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Chapitre 11 – Mouvement dans un champ de gravitation (lois de Kepler)

Thème 2 : Mouvement et interactions | Physique-Chimie | Terminale générale (spécialité)

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 01:30

⏱ Durée de lecture estimée : ~13 min

Objectifs du chapitre :
Situation. Au-dessus de nos têtes, la Station spatiale internationale fait le tour de la Terre en un peu plus de 90 minutes, tandis que le satellite de télévision qui alimente une parabole reste, lui, parfaitement immobile dans le ciel. Comment un même astre — la Terre — peut-il gouverner des mouvements aussi différents ? La Lune, les planètes autour du Soleil, les satellites artificiels : tous obéissent à une seule et même interaction, la gravitation, décrite par Newton, et à trois lois géométriques découvertes par Kepler. Ce chapitre montre comment, à partir de la seule force de gravitation, on prévoit la vitesse, la période et l'altitude d'un satellite.

1. La force d'interaction gravitationnelle

Deux corps qui possèdent une masse s'attirent mutuellement : c'est la gravitation universelle. Cette attraction existe entre la Terre et une pomme, entre la Terre et la Lune, entre le Soleil et chaque planète — d'où le mot « universelle ». Newton a établi en 1687 que la valeur de cette force augmente avec les masses en jeu et diminue très vite quand la distance grandit (en \(1/d^2\)).

Loi de la gravitation universelle Deux corps ponctuels \(A\) et \(B\), de masses \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\), exercent l'un sur l'autre des forces attractives, de même valeur, opposées, portées par la droite \((AB)\) :
\(F=G\,\dfrac{m_A\,m_B}{d^2}\)
avec \(F\) en newtons (N), \(m_A\) et \(m_B\) en kilogrammes (kg), \(d\) en mètres (m) et \(G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}\) la constante de gravitation universelle.

Les deux forces \(\vec{F}_{A/B}\) (exercée par \(A\) sur \(B\)) et \(\vec{F}_{B/A}\) (exercée par \(B\) sur \(A\)) forment un couple action–réaction : elles ont la même valeur \(F\), la même direction (la droite \((AB)\)), mais des sens opposés, et chacune est dirigée vers le corps qui l'exerce (attraction).

Attraction gravitationnelle mutuelle A masse m_A B masse m_B d F(B/A) F(A/B)
Exemple travaillé — la Terre attire un satellite. Un satellite de masse \(m=1{,}0\times10^{3}\ \text{kg}\) orbite à \(r=7{,}0\times10^{6}\ \text{m}\) du centre de la Terre (\(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\)). La valeur de la force gravitationnelle qu'il subit est :
\(F=G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{24}\times1{,}0\times10^{3}}{(7{,}0\times10^{6})^2}\)
\(F=6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{27}}{4{,}9\times10^{13}}=6{,}67\times10^{-11}\times1{,}22\times10^{14}\approx8{,}1\times10^{3}\ \text{N}\).
Cette force, dirigée vers le centre de la Terre, est la seule qui agit sur le satellite : c'est elle qui le maintient en orbite.
Mini-exercice 1. Calculer la valeur de la force gravitationnelle entre la Terre (\(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\)) et la Lune (\(m_L=7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}\)), distantes de \(d=3{,}84\times10^{8}\ \text{m}\).

\(F=G\dfrac{M_T\,m_L}{d^2}=6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{24}\times7{,}35\times10^{22}}{(3{,}84\times10^{8})^2}\).
Numérateur : \(6{,}67\times10^{-11}\times4{,}39\times10^{47}=2{,}93\times10^{37}\). Dénominateur : \((3{,}84\times10^{8})^2=1{,}47\times10^{17}\).
\(F=\dfrac{2{,}93\times10^{37}}{1{,}47\times10^{17}}\approx2{,}0\times10^{20}\ \text{N}\). C'est cette force colossale qui retient la Lune sur son orbite.

2. Le champ de gravitation

Plutôt que de recalculer la force à chaque fois, on préfère décrire l'influence d'un astre par un champ de gravitation : en chaque point de l'espace, l'astre « impose » un vecteur \(\vec{\mathcal{G}}\) qui indique dans quelle direction et avec quelle intensité un objet placé là serait attiré. C'est exactement l'idée du champ de pesanteur \(\vec{g}\) déjà rencontré : au voisinage de la Terre, le champ de gravitation est le champ de pesanteur.

Champ de gravitation d'un astre Un astre de masse \(M\) crée, en un point situé à la distance \(r\) de son centre, un champ de gravitation dont la valeur est :
\(\mathcal{G}=G\,\dfrac{M}{r^2}\qquad(\text{en N·kg}^{-1})\)
Le vecteur \(\vec{\mathcal{G}}\) est dirigé vers le centre de l'astre. Un corps de masse \(m\) placé en ce point subit alors la force \(\vec{F}=m\,\vec{\mathcal{G}}\), de valeur \(F=m\,\mathcal{G}\).

