Chapitre 4 | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:40
La dérivation est l'un des deux points fondamentaux du programme de première (avec la fonction exponentielle). On distingue le point de vue local (nombre dérivé en un point) et le point de vue global (fonction dérivée). Le nombre dérivé est introduit à partir de la limite du taux de variation : on n'en donne pas de définition formelle, mais on s'appuie sur des représentations graphiques et le calcul du taux \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) pour \(h\) proche de \(0\). Prérequis : fonctions de référence (carré, cube, inverse, racine), coefficient directeur d'une droite et équation réduite.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a, b\) deux réels distincts de \(I\). Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le quotient
\[\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]En posant \(b = a + h\) (avec \(h \ne 0\)), il s'écrit
\[\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}.\]Ce taux est le coefficient directeur (la pente) de la sécante à la courbe \(\mathcal{C}_f\) passant par les points \(A(a\,;f(a))\) et \(M(a+h\,;f(a+h))\).
La sécante (rouge) passe par \(A(a\,;f(a))\) et \(M(a+h\,;f(a+h))\) ; sa pente est le taux de variation.
\(\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h.\)
Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), si le taux de variation \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\) se rapproche d'un nombre réel bien déterminé, ce nombre est appelé le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\). On dit alors que \(f\) est dérivable en \(a\) :
\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}.\]En notant \(y = f(x)\), l'accroissement \(f(a+h) - f(a)\) se note \(\Delta y\) (« variation de \(y\) ») et \(h = \Delta x\) (« variation de \(x\) »). Le taux de variation s'écrit alors \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
Quand \(\Delta x\) tend vers \(0\), ce quotient tend vers le nombre dérivé, que les physiciens notent
\[\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x).\]C'est la notation utilisée en physique : par exemple, la vitesse est \(v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\) (dérivée de la position par rapport au temps) et l'intensité est \(i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\).
Soit \(f(x) = x^2\) et \(a = 3\). Pour \(h \ne 0\), on a vu que le taux vaut \(6 + h\). Quand \(h \to 0\), ce taux tend vers \(6\). Donc \(f'(3) = 6\).
\(\dfrac{(2+h)^2 + (2+h) - 6}{h} = \dfrac{4 + 4h + h^2 + 2 + h - 6}{h} = \dfrac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to 0]{} 5.\) Donc \(f'(2) = 5\).
Dans une situation concrète où \(y = f(x)\), le nombre dérivé \(f'(a)\) s'interprète comme la vitesse de variation instantanée de \(y\) par rapport à \(x\), au point \(x = a\). On l'exprime en unités de \(y\) par unité de \(x\).
Exemple résolu. Une bille lâchée sans vitesse initiale parcourt \(d(t) = 4{,}9\,t^2\) mètres en \(t\) secondes. Le taux de variation entre \(2\) et \(2+h\) vaut \(\dfrac{4{,}9(2+h)^2 - 4{,}9\times 4}{h} = \dfrac{4{,}9(4h + h^2)}{h} = 19{,}6 + 4{,}9h \xrightarrow[h\to 0]{} 19{,}6\). Donc \(d'(2) = 19{,}6\) : à l'instant \(t = 2\) s, la vitesse instantanée de la bille est \(19{,}6\) m/s.
\(\dfrac{C(50+h) - C(50)}{h} = \dfrac{0{,}5(50+h)^2 + 20(50+h) + 400 - 2650}{h} = \dfrac{50h + 0{,}5h^2 + 20h}{h} = 70 + 0{,}5h \xrightarrow[h\to 0]{} 70\). Donc \(C'(50) = 70\).
Interprétation : au niveau de production de \(50\) meubles, produire un meuble supplémentaire coûte environ \(70\) € (coût marginal).
Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), la position limite des sécantes \((AM)\) quand \(M\) tend vers \(A\) est une droite appelée tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\). Sa pente est le nombre dérivé \(f'(a)\).
La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation
\[\boxed{\,y = f(a) + f'(a)\,(x - a).\,}\]Parabole \(f(x)=x^2\) et sa tangente (rouge) en \(A(1\,;1)\) : elle « épouse » la courbe au voisinage de \(A\) et a pour pente \(f'(1) = 2\), d'équation \(y = 2x - 1\).
