Chapitre 3 – Équations et fonctions polynômes du second degré

Chapitre 3 | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 14:30

Objectifs du chapitre

Étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée
Déterminer les fonctions polynômes du second degré s'annulant en deux réels distincts
Factoriser un trinôme en diversifiant les stratégies : racine évidente, somme-produit, identité remarquable, discriminant
Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) et résoudre l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\)
Mettre un trinôme sous forme canonique, en lire le sommet et l'axe de symétrie de la parabole
Choisir la forme adaptée (développée, canonique, factorisée) selon le problème (équation, inéquation, optimisation, variations)

L'étude du second degré réactive et consolide les acquis de seconde (fonction carré, identités remarquables). On diversifie les registres (algébrique, graphique) et on met en valeur les interactions avec le reste du programme : problèmes d'origine géométrique, optimisation, variations. Prérequis : fonction carré \(x \mapsto x^2\) et parabole ; identités remarquables \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2 - b^2\) ; développement, factorisation, équation-produit ; signe d'une expression du premier degré.

I. Fonction polynôme du second degré

Définition — Trinôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad \text{avec } a \ne 0.\]

Cette écriture est sa forme développée (réduite). Les réels \(a\), \(b\), \(c\) sont les coefficients.

Propriété — Parabole

La courbe représentative d'un trinôme est une parabole. Elle est tournée vers le haut si \(a \gt 0\), vers le bas si \(a \lt 0\).

Deux paraboles types : orientée vers le haut (\(a \gt 0\), en indigo) et vers le bas (\(a \lt 0\), en vert).

Exercice d'application 1. Pour \(f(x) = -3x^2 + 5x - 1\), donner \(a\), \(b\), \(c\) et l'orientation de la parabole.

\(a = -3\), \(b = 5\), \(c = -1\). Comme \(a = -3 \lt 0\), la parabole est tournée vers le bas.

II. Forme canonique

Théorème — Forme canonique

Toute fonction polynôme du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) peut s'écrire sous la forme

\[\boxed{f(x) = a\,(x - \alpha)^2 + \beta,}\]

appelée forme canonique, où \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).

Méthode — Complétion du carré

La complétion du carré repose sur l'identité \(x^2 + 2ax = (x+a)^2 - a^2\). On regroupe le début de l'expression comme un carré.

Exemple — Complétion du carré

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). On regroupe le début comme un carré : \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\). Donc

\[f(x) = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4.\]

Ici \(\alpha = 3\) et \(\beta = -4\).

Attention

Le calcul de la forme canonique dans le cas général (avec \(a \ne 1\)) n'est pas un attendu : on se limite à des cas simples, souvent avec \(a = 1\).

Interprétation graphique — Sommet et axe de symétrie

Le point \(S(\alpha\,;\beta)\) est le sommet de la parabole ; la droite verticale \(x = \alpha\) est son axe de symétrie. La forme canonique donne directement l'extremum de \(f\) : minimum si \(a \gt 0\), maximum si \(a \lt 0\).

Sommet, axe de symétrie (pointillés gris) et racines (points verts) de \(f(x) = (x-3)^2 - 4\).

Exercice d'application 2. Mettre \(f(x) = x^2 + 4x + 1\) sous forme canonique et donner les coordonnées du sommet.

\(x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4\), donc \(f(x) = (x+2)^2 - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3\). Sommet \(S(-2\,;-3)\).

III. Discriminant et résolution de l'équation

Définition — Discriminant

On appelle discriminant du trinôme \(ax^2 + bx + c\) le nombre

\[\boxed{\Delta = b^2 - 4ac.}\]

Théorème — Résolution du second degré

Selon le signe de \(\Delta\), l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) (avec \(a \ne 0\)) admet :

si \(\Delta \gt 0\) : deux solutions réelles distinctes \[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \;;\]
si \(\Delta = 0\) : une solution double \(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\) ;
si \(\Delta \lt 0\) : aucune solution réelle.

