Chapitre 6 | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:49
La fonction exponentielle est le second point fondamental du programme de première (avec la dérivation). Elle est essentielle en mathématiques et dans de nombreux champs disciplinaires (intérêts composés, dilution, décroissance radioactive), et prolonge l'étude des suites géométriques en modélisant les phénomènes d'évolution à temps continu.
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que
\[f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1.\]Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée \(\exp\). Ainsi, pour tout réel \(x\) :
\[\exp'(x) = \exp(x) \qquad \text{et} \qquad \exp(0) = 1.\]L'existence et l'unicité de cette fonction sont admises en première. L'équation \(y' = y\) est un exemple d'équation différentielle : elle traduit qu'une grandeur varie proportionnellement à elle-même. C'est la caractéristique des phénomènes d'évolution à taux instantané constant.
Pour tous réels \(x\) et \(y\) :
\[\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y).\]En particulier, \(\exp(x) \times \exp(-x) = 1\), ce qui montre que \(\exp(x) \ne 0\) et \(\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}\).
Considérons la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \exp(x)\,\exp(-x)\). On la dérive comme un produit, avec \(\big(\exp(-x)\big)' = -\exp(-x)\) :
\[g'(x) = \exp'(x)\exp(-x) + \exp(x)\big(\exp(-x)\big)' = \exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) = 0.\]Donc \(g\) est constante sur \(\mathbb{R}\). Or \(g(0) = \exp(0)\exp(0) = 1 \times 1 = 1\). Ainsi \(g(x) = 1\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(\exp(x)\exp(-x) = 1\). Cela prouve au passage que \(\exp\) ne s'annule jamais. \(\blacksquare\)
\(\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) = 3\times 5 = 15\).
\(\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)} = \dfrac{1}{3}\).
\(\exp(a-b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} = \dfrac{3}{5}\).
On note \(e\) l'image de \(1\) par la fonction exponentielle :
\[e = \exp(1) \approx 2{,}718.\]Grâce à la relation fonctionnelle, l'exponentielle se comporte comme une puissance de \(e\) : \(\exp(2) = \exp(1+1) = e \times e = e^2\), et plus généralement \(\exp(n) = e^n\) pour tout entier \(n\). On généralise cette écriture à tous les réels :
\[\exp(x) = e^{x}.\]Avec cette notation, les propriétés s'écrivent comme les règles des puissances. Pour tous réels \(x\), \(y\) et tout entier \(n\) :
\[e^{x+y} = e^x \, e^y, \qquad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}, \qquad e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}, \qquad \left(e^x\right)^n = e^{nx}, \qquad e^0 = 1.\]Utiliser les règles \(e^{x+y} = e^x e^y\), \(e^{-x} = \tfrac{1}{e^x}\), \((e^x)^n = e^{nx}\) pour simplifier.
Exemple résolu. Simplifier \(A = \dfrac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^{2x}}\). Au numérateur : \(e^{3x - x} = e^{2x}\). Donc \(A = \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}} = 1\).
\(A = e^{4-1} = e^3\).
\(B = e^{5x-2x} = e^{3x}\).
\(C = e^{3x}\times e^{-x} = e^{3x-x} = e^{2x}\).
Pour tout réel \(x\), \(\ e^{x} \gt 0\).
On sait déjà que \(e^x \ne 0\) (relation \(e^x e^{-x} = 1\)). De plus, \(e^x = e^{x/2 + x/2} = \left(e^{x/2}\right)^2\) est un carré, donc positif ou nul ; comme il n'est jamais nul, \(e^x \gt 0\). \(\blacksquare\)
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Sa dérivée est \(\exp' = \exp\), or \(\exp(x) = e^x \gt 0\) pour tout \(x\). Une fonction de dérivée strictement positive est strictement croissante : \(\exp\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)
Comme \(\exp\) est strictement croissante :
\[e^x = e^y \iff x = y, \qquad e^x \lt e^y \iff x \lt y.\]La courbe passe par \((0\,;1)\) et \((1\,;e)\), reste au-dessus de l'axe des abscisses, croît de plus en plus vite (elle reste au-dessus de toutes ses tangentes) ; quand \(x \to -\infty\) elle se rapproche de \(0\) (asymptote horizontale \(y = 0\)), quand \(x \to +\infty\) elle « explose ». La tangente à l'origine a pour pente \(\exp'(0) = 1\) : équation \(y = x + 1\).
Courbe de \(\exp\) (indigo) : toujours positive, strictement croissante et de plus en plus « raide », au-dessus de sa tangente \(y = x + 1\) à l'origine (rouge). L'axe des abscisses est asymptote horizontale en \(-\infty\).
Par stricte croissance, \(e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x - 1 = x + 3\), d'où \(x = 4\).
\(e^{3x} \lt e^{6} \iff 3x \lt 6 \iff x \lt 2\). Solution : \(\left]-\infty\,;2\right[\).
