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L'essentiel :
- Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la limite du taux de variation ; c'est la pente de la tangente en \(a\).
- Tangente en \(a\) : \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\).
- Près de \(a\) : \(f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h\) (approximation affine).
- On dérive un polynôme terme à terme ; on retient les dérivées usuelles et les formules d'opérations.
- \(\sqrt{\ }\) et \(|\ |\) ne sont pas dérivables en \(0\) (tangente verticale / point anguleux).
Définitions clés
Définition
Taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) : \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\). C'est la pente de la sécante passant par \(A(a\,;f(a))\) et \(M(a+h\,;f(a+h))\).
Définition
Nombre dérivé : \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), lorsque cette limite existe. On dit alors que \(f\) est dérivable en \(a\).
Définition
Tangente : droite de pente \(f'(a)\) passant par \(A(a\,;f(a))\). Fonction dérivée : fonction \(f'\) qui à \(x\) associe \(f'(x)\).
À connaître par cœur
Équation de la tangente
\[y = f(a) + f'(a)\,(x - a)\]
Approximation affine
\[f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h \quad (h \text{ proche de } 0)\]
Dérivées des fonctions de référence
\[(k)' = 0 \qquad (x)' = 1 \qquad (x^2)' = 2x \qquad (x^3)' = 3x^2\]
\[\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2} \qquad (\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x} \qquad (x^n)' = n\,x^{n-1}\]
Opérations sur les dérivées
\[(u+v)' = u'+v' \qquad (k\,u)' = k\,u'\]
\[(u\,v)' = u'v + uv' \qquad \left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\]
Cas des polynômes
- On dérive terme à terme : \((ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\).
- \((ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c\).
Non-dérivabilité en 0
- \(\sqrt{\ }\) : taux \(\dfrac{1}{\sqrt h}\) qui devient infini → tangente verticale.
- \(|\ |\) : taux \(\dfrac{|h|}{h}\) qui vaut \(+1\) ou \(-1\) → point anguleux.
Méthode — Nombre dérivé, tangente, dérivées
Méthode — Nombre dérivé par le taux
- Écrire \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
- Développer et simplifier par \(h\).
- Faire tendre \(h\) vers \(0\) : la limite est \(f'(a)\).
Méthode — Équation de tangente
- Calculer \(f(a)\) puis \(f'(a)\).
- Reporter dans \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\).
- Développer pour l'équation réduite.
Méthode — Dériver un produit / un quotient
- Poser \(u\), \(v\), calculer \(u'\), \(v'\).
- Produit : \(u'v + uv'\). Quotient : \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) (attention à l'ordre).
- Réduire l'expression obtenue.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Faire tendre \(h\) vers \(0\) sans simplifier par \(h\).
✅ Simplifier par \(h\) d'abord, sinon on obtient \(\tfrac00\).
❌ Confondre \(f(a)\) et \(f'(a)\) dans la tangente.
✅ \(f(a)\) = ordonnée du point, \(f'(a)\) = pente.
❌ Écrire \((uv)' = u'v'\).
✅ \((uv)' = u'v + uv'\).
❌ Inverser l'ordre au numérateur d'un quotient.
✅ \(\left(\tfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
Exemple rapide
Exemple — tangente en un point
\(f(x) = x^2\), tangente en \(a = 3\).
- \(f(3) = 9\) (ordonnée du point).
- \(f'(x) = 2x\) donc \(f'(3) = 6\) (pente).
- \(y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9\) (équation réduite).