Le cas à deux corps sert de comparaison.
Seul le corps 3 est déplacé ; le décalage n’est pas visible à cette échelle.
Accélérer la lecture ne change pas la précision du calcul.
Repère fixe · même échelle que B · traces récentes sur 3 unités de temps
Les anneaux blancs, si activés, repèrent les positions de A au même instant.
Préparation des trajectoires…
Comment grandit la différence ?
Axe vertical logarithmique : passer de 0,001 à 0,01 revient à multiplier l’écart par 10. La ligne horizontale à 0,1 est un seuil de comparaison choisi pour cette expérience.
Les deux systèmes sont initialement presque confondus.
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Préparation…
Le calcul contrôle les rapprochements entre corps.
Tout le monde attire tout le monde
À deux corps isolés, le mouvement relatif suit une orbite régulière. Avec trois corps, chacun modifie le mouvement des deux autres. Une rencontre change les vitesses et prépare la suivante.
Le départ compte longtemps
Dans un régime chaotique, une petite différence initiale peut être fortement amplifiée. Les rencontres suivantes se produisent autrement ; les trajectoires deviennent très différentes.
Choisis un décalage dix fois plus petit et compare le moment où l’écart dépasse 0,1.
Déterministe, mais difficile à prévoir
Il n’y a aucun tirage au hasard. Des données initiales exactement identiques donnent la même évolution. Mais les mesures ont une précision limitée : leur incertitude réduit la durée pendant laquelle une prévision détaillée reste utile.
Trois corps ne signifie pas toujours chaos : il existe aussi des configurations régulières et périodiques. Un simple éloignement entre deux courbes ne suffit pas, à lui seul, à démontrer le chaos.
Prolonger l’exploration : des planètes autour de deux étoiles →
Comprendre le modèle, les mesures et la précision
La gravitation de Newton
F = G × m₁ × m₂ / r²
Force attractive entre deux corps séparés par la distance r.
Accélération = somme des forces / masse.
Le calcul additionne les attractions de tous les autres corps dans le plan. Il utilise des unités normalisées : G = 1 et chaque masse vaut 1. Les unités de temps et de longueur sont celles du modèle, pas des jours ni des kilomètres.
- Corps ponctuels ; aucun frottement, aucune force extérieure et aucune relativité.
- Les disques sont agrandis : un chevauchement à l’écran n’est pas une collision physique.
- Les deux vues ont la même échelle, fixe pendant la lecture. Le repère ne suit aucun corps.
- Le chaos est un approfondissement culturel ; il n’est pas présenté comme une capacité exigible du programme de Terminale.
Que mesure le graphique ?
L’écart est la racine de la moyenne des distances au carré entre les corps correspondants de A et B, en unités de longueur. Il inclut les positions de tous les corps. Le décalage d’un seul corps donne donc un écart initial égal au décalage divisé par √N.
La courbe ne constitue pas une mesure d’un exposant de Lyapunov. Le seuil 0,1 est un repère pédagogique, pas un horizon universel de prédiction.
Éviter de confondre chaos et erreur de calcul
Intégration de Runge–Kutta avec contrôle local d’erreur, pas adaptatif et extrapolation. Le pas diminue lors des rencontres rapprochées. La tolérance de départ vaut 10⁻¹².
Le bouton de vérification recalcule A et B avec une tolérance de 10⁻¹³. La courbe grise donne la somme des écarts de positions entre les deux précisions. C’est un contrôle de convergence, pas une borne garantie de l’erreur réelle.
Variation relative maximale de l’énergie : en cours de calcul.
Sources : Stone et Leigh, dynamique chaotique des systèmes à trois corps (2019) ; REBOUND, méthodes et diagnostics de simulation gravitationnelle.