Un installateur thermique prépare une petite boucle de chauffage de 25 m. Pour alimenter les émetteurs, le débit visé est de 15 L/min. Le réseau comporte 4 coudes à 90°, 1 té utilisé sur le passage dérivé et 2 vannes ouvertes.
Le circulateur prévu sera réglé sur sa vitesse la plus faible, le réglage I. À 15 L/min, il peut alors compenser jusqu'à 1,39 mCE de pertes de charge. L'installateur hésite entre trois diamètres intérieurs : 16 mm, 20 mm et 26 mm.
Problématique
Comment le débit et le diamètre influencent-ils les pertes de charge, et quel est le plus petit diamètre compatible avec la limite de 1,39 mCE dans ce modèle ?
2. Pertes de charge et fonction carré
Vocabulaire
Une perte de charge est une diminution de pression provoquée par les frottements de l'eau dans le tube et par les changements de direction ou de section.
Pertes linéaires : dues au frottement tout au long du tube ;
Pertes singulières : dues aux accessoires : coudes, tés, vannes… ;
mCE : mètre de colonne d'eau, unité couramment utilisée pour exprimer une hauteur de pression.
Fonction carré
Une grandeur \(y\) est une fonction carré de \(x\) quand \(y=k\times x^2\), avec \(k\) un nombre fixe.
On calcule \(k\) avec une seule mesure : \(k=\dfrac{y}{x^2}\).
Si \(x\) est multiplié par un nombre \(n\), \(y\) est multiplié par \(n\times n\) : ce n'est pas une situation de proportionnalité.
La courbe n'est pas une droite : c'est une parabole.
Attention — la hauteur du bâtiment ne compte pas
Dans une boucle de chauffage fermée, la pompe compense principalement les pertes de charge du circuit : on n'ajoute pas la hauteur du bâtiment comme pour une colonne d'eau ouverte.
Pertes de charge du réglage « Tube droit » de la simulation (tube de 20 mm, 25 m, sans accessoire) en fonction du débit. Les points marqués : 0,45 mCE à 10 L/min et 4,03 mCE à 30 L/min.
Consigne
Tous les exercices se font avec la simulation. Suis les exercices de cette page, et non les « missions » affichées en bas de la simulation.
SocleExercice 1 — Doubler le débit
Exemple — sur d'autres valeurs Bouton « Tube droit » : à 10 L/min, les pertes valent 0,45 mCE ; à 30 L/min, elles valent 4,03 mCE. Le débit est multiplié par 30 ÷ 10 = 3. Les pertes sont multipliées par 4,03 ÷ 0,45 ≈ 9,0.
À toi de jouer.
Dans la simulation, cliquer sur « Circuit de chauffage », puis conserver : \(L=25\) m, \(D=20\) mm, 4 coudes, 1 té et 2 vannes.
Régler successivement le débit \(Q\) sur 5, 10, 15 puis 20 L/min. Relever les pertes de charge totales ΔH et compléter le tableau.
Débit \(Q\) (L/min)
5
10
15
20
\(Q^2\)
……
……
……
……
Pertes totales ΔH (mCE)
……
……
……
……
Quand le débit passe de 5 à 10 L/min, par combien est-il multiplié ? Par combien les pertes sont-elles multipliées ?
Refaire la comparaison entre 10 et 20 L/min.
La courbe affichée dans la partie 5 de la simulation ressemble-t-elle à une droite ou à une parabole ?
Débit \(Q\) (L/min)
5
10
15
20
\(Q^2\)
25
100
225
400
ΔH (mCE)
0,13
0,53
1,20
2,13
Le débit est multiplié par 2 ; les pertes passent de 0,13 à 0,53 mCE : \(0{,}53 \div 0{,}13 \approx 4{,}1\), soit environ ×4.
Le débit est encore multiplié par 2 ; les pertes passent de 0,53 à 2,13 mCE : \(2{,}13 \div 0{,}53 \approx 4{,}0\), soit environ ×4.
La courbe est une parabole. À réseau fixé, la simulation donne une relation de la forme \(ΔH=kQ^2\).
SocleExercice 2 — Le coefficient \(k\)
Exemple — sur d'autres valeurs Bouton « Tube droit » : à 10 L/min, ΔH = 0,45 mCE, donc k = 0,45 ÷ 10² = 0,45 ÷ 100 = 0,0045. Prévision à 30 L/min : 0,0045 × 30² = 0,0045 × 900 = 4,05 mCE. La simulation affiche 4,03 mCE : les valeurs sont très proches.
À toi de jouer.
On revient au « Circuit de chauffage ». Pour ce réseau, on modélise les pertes par \(ΔH=kQ^2\), avec \(Q\) en L/min et ΔH en mCE.
À partir de \(Q=10\) L/min et \(ΔH=0{,}53\) mCE, calculer \(k=\dfrac{\Delta H}{Q^2}\).
Utiliser ce coefficient pour prévoir les pertes à \(Q=20\) L/min.
Comparer la valeur calculée à celle lue dans la simulation.
La simulation affiche 2,13 mCE. L'écart de 0,01 mCE vient des arrondis : les résultats sont cohérents.
SocleExercice 3 — Trois diamètres
Exemple — sur d'autres valeurs « Circuit de chauffage », 15 L/min, tube de 12 mm : la simulation affiche une vitesse de 2,21 m/s et des pertes totales de 14,42 mCE. Comme 14,42 > 1,39, ce tube ne respecte pas la limite.
À toi de jouer.
