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L'essentiel :
- Un trinôme s'écrit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \ne 0\) ; sa courbe est une parabole (vers le haut si \(a \gt 0\), vers le bas si \(a \lt 0\)).
- Discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) : son signe détermine le nombre de racines.
- La forme canonique donne le sommet et l'extremum ; la forme factorisée donne les racines et le signe.
- Le trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines.
- Avant de calculer \(\Delta\), toujours chercher une racine évidente ou un somme-produit.
Définitions clés
Définition
Trinôme : fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a \ne 0\) (forme développée). Coefficients \(a\), \(b\), \(c\).
Définition
Forme canonique : \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\). Sommet \(S(\alpha\,;\beta)\), axe de symétrie \(x = \alpha\).
Définition
Discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac\). Selon son signe : deux racines (\(\Delta \gt 0\)), une racine double (\(\Delta = 0\)), aucune racine réelle (\(\Delta \lt 0\)).
À connaître par cœur
Discriminant et racines
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \quad (\Delta \gt 0), \qquad x_0 = \dfrac{-b}{2a} \quad (\Delta = 0)\]
Forme canonique
\[f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad \alpha = -\dfrac{b}{2a}, \quad \beta = f(\alpha)\]
Factorisation (si \(\Delta \gt 0\))
\[f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)\]
Somme et produit des racines
\[x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \qquad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}\]
Signe du trinôme
- \(\Delta \lt 0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) partout.
- \(\Delta = 0\) : du signe de \(a\), sauf en \(x_0\) (nul).
- \(\Delta \gt 0\) : signe de \(a\) à l'extérieur des racines, signe de \(-a\) à l'intérieur.
Choisir la bonne forme
- Racines / signe → forme factorisée.
- Sommet / extremum → forme canonique.
- \(f(0)\), développement → forme développée.
Méthode — Résoudre et étudier le signe
Méthode — Résoudre \(ax^2 + bx + c = 0\)
- Identifier \(a\), \(b\), \(c\) (mettre \(=0\) d'abord).
- Chercher une racine évidente ou un somme-produit.
- Sinon calculer \(\Delta\) et conclure selon son signe.
Méthode — Résoudre une inéquation
- Se ramener à \(f(x)\) comparé à \(0\).
- Trouver les racines, dresser le tableau de signes.
- Appliquer « signe de \(a\) à l'extérieur des racines ».
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Erreur de signe dans \(\Delta\) quand \(c \lt 0\).
✅ \(-4ac\) : deux « moins » donnent un « plus ».
❌ Diviser par \(2a\) seulement \(\sqrt{\Delta}\).
✅ Tout le numérateur \(-b \pm \sqrt{\Delta}\) est divisé par \(2a\).
❌ Confondre intérieur et extérieur des racines.
✅ Signe de \(a\) à l'extérieur ; signe opposé entre les racines.
❌ Inventer des racines quand \(\Delta \lt 0\).
✅ \(\Delta \lt 0\) : aucune racine, aucune factorisation dans \(\mathbb{R}\).
Exemple rapide
Exemple — un trinôme complet
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\).
- \(\Delta = 36 - 20 = 16 \gt 0\), racines \(x = \dfrac{6 \pm 4}{2}\) → \(1\) et \(5\).
- Factorisée : \(f(x) = (x-1)(x-5)\).
- Canonique : \(f(x) = (x-3)^2 - 4\), sommet \(S(3\,;-4)\).
- Signe : \(f(x) \gt 0\) à l'extérieur de \([1\,;5]\), \(f(x) \lt 0\) sur \(]1\,;5[\).