La tangente est une droite de coefficient directeur \(f'(a)\) : son équation est de la forme \(y = f'(a)\,x + p\). Comme elle passe par \(A(a\,;f(a))\) :
\[f(a) = f'(a)\,a + p \ \Longrightarrow\ p = f(a) - f'(a)\,a.\]En reportant : \(y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a)\,a = f(a) + f'(a)(x - a)\). \(\qquad\blacksquare\)
Lire \(f'(a)\) : lorsque la tangente au point d'abscisse \(a\) est tracée, \(f'(a)\) est son coefficient directeur. On le lit en choisissant deux points de la tangente : \(f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (par exemple, « quand on avance de \(1\) en abscisse, on monte de \(f'(a)\) en ordonnée »). Une tangente horizontale correspond à \(f'(a) = 0\).
Construire la tangente connaissant \(f'(a)\) :
Exemple résolu. Sur la figure ci-dessus, la tangente à la parabole en \(A(1\,;1)\) passe aussi par \(B(2\,;3)\) : sa pente est \(\dfrac{3-1}{2-1} = 2\), on lit donc \(f'(1) = 2\). Inversement, sachant \(f'(1) = 2\), on place \(A(1\,;1)\), on avance de \(1\) vers la droite et de \(2\) vers le haut pour obtenir \(B(2\,;3)\), et on trace \((AB)\).
\(f'(3) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-4 - 2}{5 - 3} = \dfrac{-6}{2} = -3\).
La fonction affine \(x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)\) est la fonction affine tangente à \(f\) en \(a\). Près de \(a\), elle constitue une bonne approximation de \(f\). En posant \(x = a + h\) :
\[\boxed{\,f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h \quad \text{pour } h \text{ proche de } 0.\,}\]Avec \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 1\), on a \(f'(1) = \tfrac12\) (voir plus loin). Donc \(\sqrt{1{,}02} = f(1 + 0{,}02) \approx 1 + \tfrac12 \times 0{,}02 = 1{,}01\). (Valeur exacte \(\approx 1{,}00995\).)
\(f'(x) = 3x^2\) donc \(f'(2) = 12\). \(f(2{,}01) \approx f(2) + f'(2) \times 0{,}01 = 8 + 12 \times 0{,}01 = 8{,}12\). (Valeur exacte \(\approx 8{,}1206\).)
Une fonction \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) si elle est dérivable en tout point de \(I\). La fonction qui à tout \(x \in I\) associe le nombre dérivé \(f'(x)\) est appelée fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\).
Les fonctions usuelles sont dérivables sur les intervalles indiqués :
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^2\) | \(2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(]{-}\infty\,;0[\) ou \(]0\,;{+}\infty[\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\,;{+}\infty[\) |
| \(x^n\ (n \in \mathbb{Z})\) | \(n\,x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
Pour \(f(x) = x^2\) et \(a\) réel :
\[\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2a.\]Donc \(f'(a) = 2a\) pour tout \(a\) : la dérivée de \(x^2\) est \(2x\). \(\qquad\blacksquare\)
Pour \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(a \ne 0\) :
\[\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}\right) = \dfrac{1}{h} \cdot \dfrac{-h}{a(a+h)} = \dfrac{-1}{a(a+h)}.\]Quand \(h \to 0\), cela tend vers \(-\dfrac{1}{a^2}\). Donc \(f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}\). \(\qquad\blacksquare\)
La fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) n'est pas dérivable en \(0\).
Le taux de variation en \(0\) vaut, pour \(h \gt 0\) :
\[\dfrac{\sqrt{0+h} - \sqrt{0}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}.\]Quand \(h \to 0\) (avec \(h \gt 0\)), \(\dfrac{1}{\sqrt{h}}\) devient arbitrairement grand : il ne tend vers aucun réel. Donc \(\sqrt{\ }\) n'est pas dérivable en \(0\). Graphiquement, la courbe présente une tangente verticale à l'origine. \(\qquad\blacksquare\)
De même, \(x \mapsto |x|\) n'est pas dérivable en \(0\) : le taux de variation vaut \(\dfrac{|h|}{h}\), égal à \(+1\) pour \(h \gt 0\) et à \(-1\) pour \(h \lt 0\). Ces deux valeurs limites diffèrent : la courbe présente un point anguleux en \(0\) (pas de tangente unique).
Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), et \(k\) un réel.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u + v\) | \(u' + v'\) | |
| \(k\,u\) | \(k\,u'\) | |
| \(u \times v\) | \(u'v + uv'\) | |
| \(\dfrac{1}{v}\) | \(-\dfrac{v'}{v^2}\) | \(v \ne 0\) sur \(I\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) | \(v \ne 0\) sur \(I\) |
Soit \(w = u \times v\). On forme le taux de variation en \(a\), en ajoutant et retranchant \(u(a+h)v(a)\) au numérateur :
\[\dfrac{w(a+h) - w(a)}{h} = u(a+h) \cdot \dfrac{v(a+h) - v(a)}{h} + v(a) \cdot \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}.\]Quand \(h \to 0\) : \(u(a+h) \to u(a)\), le premier taux tend vers \(v'(a)\), le second vers \(u'(a)\). Ainsi \(w'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)\). \(\qquad\blacksquare\)
Dériver \(f(x) = (2x+1)(x^2 - 3)\). Posons \(u = 2x+1\) (\(u' = 2\)) et \(v = x^2 - 3\) (\(v' = 2x\)). Alors :
\[f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 6x^2 + 2x - 6.\]\(u = x\) (\(u' = 1\)), \(v = x^2 + 1\) (\(v' = 2x\)). \(g'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{(x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}.\)
En combinant somme et multiplication par une constante, on dérive tout polynôme terme à terme. En particulier :
\[\big(a x^2 + b x + c\big)' = 2a x + b.\]Si \(f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7\), alors \(f'(x) = 9x^2 - 10x + 2\).
\(f'(x) = -6x^2 + 8x - 1.\)
Exemple résolu. \(f(x) = x^2 + x\), en \(a = 2\). Taux : \(\dfrac{5h + h^2}{h} = 5 + h \to 5\). Donc \(f'(2) = 5\).
Exemple résolu. \(f(x) = x^2\), tangente en \(a = 3\). \(f(3) = 9\), \(f'(3) = 6\). Équation : \(y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9\).
Exemple résolu. \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\). \(u = x\) (\(u' = 1\)), \(v = x^2 + 1\) (\(v' = 2x\)). \(f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}\).
\(f(2) = \tfrac12\), \(f'(x) = -\tfrac{1}{x^2}\) donc \(f'(2) = -\tfrac14\). Tangente : \(y = \tfrac12 - \tfrac14(x - 2) = -\tfrac14 x + 1\).
On peut approcher numériquement le nombre dérivé en calculant les pentes de sécantes pour un pas de plus en plus petit :
def coefficients_secantes(f, a, pas, n):
"""Renvoie la liste des pentes des sécantes entre a et a+k*pas, k=1..n."""
L = []
for k in range(1, n + 1):
h = k * pas
pente = (f(a + h) - f(a)) / h
L.append(pente)
return L
# Exemple : f(x) = x^2 en a = 3, on doit s'approcher de 6
f = lambda x: x**2
print(coefficients_secantes(f, 3, -0.1, 5)) # pentes -> 6 quand h -> 0En prenant des pas de plus en plus petits (\(h\) proche de \(0\)), les pentes obtenues approchent le nombre dérivé \(f'(a)\).
❌ Faire tendre \(h\) vers \(0\) sans avoir simplifié par \(h\) (forme \(\tfrac00\)).
✅ Toujours simplifier par \(h\) d'abord, puis remplacer \(h\) par \(0\).
❌ Confondre \(f(a)\) et \(f'(a)\) dans l'équation de la tangente.
✅ \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\) : \(f(a)\) est l'ordonnée du point, \(f'(a)\) la pente.
❌ Écrire \((uv)' = u'v'\).
✅ \((uv)' = u'v + uv'\) : produit dérivé, terme par terme.
❌ Se tromper d'ordre au numérateur d'un quotient.
✅ \(\left(\tfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) (dans cet ordre), et \(v^2\) au dénominateur.
❌ Dériver \(\sqrt{x}\) ou \(|x|\) en \(0\).
✅ Racine et valeur absolue sont dérivables partout sauf en \(0\).