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L'essentiel :
- Le produit scalaire est un nombre réel : \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta = xx' + yy'\) (base orthonormée).
- Orthogonalité : \(\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0\).
- On développe les produits scalaires comme en algèbre (symétrie + bilinéarité).
- Al-Kashi généralise Pythagore : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\).
- \(\{M \mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\}\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
Définitions clés
Définition
Produit scalaire (normes et angle) : pour \(\vec u,\vec v\) non nuls d'angle \(\theta\), \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\). Le signe est celui de \(\cos\theta\).
Définition
Projeté orthogonal : si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\), alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overline{AB}\times\overline{AH}\).
Définition
Carré scalaire : \(\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2\), noté \(\vec u^{\,2}\).
Définition
Coordonnées (base orthonormée) : si \(\vec u\,(x\,;y)\) et \(\vec v\,(x'\,;y')\), alors \(\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'\) et \(\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
À connaître par cœur
Trois expressions du produit scalaire
\[\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta = xx' + yy' = \overline{AB}\times\overline{AH}\]
Orthogonalité
\[\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0 \iff xx' + yy' = 0\]
Identités des normes
\[\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2\]
\[\|\vec u - \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 - 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2\]
Polarisation
\[\vec u\cdot\vec v = \tfrac12\big(\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 - \|\vec u - \vec v\|^2\big)\]
Formule d'Al-Kashi
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\]
Propriétés à connaître
- Symétrie : \(\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u\).
- Bilinéarité : \(\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u\cdot\vec v + \vec u\cdot\vec w\) et \((k\vec u)\cdot\vec v = k(\vec u\cdot\vec v)\).
- Cercle de diamètre \([AB]\) : \(\{M \mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\}\).
Méthode — Choisir et appliquer
Méthode — Choisir la bonne formule
- On a les coordonnées → \(xx' + yy'\).
- On a les normes et l'angle → \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\).
- On a une projection → \(\overline{AB}\times\overline{AH}\).
- On a trois normes → identité de polarisation.
Méthode — Calculer un angle
- Calculer \(\vec u\cdot\vec v\), \(\|\vec u\|\), \(\|\vec v\|\).
- \(\cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\).
- \(\theta = \arccos(\cos\theta)\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Écrire un vecteur comme résultat d'un produit scalaire.
✅ Le produit scalaire est un nombre réel.
❌ Utiliser \(xx' + yy'\) hors d'une base orthonormée.
✅ Cette formule n'est valable qu'en base orthonormée.
❌ Oublier le signe du cosinus pour un angle obtus.
✅ Angle obtus → produit scalaire négatif.
❌ Mal placer l'angle dans Al-Kashi.
✅ \(\widehat{A}\) est opposé au côté \(a\) ; terme \(-2bc\cos\widehat{A}\).
Exemple rapide
Exemple — un énoncé, plusieurs outils
\(\vec u\,(3\,;-2)\) et \(\vec v\,(4\,;6)\) en base orthonormée.
- \(\vec u\cdot\vec v = 3\times 4 + (-2)\times 6 = 12 - 12 = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux.
- \(\|\vec u\| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
- Angle : \(\cos\theta = 0\), donc \(\theta = 90°\).