Cliquer sur « Circuit de chauffage » : le débit est de 15 L/min et le réseau de 25 m garde ses accessoires. Tester successivement les trois diamètres proposés dans la liste « Diamètre intérieur ».
Diamètre intérieur \(D\) (mm)
16
20
26
Vitesse \(v\) (m/s)
……
……
……
Pertes totales ΔH (mCE)
……
……
……
ΔH ≤ 1,39 mCE ?
……
……
……
Quel effet l'augmentation du diamètre a-t-elle sur la vitesse de l'eau ?
Quel effet a-t-elle sur les pertes de charge ?
Quel est le plus petit diamètre qui respecte la limite de 1,39 mCE dans le modèle ? Justifier.
\(D\) (mm)
16
20
26
\(v\) (m/s)
1,24
0,80
0,47
ΔH (mCE)
3,54
1,20
0,34
ΔH ≤ 1,39 mCE ?
Non
Oui
Oui
Quand le diamètre augmente, la vitesse de l'eau diminue pour un même débit.
Les pertes de charge diminuent très fortement.
Le diamètre de 20 mm est le plus petit qui respecte la limite : \(1{,}20\lt 1{,}39\) mCE. Le tube de 16 mm ne convient pas car \(3{,}54\gt 1{,}39\) mCE.
StandardExercice 4 — Les accessoires
Exemple — sur d'autres valeurs « Circuit de chauffage » avec une longueur de 50 m : pertes dues aux accessoires 0,19 mCE, pertes totales 2,20 mCE. Part des accessoires : 0,19 ÷ 2,20 × 100 ≈ 8,6 %.
À toi de jouer.
Conserver \(Q=15\) L/min, \(L=25\) m et \(D=20\) mm.
Cliquer sur « Tube droit » et relever les pertes totales. Revenir au « Circuit de chauffage » et relever les pertes dues aux accessoires et les pertes totales.
Calculer la part des accessoires dans les pertes totales du circuit, en pourcentage.
Expliquer pourquoi deux réseaux de même longueur et de même diamètre peuvent avoir des pertes différentes.
Tube droit : pertes totales 1,01 mCE, toutes linéaires. Circuit de chauffage : pertes accessoires 0,19 mCE et pertes totales 1,20 mCE.
\(0{,}19 \div 1{,}20\times100\approx15{,}8\ \%\), soit environ 16 %.
Les coudes, tés et vannes perturbent l'écoulement et ajoutent des pertes singulières. Le tracé du réseau compte donc autant que sa longueur.
StandardExercice 5 — Choisir le tube
Exemple — sur d'autres valeurs Le tube multicouche 16 × 2 a un diamètre extérieur de 16 mm et une épaisseur de 2 mm. Son diamètre intérieur vaut 16 − 2 × 2 = 12 mm : l'épaisseur compte deux fois.
À toi de jouer.
Au débit de 15 L/min, la limite est de 1,39 mCE. Utiliser les résultats de l'exercice 3 et cet extrait de la fiche de données des tubes (désignation : diamètre extérieur × épaisseur, en mm) : cuivre 18 × 1, cuivre 22 × 1, cuivre 28 × 1 ; multicouche 20 × 2, multicouche 26 × 3, multicouche 32 × 3.
Pourquoi le tube de 16 mm est-il refusé ? Justifier avec une valeur.
Le tube de 26 mm respecte aussi la limite. Pourquoi ne pas le choisir ?
Dans l'extrait, trouver le tube en cuivre et le tube multicouche qui ont le diamètre intérieur retenu. Justifier par un calcul.
Avec 16 mm, les pertes atteignent 3,54 mCE : \(3{,}54\gt 1{,}39\). Le circulateur sur le réglage I ne peut pas les compenser.
Le tube de 20 mm suffit : c'est le plus petit qui respecte la limite. Le 26 mm serait surdimensionné : d'après la fiche, il est plus lourd (cuivre : 0,760 kg/m contre 0,591 kg/m) et contient plus d'eau à chauffer (0,531 L/m contre 0,314 L/m).
Diamètre intérieur retenu : 20 mm. Cuivre 22 × 1 : \(22-2\times1=20\) mm. Multicouche 26 × 3 : \(26-2\times3=20\) mm.
Pour aller plus loin — hors séance (Première / Terminale)
Modèle utilisé par la simulation
\[
v=\frac{Q}{S}, \qquad
\Delta H_{\mathrm{lin}}=\lambda\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}, \qquad
\Delta H_{\mathrm{sing}}=\sum \zeta\frac{v^2}{2g}
\]
Dans ces relations, le débit est exprimé en m³/s, les longueurs en m et la section en m². La simulation convertit les valeurs saisies en L/min et en mm.
La simulation prend \(g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}\), λ = 0,025 et des coefficients ζ fournis pour chaque accessoire : 0,9 par coude, 1,8 par té, 0,2 par vanne. Dans une installation réelle, ces coefficients dépendent du tube, de l'écoulement et des accessoires retenus ; le dimensionnement utilise les données des fabricants et les règles professionnelles.
Démonstration courte
Pour un réseau fixé, \(S\), λ, \(L/D\) et Σζ sont constants. Comme \(v=Q/S\), la vitesse est proportionnelle au débit. Or les deux pertes contiennent \(v^2\) : elles sont donc proportionnelles à \(Q^2\). C'est pourquoi la courbe de réseau est parabolique.
Étape suivante : comparer cette courbe croissante à la courbe décroissante d'une pompe pour déterminer leur intersection, appelée point de fonctionnement.