Démonstration (exigible)

On part de la forme canonique. On factorise \(a\) et on complète le carré :

\[ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c.\]

En réduisant au même dénominateur, \(-\dfrac{b^2}{4a} + c = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a} = -\dfrac{\Delta}{4a}\). Ainsi :

\[ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}.\]

L'équation équivaut alors à \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}\).

Si \(\Delta \lt 0\) : le membre de droite est négatif, un carré ne peut l'égaler → aucune solution.
Si \(\Delta = 0\) : \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0\), d'où \(x = -\dfrac{b}{2a}\) → solution double.
Si \(\Delta \gt 0\) : \(x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\), d'où \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) → deux solutions. \(\qquad\blacksquare\)

Attention — Signe dans \(\Delta\)

Attention au terme \(-4ac\) lorsque \(c\) est négatif : les deux « moins » donnent un « plus ». Et c'est tout le numérateur \(-b \pm \sqrt{\Delta}\) qui est divisé par \(2a\), pas seulement \(\sqrt{\Delta}\).

Exercice d'application 3. Résoudre \(2x^2 - 3x - 2 = 0\) à l'aide du discriminant.

\(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 \gt 0\). Donc \(x = \dfrac{3 \pm 5}{4}\), soit \(x_1 = 2\) et \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).

IV. Factorisation

Théorème — Factorisation d'un trinôme

Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) de discriminant \(\Delta\).

Si \(\Delta \gt 0\), avec les racines \(x_1\) et \(x_2\) : \(\ f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)\).
Si \(\Delta = 0\), avec la racine double \(x_0\) : \(\ f(x) = a\,(x - x_0)^2\).
Si \(\Delta \lt 0\) : \(f\) n'est pas factorisable dans \(\mathbb{R}\) (pas de racine réelle).

Exemple

Pour \(2x^2 - 3x - 2\), de racines \(2\) et \(-\dfrac12\), on obtient \(2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)\left(x + \dfrac12\right) = (x-2)(2x+1)\).

Exercice d'application 4. Déterminer une fonction polynôme du second degré s'annulant en \(-1\) et en \(5\).

Toute fonction \(f(x) = a(x+1)(x-5)\) avec \(a \ne 0\) convient. Par exemple \(f(x) = (x+1)(x-5) = x^2 - 4x - 5\).

V. Signe d'un trinôme

Théorème — Signe du trinôme

Le signe de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dépend de \(\Delta\) :

si \(\Delta \lt 0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (la parabole ne coupe pas l'axe) ;
si \(\Delta = 0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\), sauf en \(x_0\) où \(f(x_0) = 0\) ;
si \(\Delta \gt 0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines, et du signe de \(-a\) à l'intérieur.

Formule mnémotechnique : « signe de \(a\) à l'extérieur des racines ».

Signe de \(f\) pour \(\Delta \gt 0\) et \(a \gt 0\) : « signe de \(a\) à l'extérieur des racines » (ici positif), signe opposé entre \(x_1\) et \(x_2\).

On résume le signe dans un tableau de signes. Cas \(\Delta \gt 0\) et \(a \gt 0\), avec \(x_1 \lt x_2\) :

Tableau de signes de \(f\) : positif à l'extérieur des racines, négatif entre \(x_1\) et \(x_2\), nul en \(x_1\) et \(x_2\).

Exemple

\(f(x) = 2x^2 - 8\) a pour racines \(-2\) et \(2\). Comme \(a = 2 \gt 0\) : \(f(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;-2[\,\cup\,]2\,;+\infty[\) et \(f(x) \lt 0\) sur \(]-2\,;2[\).

Méthode — Résoudre une inéquation

Se ramener à \(f(x)\) comparé à \(0\).
Déterminer les racines (factorisation ou \(\Delta\)).
Dresser le tableau de signes avec la règle « signe de \(a\) à l'extérieur ».

