Dérivation | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Calculer, par le taux de variation, le nombre dérivé demandé.
1. \(f(x) = 3x^2\) en \(a = -1\).
2. \(g(x) = x^2 - 4x\) en \(a = 1\).
1. \(\dfrac{3(-1+h)^2 - 3}{h} = \dfrac{3(1 - 2h + h^2) - 3}{h} = \dfrac{-6h + 3h^2}{h} = -6 + 3h \to -6\). Donc \(f'(-1) = -6\).
2. \(\dfrac{(1+h)^2 - 4(1+h) - (1 - 4)}{h} = \dfrac{1 + 2h + h^2 - 4 - 4h + 3}{h} = \dfrac{-2h + h^2}{h} = -2 + h \to -2\). Donc \(g'(1) = -2\).
Sur la figure ci-dessous, la droite \(T\) est la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point \(A(1\,;3)\). Elle passe aussi par \(B(3\,;7)\).
1. Lire \(f(1)\).
2. Déterminer \(f'(1)\), pente de la tangente \(T\).
3. En déduire l'équation réduite de \(T\).
1. \(A(1\,;3)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\), donc \(f(1) = 3\).
2. \(f'(1)\) est la pente de \(T\) : \(f'(1) = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2\).
3. \(y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 3 + 2(x - 1) = 2x + 1\).
Déterminer l'équation réduite de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) indiqué.
1. \(f(x) = \dfrac1x\) en \(a = 2\).
2. \(f(x) = x^3\) en \(a = -1\).
1. \(f(2) = \tfrac12\), \(f'(x) = -\tfrac{1}{x^2}\) donc \(f'(2) = -\tfrac14\). Tangente : \(y = \tfrac12 - \tfrac14(x - 2) = -\tfrac14 x + 1\).
2. \(f(-1) = -1\), \(f'(x) = 3x^2\) donc \(f'(-1) = 3\). Tangente : \(y = -1 + 3(x + 1) = 3x + 2\).
1. Donner une valeur approchée de \((2{,}01)^3\) par l'approximation affine.
2. Donner une valeur approchée de \(\sqrt{4{,}1}\) (utiliser \(f(x)=\sqrt x\), \(a=4\)).
1. \(f(x) = x^3\), \(a = 2\), \(f'(2) = 12\). \(f(2{,}01) \approx 8 + 12 \times 0{,}01 = 8{,}12\). (Valeur exacte \(\approx 8{,}1206\).)
2. \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}\) donc \(f'(4) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\). \(\sqrt{4{,}1} \approx 2 + 0{,}25 \times 0{,}1 = 2{,}025\). (Valeur exacte \(\approx 2{,}0248\).)
Dériver les fonctions suivantes.
1. \(f(x) = (3x - 2)(x^2 + x)\).
2. \(g(x) = (x^2 + 1)(2x - 5)\).
1. \(u = 3x - 2\) (\(u' = 3\)), \(v = x^2 + x\) (\(v' = 2x + 1\)). \(f'(x) = 3(x^2 + x) + (3x-2)(2x+1) = 3x^2 + 3x + 6x^2 - x - 2 = 9x^2 + 2x - 2\).
2. \(u = x^2 + 1\) (\(u' = 2x\)), \(v = 2x - 5\) (\(v' = 2\)). \(g'(x) = 2x(2x - 5) + (x^2 + 1)\cdot 2 = 4x^2 - 10x + 2x^2 + 2 = 6x^2 - 10x + 2\).
Dériver les fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.
1. \(g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\) sur \(]3\,;+\infty[\).
2. \(h(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}\) sur \(]-1\,;+\infty[\).
1. \(u = 2x+1\) (\(u'=2\)), \(v = x-3\) (\(v'=1\)). \(g'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1)}{(x-3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}\).
2. \(u = x^2\) (\(u'=2x\)), \(v = x+1\) (\(v'=1\)). \(h'(x) = \dfrac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}\).
Justifier que la fonction valeur absolue \(x \mapsto |x|\) n'est pas dérivable en \(0\).
Le taux de variation en \(0\) est \(\dfrac{|h| - |0|}{h} = \dfrac{|h|}{h}\). Pour \(h \gt 0\) il vaut \(1\) ; pour \(h \lt 0\) il vaut \(-1\). Les deux valeurs limites diffèrent, donc le taux ne tend pas vers un réel unique : \(|\ |\) n'est pas dérivable en \(0\) (point anguleux).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Déterminer l'équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a = 2\).
3. Déterminer les abscisses des points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale (pente nulle).
4. Donner une valeur approchée de \(f(2{,}05)\) par l'approximation affine en \(a = 2\).
1. \(f'(x) = 3x^2 - 3\).
2. \(f(2) = 8 - 6 + 1 = 3\) et \(f'(2) = 12 - 3 = 9\). Donc \(T : y = 3 + 9(x - 2) = 9x - 15\).
3. La tangente est horizontale lorsque \(f'(x) = 0\), soit \(3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = -1\) ou \(x = 1\). Les abscisses cherchées sont donc \(-1\) et \(1\).
4. \(f(2{,}05) \approx f(2) + f'(2) \times 0{,}05 = 3 + 9 \times 0{,}05 = 3 + 0{,}45 = 3{,}45\).