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L'essentiel :
- Définition : \(\exp\) est l'unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\exp' = \exp\) et \(\exp(0) = 1\).
- Notation : \(\exp(x) = e^x\), avec \(e = \exp(1) \approx 2{,}718\).
- Les propriétés se calculent comme des puissances : \(e^{x+y} = e^x e^y\).
- \(e^x \gt 0\) pour tout \(x\) ; \(\exp\) est strictement croissante et convexe.
- Dérivée : \((e^{at})' = a\,e^{at}\). Modèles : \(N_0 e^{kt}\) (croissance), \(N_0 e^{-kt}\) (décroissance).
Définitions clés
Définition
Fonction exponentielle : unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(f' = f\) et \(f(0) = 1\). On la note \(\exp\). L'équation \(y' = y\) est une équation différentielle.
Définition
Nombre \(e\) : \(e = \exp(1) \approx 2{,}718\). On note alors \(\exp(x) = e^x\) pour tout réel \(x\).
Définition
Modèle exponentiel : \(N(t) = N_0\,e^{kt}\) décrit une évolution à taux constant ; \(N_0 = N(0)\) est la valeur initiale et \(N'(t) = k\,N(t)\).
À connaître par cœur
Propriétés algébriques
\[e^{x+y} = e^x \, e^y \qquad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}\]
\[e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \qquad \left(e^x\right)^n = e^{nx} \qquad e^0 = 1\]
Signe et comparaisons
\[e^x \gt 0 \ \text{ pour tout } x\]
\[e^x = e^y \iff x = y \qquad e^x \lt e^y \iff x \lt y\]
Dérivée
\[\exp' = \exp \qquad \big(e^{at}\big)' = a\,e^{at}\]
Tangente à l'origine et inégalité
\[y = x + 1 \qquad e^x \geqslant x + 1 \ \text{ pour tout } x\]
Variations et courbe
- \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (car \(\exp' = \exp \gt 0\)).
- La courbe est convexe, au-dessus de toutes ses tangentes.
- Elle passe par \((0\,;1)\) et \((1\,;e)\) ; asymptote horizontale \(y = 0\) en \(-\infty\).
- \(e^{kt}\) (croissance, \(k \gt 0\)) et \(e^{-kt}\) (décroissance) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Méthode — Calculer et modéliser
Méthode — Simplifier / dériver
- Simplifier : regrouper les exposants avec \(e^{x+y} = e^x e^y\) et \(\dfrac{e^x}{e^y} = e^{x-y}\).
- Dériver \(e^{at}\) : multiplier par le coefficient \(a\) → \((e^{at})' = a\,e^{at}\).
- Produit \(u\,e^{x}\) : appliquer \((uv)' = u'v + uv'\).
Méthode — Résoudre / modéliser
- Équation \(e^u = e^v\) → \(u = v\) (stricte croissance). Inéquation \(e^u \lt e^v\) → \(u \lt v\).
- Écrire \(1 = e^0\) pour comparer à \(1\).
- Modèle \(N_0 e^{kt}\) : \(k \gt 0\) croissance, \(k \lt 0\) décroissance ; vitesse \(N'(t) = k\,N(t)\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Écrire \(e^{x+y} = e^x + e^y\).
✅ La relation est multiplicative : \(e^{x+y} = e^x e^y\).
❌ Écrire \((e^x)^2 = e^{x^2}\).
✅ \((e^x)^2 = e^{2x}\).
❌ Oublier le facteur \(a\) dans \((e^{at})'\).
✅ \((e^{at})' = a\,e^{at}\) ; \((e^{-kt})' = -k\,e^{-kt}\).
❌ Chercher \(x\) tel que \(e^x \le 0\).
✅ \(e^x \gt 0\) pour tout \(x\) : \(e^x = -2\) n'a aucune solution.
Exemple rapide
Exemple — un modèle, plusieurs calculs
\(N(t) = 500\,e^{0{,}2t}\) (\(t\) en heures, \(e \approx 2{,}718\)).
- \(N(0) = 500\,e^0 = 500\) (population initiale).
- \(N(5) = 500\,e^{1} \approx 1359\).
- \(N'(t) = 0{,}2\times 500\,e^{0{,}2t} = 0{,}2\,N(t)\) (vitesse proportionnelle).
- \(N'(t) \gt 0\) car \(N(t) \gt 0\) : la population croît.