Exercices – Chapitre 6

Fonction exponentielle | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles :

\(\exp' = \exp\) et \(\exp(0) = 1\) ; \(\exp(x) = e^x\), avec \(e = \exp(1) \approx 2{,}718\).
\(e^{x+y} = e^x e^y\) ; \(e^{-x} = \tfrac{1}{e^x}\) ; \(e^{x-y} = \tfrac{e^x}{e^y}\) ; \((e^x)^n = e^{nx}\) ; \(e^0 = 1\).
\(e^x \gt 0\) pour tout \(x\) ; \(\exp\) strictement croissante : \(e^u = e^v \iff u = v\), \(e^u \lt e^v \iff u \lt v\).
Dérivée : \((e^{at})' = a\,e^{at}\) ; modèles \(N(t) = N_0 e^{kt}\) (croissance) et \(N_0 e^{-kt}\) (décroissance).

Exercice 1 — Propriétés algébriques

Simplifier chaque expression.

1. \(A = e^{5} \times e^{-3}\).

2. \(B = \dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-1}}\).

3. \(C = \left(e^{2x}\right)^3 \times e^{-4x}\).

1. \(A = e^{5-3} = e^2\).

2. \(B = e^{(2x+1) - (x-1)} = e^{x+2}\).

3. \(C = e^{6x} \times e^{-4x} = e^{6x-4x} = e^{2x}\).

Exercice 2 — Calculs avec des valeurs numériques

On donne \(\exp(a) = 2\) et \(\exp(b) = 7\). Calculer :

1. \(\exp(a+b)\) ; 2. \(\exp(-b)\) ; 3. \(\exp(2a)\) ; 4. \(\exp(a-b)\).

1. \(\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) = 2\times 7 = 14\).

2. \(\exp(-b) = \dfrac{1}{\exp(b)} = \dfrac{1}{7}\).

3. \(\exp(2a) = \big(\exp(a)\big)^2 = 2^2 = 4\).

4. \(\exp(a-b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} = \dfrac{2}{7}\).

Exercice 3 — Dérivées

Dériver chacune des fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\).

1. \(f(x) = e^{3x}\) ; 2. \(g(x) = 5e^{-x}\) ; 3. \(h(x) = (2x - 1)e^{x}\) ; 4. \(k(x) = 4e^{-2x} + 3x\).

1. \(f'(x) = 3e^{3x}\).

2. \(g'(x) = 5\times(-1)e^{-x} = -5e^{-x}\).

3. \(h'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x + 1)e^x\) (produit).

4. \(k'(x) = 4\times(-2)e^{-2x} + 3 = -8e^{-2x} + 3\).

Exercice 4 — Équations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\).

1. \(e^{2x - 1} = e^{x + 3}\).

2. \(e^{x^2} = e^{3x - 2}\).

3. \(e^{x} = -1\).

1. Par injectivité : \(2x - 1 = x + 3\), d'où \(x = 4\).

2. \(x^2 = 3x - 2\), soit \(x^2 - 3x + 2 = 0\), racines \(1\) et \(2\). Solutions : \(x = 1\) ou \(x = 2\).

3. \(e^x \gt 0\) pour tout \(x\) : l'équation \(e^x = -1\) n'a aucune solution.

Exercice 5 — Inéquations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\).

1. \(e^{2x - 1} \le 1\).

2. \(e^{3x} \gt e^{x+4}\).

1. Comme \(1 = e^0\), l'inéquation équivaut à \(2x - 1 \le 0\) (croissance de \(\exp\)), soit \(x \le \tfrac12\). Solution : \(\left]-\infty\,;\tfrac12\right]\).

2. \(3x \gt x + 4 \iff 2x \gt 4 \iff x \gt 2\). Solution : \(\left]2\,;+\infty\right[\).

Exercice 6 — Étude d'une fonction

Soit \(f(x) = x\,e^{x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \(f'(x)\) et le factoriser.

2. Étudier le signe de \(f'(x)\) (on rappelle que \(e^x \gt 0\)).

3. En déduire le sens de variation de \(f\) et la valeur de son minimum.

1. \(f'(x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x = (1 + x)e^x\).

2. Comme \(e^x \gt 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1 + x\) : négatif pour \(x \lt -1\), positif pour \(x \gt -1\).

3. \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;-1\right]\) puis croissante sur \(\left[-1\,;+\infty\right[\) : elle admet un minimum en \(x = -1\), égal à \(f(-1) = -1\times e^{-1} = -\dfrac{1}{e} \approx -0{,}37\).

Exercice 7 — Croissance / décroissance exponentielle

1. Une population de bactéries suit \(N(t) = 500\,e^{0{,}2t}\) (\(t\) en heures). Calculer \(N(0)\) et \(N(5)\), puis vérifier que \(N'(t) = 0{,}2\,N(t)\). (On prendra \(e \approx 2{,}718\).)

2. Un capital de \(1000\) € est placé et suit \(C(t) = 1000\,e^{0{,}03t}\) (\(t\) en années). Calculer \(C(10)\).

1. \(N(0) = 500\,e^0 = 500\). \(N(5) = 500\,e^{1} \approx 1359\) bactéries. \(N'(t) = 500 \times 0{,}2\,e^{0{,}2t} = 0{,}2\,N(t)\). ✓

2. \(C(10) = 1000\,e^{0{,}03\times 10} = 1000\,e^{0{,}3} \approx 1000\times 1{,}350 \approx 1350\) €.

Exercice 8 — Problème type : décroissance radioactive

Un échantillon radioactif contient initialement \(N_0 = 10^6\) noyaux. Sa décroissance est modélisée par \(N(t) = N_0\,e^{-0{,}05\,t}\), où \(t\) est en jours. On prendra \(e^{-1} \approx 0{,}368\) et \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}607\).

1. Donner le nombre de noyaux au bout de \(10\) jours, puis de \(20\) jours.

2. Calculer \(N'(t)\) et vérifier que \(N'(t) = -0{,}05\,N(t)\). Interpréter le signe.

3. La courbe de \(N\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier avec le signe de \(N'(t)\).

4. Par lecture, la valeur de \(N(t)\) s'annule-t-elle ? Que devient-elle quand \(t \to +\infty\) ?

1. \(N(10) = 10^6 e^{-0{,}5} \approx 10^6\times 0{,}607 = 6{,}07\times 10^5\) noyaux. \(N(20) = 10^6 e^{-1} \approx 10^6\times 0{,}368 = 3{,}68\times 10^5\) noyaux.

2. \(N'(t) = 10^6\times(-0{,}05)e^{-0{,}05t} = -0{,}05\times 10^6 e^{-0{,}05t} = -0{,}05\,N(t)\). Le signe négatif traduit une diminution : la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre de noyaux présents.

3. Comme \(N(t) \gt 0\), on a \(N'(t) = -0{,}05\,N(t) \lt 0\) : la fonction est strictement décroissante.

4. \(N(t) = 10^6 e^{-0{,}05t} \gt 0\) pour tout \(t\) : la valeur ne s'annule jamais. Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-0{,}05t}\) se rapproche de \(0\), donc \(N(t)\) tend vers \(0\) (asymptote horizontale).