos\widehat{A}\) : si l'angle est obtus, \(\cos\widehat{A}\lt 0\) et ce terme augmente \(a^2\).
\(a^2 = 16 + 36 - 2\times 4 \times 6 \times \cos 120° = 52 - 48 \times\big(-\tfrac12\big) = 52 + 24 = 76\). Donc \(a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72\).
Exemple résolu. Si \(\|\vec u\| = 3\), \(\|\vec v\| = 5\) et \(\vec u \cdot \vec v = 9\), alors \(\cos\theta = \dfrac{9}{15} = 0{,}6\), donc \(\theta = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1°\).
Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts. L'ensemble des points \(M\) du plan tels que
\[\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\]est le cercle de diamètre \([AB]\).
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont orthogonaux, c'est-à-dire que le triangle \(AMB\) est rectangle en \(M\) (ou que \(M \in \{A, B\}\)). Or l'ensemble des points \(M\) voyant \([AB]\) sous un angle droit est exactement le cercle de diamètre \([AB]\). \(\qquad\blacksquare\)
Tout point \(M\) du cercle de diamètre \([AB]\) (sauf \(A\) et \(B\)) voit \([AB]\) sous un angle droit : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\).
C'est le cercle de diamètre \([AB]\), de centre \(O(0\,;0)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(\dfrac{AB}{2} = 3\). Son équation est \(x^2 + y^2 = 9\).
| On dispose de… | Formule à utiliser |
|---|---|
| coordonnées | \(\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'\) |
| normes et angle | \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\) |
| une projection orthogonale | \(\overline{AB}\times\overline{AH}\) |
| trois normes | identité de polarisation |
Fonctions de base pour le produit scalaire, la norme et l'angle en repère orthonormé :
from math import sqrt, acos, degrees
def produit_scalaire(u, v):
return u[0]*v[0] + u[1]*v[1]
def norme(u):
return sqrt(u[0]**2 + u[1]**2)
def angle_degres(u, v):
"""Angle (en degrés) entre deux vecteurs non nuls."""
c = produit_scalaire(u, v) / (norme(u) * norme(v))
return degrees(acos(c))
u = (3, 1)
v = (1, 3)
print(produit_scalaire(u, v)) # 6
print(round(angle_degres(u, v), 1)) # 53.1❌ Croire que le produit scalaire est un vecteur.
✅ Le produit scalaire est un nombre réel.
❌ Utiliser \(xx' + yy'\) dans une base quelconque.
✅ Cette formule n'est valable qu'en base orthonormée.
❌ Oublier le signe du cosinus pour un angle obtus.
✅ Si l'angle est obtus, le produit scalaire est négatif.
❌ Mal associer l'angle et le côté dans Al-Kashi.
✅ L'angle \(\widehat{A}\) est opposé au côté \(a\) ; terme correcteur \(-2bc\cos\widehat{A}\).
❌ Croire que \(\vec u \cdot \vec v = 0\) impose \(\vec u = \vec 0\).
✅ Deux vecteurs non nuls peuvent être orthogonaux.