Second degré | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Pour chaque trinôme, donner \(a\), \(b\), \(c\) et l'orientation de la parabole.
1. \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
2. \(g(x) = -x^2 + 4x\)
3. \(h(x) = 5 - 2x^2\)
1. \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\) ; \(a \gt 0\) → parabole vers le haut.
2. \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 0\) ; \(a \lt 0\) → parabole vers le bas.
3. \(h(x) = -2x^2 + 0x + 5\), donc \(a = -2\), \(b = 0\), \(c = 5\) ; \(a \lt 0\) → parabole vers le bas.
Mettre sous forme canonique et donner les coordonnées du sommet.
1. \(f(x) = x^2 - 6x + 5\)
2. \(g(x) = x^2 + 4x + 1\)
3. \(h(x) = x^2 - 2x - 3\)
1. \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\), donc \(f(x) = (x-3)^2 - 4\). Sommet \(S(3\,;-4)\).
2. \(x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4\), donc \(g(x) = (x+2)^2 - 3\). Sommet \(S(-2\,;-3)\).
3. \(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\), donc \(h(x) = (x-1)^2 - 4\). Sommet \(S(1\,;-4)\).
Résoudre chaque équation à l'aide du discriminant.
1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
2. \(2x^2 - 3x - 2 = 0\)
3. \(x^2 - 6x + 9 = 0\)
4. \(x^2 + x + 1 = 0\)
1. \(\Delta = 25 - 24 = 1 \gt 0\) ; \(x = \dfrac{5 \pm 1}{2}\) → \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
2. \(\Delta = 9 + 16 = 25 \gt 0\) ; \(x = \dfrac{3 \pm 5}{4}\) → \(x_1 = 2\), \(x_2 = -\dfrac12\).
3. \(\Delta = 36 - 36 = 0\) ; racine double \(x_0 = \dfrac{6}{2} = 3\).
4. \(\Delta = 1 - 4 = -3 \lt 0\) ; aucune solution réelle.
1. Résoudre \(x^2 - 7x + 12 = 0\) par somme-produit.
2. Factoriser \(x^2 - 7x + 12\).
3. Une racine de \(x^2 - 9x + 20\) est \(4\). Trouver l'autre par somme (ou produit).
1. Somme \(7\), produit \(12\) → racines \(3\) et \(4\).
2. \(x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)\) (car \(a = 1\)).
3. Somme des racines \(= -\dfrac{b}{a} = 9\). L'autre racine vaut \(9 - 4 = 5\) (vérification par produit : \(4 \times 5 = 20 = c\)).
Étudier le signe de chaque trinôme sur \(\mathbb{R}\).
1. \(f(x) = 2x^2 - 8\)
2. \(g(x) = -2x^2 + 3x - 5\)
3. \(h(x) = -x^2 + 4x - 3\)
1. Racines \(-2\) et \(2\), \(a = 2 \gt 0\) : \(f(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;-2[\cup]2\,;+\infty[\), \(f(x) \lt 0\) sur \(]-2\,;2[\), nul en \(\pm 2\).
2. \(\Delta = 9 - 40 = -31 \lt 0\) : pas de racine, \(g(x)\) est du signe de \(a = -2\), donc strictement négatif pour tout \(x\).
3. Racines (somme \(4\), produit \(3\)) : \(1\) et \(3\), \(a = -1 \lt 0\) : \(h(x) \gt 0\) sur \(]1\,;3[\), \(h(x) \lt 0\) à l'extérieur, nul en \(1\) et \(3\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\).
1. \(x^2 - x - 6 \lt 0\)
2. \(-x^2 + 4x - 3 \ge 0\)
3. \(x^2 - 4x + 4 \gt 0\)
1. Racines \(-2\) et \(3\), \(a \gt 0\) : \(f(x) \lt 0\) entre les racines → \(S = \,]-2\,;3[\).
2. Racines \(1\) et \(3\), \(a \lt 0\) : \(f(x) \ge 0\) entre les racines → \(S = [1\,;3]\).
3. \(\Delta = 16 - 16 = 0\), racine double \(2\), \(a \gt 0\) : \(f(x) \gt 0\) partout sauf en \(x = 2\) → \(S = \,]-\infty\,;2[\cup]2\,;+\infty[\).
1. Déterminer une fonction polynôme du second degré s'annulant en \(-1\) et en \(5\).
2. Parmi celles-ci, déterminer celle qui vaut \(-12\) en \(0\).
1. Toute fonction \(f(x) = a(x+1)(x-5)\) avec \(a \ne 0\) convient. Par exemple \(f(x) = (x+1)(x-5) = x^2 - 4x - 5\).
2. \(f(0) = a(1)(-5) = -5a\). On veut \(-5a = -12\), donc \(a = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\). Ainsi \(f(x) = 2{,}4\,(x+1)(x-5)\).
Un rectangle a un périmètre de \(20\) cm. On note \(x\) sa largeur.
1. Exprimer la longueur puis l'aire \(A(x)\) en fonction de \(x\).
2. Mettre \(A(x)\) sous forme canonique.
3. En déduire la largeur qui maximise l'aire et l'aire maximale.
1. Périmètre \(2(\text{long} + x) = 20\), donc la longueur est \(10 - x\). Aire : \(A(x) = x(10-x) = -x^2 + 10x\).
2. \(-x^2 + 10x = -(x^2 - 10x) = -\big[(x-5)^2 - 25\big] = -(x-5)^2 + 25\).
3. Comme \(a = -1 \lt 0\), \(A\) est maximale au sommet, pour \(x = 5\) cm (un carré \(5 \times 5\)), avec \(A_{\max} = 25\ \text{cm}^2\).