Exemple résolu. Résoudre \(-x^2 + 4x - 3 \ge 0\). Racines (somme \(4\), produit \(3\)) : \(1\) et \(3\). Ici \(a = -1 \lt 0\), donc \(f(x) \ge 0\) entre les racines : l'ensemble solution est \([1\,;3]\).

Exercice d'application 5. Résoudre l'inéquation \(x^2 - x - 6 \lt 0\).

Racines (somme \(1\), produit \(-6\)) : \(-2\) et \(3\). Comme \(a = 1 \gt 0\), \(f(x) \lt 0\) entre les racines : \(S = \,]-2\,;3[\).

VI. Somme et produit des racines

Propriété — Somme et produit

Si \(f(x) = ax^2 + bx + c\) admet deux racines \(x_1\) et \(x_2\) (éventuellement égales), alors :

\[\boxed{x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}} \qquad \text{et} \qquad \boxed{x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}.}\]

Ces relations permettent de détecter des racines entières par calcul mental, ou de retrouver une racine connaissant l'autre.

Exemple

Pour \(x^2 - 5x + 6 = 0\) : on cherche deux nombres de somme \(5\) et de produit \(6\) ; ce sont \(2\) et \(3\). Donc \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).

Exercice d'application 6. Résoudre \(x^2 - 7x + 12 = 0\) par somme-produit, puis vérifier avec le discriminant.

Somme \(7\), produit \(12\) → racines \(3\) et \(4\). Vérification : \(\Delta = 49 - 48 = 1 \gt 0\), \(x = \dfrac{7 \pm 1}{2}\) = \(4\) ou \(3\). ✓

VII. Méthodes-types et choix de la forme

Méthode — Résoudre une équation du second degré

Écrire l'équation sous forme \(ax^2 + bx + c = 0\) ; identifier \(a\), \(b\), \(c\).
Chercher d'abord une factorisation simple : racine évidente (\(0\), \(1\), \(-1\)…), facteur commun, identité remarquable, somme-produit.
Sinon, calculer \(\Delta = b^2 - 4ac\) et conclure selon son signe.

Choisir la bonne forme

Objectif	Forme adaptée
Trouver les racines / le signe	factorisée
Trouver le sommet / l'extremum	canonique
Calculer \(f(0)\), développer	développée

Algorithmique et Python

Fonction renvoyant les solutions selon le discriminant :

from math import sqrt

def resoudre_second_degre(a, b, c):
    """Résout a*x^2 + b*x + c = 0 (a != 0)."""
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta > 0:
        x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2*a)
        x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2*a)
        return [x1, x2]
    elif delta == 0:
        return [-b / (2*a)]
    else:
        return []          # aucune solution réelle

print(resoudre_second_degre(2, -3, -2))   # [-0.5, 2.0]

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Oublier la condition \(a \ne 0\).

✅ Sans \(a \ne 0\), ce n'est plus un trinôme.

❌ Erreur de signe dans \(\Delta\) quand \(c \lt 0\).

✅ \(-4ac\) : deux « moins » donnent un « plus ».

❌ Diviser par \(2a\) seulement \(\sqrt{\Delta}\).

✅ C'est tout le numérateur \(-b \pm \sqrt{\Delta}\) qui est divisé par \(2a\).

❌ Confondre « intérieur » et « extérieur » des racines.

✅ Toujours repérer le signe de \(a\) : « signe de \(a\) à l'extérieur ».

❌ Inventer des racines quand \(\Delta \lt 0\).

✅ \(\Delta \lt 0\) : aucune solution réelle ni factorisation.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Forme développée : \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)).
Forme canonique : \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\), sommet \(S(\alpha\,;\beta)\).
Discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac\). \(\Delta \gt 0\) : deux racines \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) ; \(\Delta = 0\) : racine double \(-\dfrac{b}{2a}\) ; \(\Delta \lt 0\) : aucune racine réelle.
Signe : celui de \(a\) à l'extérieur des racines.
Somme-produit : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(\ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).

Simulation interactive

Fonction du second degré — Traceur