Pour tout réel \(a\), la fonction \(t \mapsto e^{at}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est
\[\big(e^{at}\big)' = a\,e^{at}.\](Admis / résultat de dérivation d'une fonction composée simple.) En particulier :
Croissance \(e^{kt}\) (indigo, \(k \gt 0\)) et décroissance \(e^{-kt}\) (vert) : deux courbes symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, passant toutes deux par \((0\,;1)\).
Reconnaître la structure et appliquer \((e^{at})' = a\,e^{at}\), combiné aux règles de produit et de quotient.
Exemple résolu. Dériver \(f(t) = 3e^{-2t}\) : \(f'(t) = 3 \times (-2)e^{-2t} = -6e^{-2t}\).
Dériver \(g(x) = x\,e^{x}\) : c'est un produit, \(g'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x\).
\(f'(x) = 4e^{4x}\).
\(g'(x) = 5\times(-3)e^{-3x} = -15e^{-3x}\).
\(h'(x) = 1\cdot e^{x} + (x+2)e^{x} = (x+3)e^{x}\) (dérivée d'un produit).
Dans les deux cas, \(N_0 = N(0)\) est la valeur initiale, et la vitesse d'évolution est proportionnelle à la grandeur : \(N'(t) = \pm k\,N(t)\).
Exemple résolu. Un échantillon radioactif contient \(N_0 = 10^6\) noyaux et décroît selon \(N(t) = N_0\,e^{-0{,}05\,t}\) (\(t\) en jours). Au bout de \(t = 20\) jours : \(N(20) = 10^6 \times e^{-0{,}05 \times 20} = 10^6 \times e^{-1} \approx 3{,}68 \times 10^5\) noyaux. Le taux de désintégration est bien proportionnel au nombre de noyaux, car \(N'(t) = -0{,}05\,N(t)\).
Soit \(q \gt 0\) et la suite géométrique \(u_n = q^n\). En posant \(a\) tel que \(e^{a} = q\), on a \(u_n = e^{an}\) : la suite géométrique apparaît comme la restriction aux entiers de la fonction exponentielle \(t \mapsto e^{at}\).
Ainsi, une évolution géométrique à temps discret (suite) et une évolution exponentielle à temps continu (fonction) décrivent le même type de phénomène : une croissance (ou décroissance) à taux constant.
\(N(0) = 500\,e^0 = 500\) bactéries.
\(N(5) = 500\,e^{0{,}2\times 5} = 500\,e^{1} \approx 500\times 2{,}718 \approx 1359\) bactéries.
\(N'(t) = 500 \times 0{,}2\,e^{0{,}2t} = 0{,}2 \times 500\,e^{0{,}2t} = 0{,}2\,N(t)\). ✓
\(g'(x) = e^x - 1\), qui s'annule en \(x = 0\) (car \(e^0 = 1\)) : \(g'\) est négative pour \(x \lt 0\), positive pour \(x \gt 0\). Donc \(g\) admet un minimum en \(0\), égal à \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\).
Ainsi \(g(x) \geqslant 0\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(e^x \geqslant x + 1\). \(\blacksquare\)
On peut construire l'exponentielle par la méthode d'Euler : on approche la solution de \(y' = y\), \(y(0) = 1\), en remplaçant la dérivée par un taux d'accroissement de pas \(h\) : \(y_{n+1} \approx y_n + h\,y'_n = (1 + h)\,y_n\).
def euler_exp(x, n):
"""Approximation de exp(x) par la methode d'Euler avec n pas."""
h = x / n
y = 1.0 # condition initiale y(0) = 1
for _ in range(n):
y = y + h * y # y' = y => y_{n+1} = y_n + h*y_n
return y
print(euler_exp(1, 1000)) # ~ 2.7169 (approche e)On peut aussi approcher \(e\) par la suite \(\left(\left(1 + \tfrac1n\right)^n\right)\) : plus \(n\) est grand, meilleure est l'approximation.
def approx_e(n):
return (1 + 1/n)**n
print(approx_e(1000)) # ~ 2.7169 (tend vers e = 2.71828...)❌ Écrire \(e^{x+y} = e^x + e^y\).
✅ La relation est multiplicative : \(e^{x+y} = e^x e^y\).
❌ Écrire \((e^x)^2 = e^{x^2}\).
✅ On a \((e^x)^2 = e^{2x}\).
❌ Oublier le facteur \(a\) dans la dérivée de \(e^{at}\).
✅ \((e^{at})' = a\,e^{at}\) ; par exemple \((e^{-kt})' = -k\,e^{-kt}\) (le signe compte).
❌ Chercher une solution à \(e^x = -2\).
✅ \(e^x\) est toujours strictement positif : cette équation n'a aucune solution.
❌ Confondre discret et continu.
✅ \(q^n\) (suite) et \(e^{at}\) (fonction) décrivent la même nature de phénomène : l'une aux entiers, l'autre sur \(\mathbb{R}\).