Calcul vectoriel et produit scalaire | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Dans un repère orthonormé, on donne \(\vec u\,(2\,;3)\) et \(\vec v\,(-1\,;4)\).
1. Calculer \(\vec u \cdot \vec v\).
2. Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).
1. \(\vec u \cdot \vec v = 2\times(-1) + 3\times 4 = -2 + 12 = 10\).
2. \(\|\vec u\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) et \(\|\vec v\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}\).
1. Montrer que \(\vec u\,(6\,;-4)\) et \(\vec v\,(2\,;3)\) sont orthogonaux.
2. Déterminer le réel \(m\) pour que \(\vec a\,(3\,;m)\) et \(\vec b\,(m\,;-6)\) soient orthogonaux.
1. \(\vec u \cdot \vec v = 6\times 2 + (-4)\times 3 = 12 - 12 = 0\), donc \(\vec u \perp \vec v\).
2. \(\vec a \cdot \vec b = 3m + m\times(-6) = 3m - 6m = -3m\). L'orthogonalité impose \(-3m = 0\), soit \(m = 0\).
Deux vecteurs vérifient \(\|\vec u\| = 6\), \(\|\vec v\| = 4\).
1. Calculer \(\vec u \cdot \vec v\) lorsque l'angle vaut \(\theta = 45°\) (valeur exacte).
2. Calculer \(\vec u \cdot \vec v\) lorsque \(\theta = 150°\).
1. \(\vec u \cdot \vec v = 6\times 4 \times \cos 45° = 24 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97\).
2. \(\cos 150° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\vec u \cdot \vec v = 24 \times \big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\big) = -12\sqrt{3} \approx -20{,}78\) (angle obtus : produit scalaire négatif).
Deux vecteurs vérifient \(\|\vec u\| = 3\), \(\|\vec v\| = 5\) et \(\vec u \cdot \vec v = 9\).
1. Calculer \(\cos\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\).
2. En déduire une valeur approchée de \(\theta\) au dixième de degré.
1. \(\cos\theta = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{9}{3\times 5} = \dfrac{9}{15} = 0{,}6\).
2. \(\theta = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1°\).
Dans un repère orthonormé, \(A(0\,;0)\), \(B(4\,;0)\) et \(C(1\,;3)\).
1. Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ? Justifier.
1. \(\overrightarrow{AB}(4\,;0)\) et \(\overrightarrow{AC}(1\,;3)\).
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\times 1 + 0\times 3 = 4 \ne 0\). Le triangle n'est pas rectangle en \(A\).
1. Dans un triangle, \(b = 4\), \(c = 6\) et \(\widehat{A} = 120°\). Calculer \(a\).
2. Dans un triangle, \(b = 7\), \(c = 8\) et \(a = 9\). Calculer \(\cos\widehat{A}\), puis \(\widehat{A}\) au dixième de degré.
1. \(a^2 = 16 + 36 - 2\times 4\times 6 \times \cos 120° = 52 - 48\times\big(-\tfrac12\big) = 76\), donc \(a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72\).
2. Al-Kashi donne \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\), soit \(81 = 49 + 64 - 112\cos\widehat{A}\), donc \(112\cos\widehat{A} = 32\) et \(\cos\widehat{A} = \dfrac{32}{112} = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}286\). D'où \(\widehat{A} \approx 73{,}4°\).
1. On sait que \(\|\vec u\| = 4\), \(\|\vec v\| = 3\) et \(\vec u \cdot \vec v = -5\). Calculer \(\|\vec u + \vec v\|^2\).
2. On sait que \(\|\vec u\| = 6\), \(\|\vec v\| = 5\) et \(\|\vec u + \vec v\| = 9\). Calculer \(\vec u \cdot \vec v\) par polarisation.
1. \(\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2 = 16 + 2\times(-5) + 9 = 15\).
2. \(\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\big(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\big) = \tfrac12(81 - 36 - 25) = \tfrac12\times 20 = 10\).
Dans un repère orthonormé, on considère \(A(-2\,;0)\), \(B(2\,;0)\) et \(C(0\,;2)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\) en \(C\).
2. Déterminer l'ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M\) du plan tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\). Donner son centre, son rayon et son équation.
3. Le point \(C\) appartient-il à \(\mathcal{E}\) ? Ce résultat est-il cohérent avec la question 1 ?
1. \(\overrightarrow{CA}(-2 - 0\,;\,0 - 2) = (-2\,;-2)\) et \(\overrightarrow{CB}(2\,;-2)\). Alors \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} = (-2)\times 2 + (-2)\times(-2) = -4 + 4 = 0\). Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).
2. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) définit le cercle de diamètre \([AB]\). Centre : \(O(0\,;0)\) (milieu de \([AB]\)) ; rayon : \(\dfrac{AB}{2} = 2\) ; équation : \(x^2 + y^2 = 4\).
3. \(C(0\,;2)\) : \(0^2 + 2^2 = 4\), donc \(C \in \mathcal{E}\). C'est cohérent : \(C\) est sur le cercle de diamètre \([AB]\), donc voit \([AB]\) sous un angle droit, ce qui confirme que \(ABC\) est rectangle en \(C\).