Le champ de gravitation est radial : ses vecteurs pointent tous vers le centre de l'astre, comme les rayons d'une roue. Il est plus intense près de l'astre et décroît en \(1/r^2\). À la surface de la Terre (\(r=R_T=6{,}37\times10^{6}\ \text{m}\)), on retrouve \(\mathcal{G}_0=G\,M_T/R_T^{\,2}\approx9{,}8\ \text{N·kg}^{-1}\), c'est-à-dire la valeur habituelle de \(g\).

Champ de gravitation (radial) M M' g r loin de l'astre, le champ est plus faible (décroissance en 1/r²)
Mini-exercice 2. Calculer la valeur du champ de gravitation créé par la Terre à l'altitude d'un satellite, soit \(r=8{,}0\times10^{6}\ \text{m}\) du centre. Donnée : \(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\).

\(\mathcal{G}=G\dfrac{M_T}{r^2}=6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{24}}{(8{,}0\times10^{6})^2}=6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times10^{24}}{6{,}4\times10^{13}}\).
\(\mathcal{G}=6{,}67\times10^{-11}\times9{,}33\times10^{10}\approx6{,}2\ \text{N·kg}^{-1}\). C'est nettement moins que \(9{,}8\ \text{N·kg}^{-1}\) au sol : le champ a bien diminué avec l'altitude.

3. Les trois lois de Kepler

Avant Newton, Johannes Kepler (1571–1630) avait dégagé, à partir des observations très précises des planètes, trois lois géométriques décrivant leur mouvement autour du Soleil. Elles s'appliquent aussi bien aux planètes autour du Soleil qu'aux satellites autour d'une planète.

1ère loi — loi des orbites Dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. (Une ellipse dont les deux foyers sont confondus est un cercle : l'orbite circulaire est un cas particulier.)
2ème loi — loi des aires Le segment reliant le Soleil à la planète (le « rayon » Soleil–planète) balaie des aires égales pendant des durées égales. Conséquence : la planète va plus vite lorsqu'elle est proche du Soleil (au périhélie) et plus lentement lorsqu'elle en est loin (à l'aphélie).
Lois de Kepler : ellipse et aires égales foyer Soleil rapide lente planète Les deux aires coloriées sont égales : elles sont balayées pendant la même durée.
3ème loi — loi des périodes Pour toutes les planètes d'un même système, le rapport entre le carré de la période \(T\) et le cube du demi-grand axe \(a\) de l'orbite est le même :
\(\dfrac{T^2}{a^3}=\text{constante}\)
Cette constante ne dépend que de l'astre central (le Soleil pour les planètes, la Terre pour ses satellites). Pour une orbite circulaire, le demi-grand axe \(a\) est simplement le rayon \(r\) de l'orbite.

La troisième loi est extrêmement utile : connaissant \(T\) et \(a\) pour un corps du système, on en déduit \(T\) ou \(a\) pour un autre, sans même connaître la masse de l'astre central. Il suffit d'écrire l'égalité des rapports \(T^2/a^3\).

Méthode — exploiter la 3ème loi de Kepler
  1. Vérifier que les deux corps orbitent autour du même astre central.
  2. Écrire l'égalité \(\dfrac{T_1^{\,2}}{a_1^{\,3}}=\dfrac{T_2^{\,2}}{a_2^{\,3}}\).
  3. Isoler la grandeur cherchée (par exemple \(T_2=\sqrt{T_1^{\,2}\times\dfrac{a_2^{\,3}}{a_1^{\,3}}}\)).
  4. Convertir les unités (jours ↔ secondes, km ↔ m) et faire l'application numérique.
Exemple travaillé — période de Mars. La Terre orbite à \(a_T=1{,}50\times10^{11}\ \text{m}\) avec \(T_T=365\ \text{jours}\). Mars orbite à \(a_M=2{,}28\times10^{11}\ \text{m}\). Comme les deux planètes tournent autour du Soleil :
\(\dfrac{T_M^{\,2}}{a_M^{\,3}}=\dfrac{T_T^{\,2}}{a_T^{\,3}}\Rightarrow T_M=T_T\sqrt{\dfrac{a_M^{\,3}}{a_T^{\,3}}}=T_T\left(\dfrac{a_M}{a_T}\right)^{3/2}\).
\(\dfrac{a_M}{a_T}=\dfrac{2{,}28}{1{,}50}=1{,}52\), donc \((1{,}52)^{3/2}=1{,}52\times\sqrt{1{,}52}=1{,}52\times1{,}233\approx1{,}87\).
\(T_M=365\times1{,}87\approx6{,}8\times10^{2}\ \text{jours}\) (soit environ 1,9 an). La valeur réelle est de 687 jours : l'accord est excellent.
Mini-exercice 3. Jupiter orbite autour du Soleil à un demi-grand axe \(a_J=7{,}78\times10^{11}\ \text{m}\). En prenant pour la Terre \(a_T=1{,}50\times10^{11}\ \text{m}\) et \(T_T=1{,}00\ \text{an}\), estimer la période de Jupiter (en années).

\(T_J=T_T\left(\dfrac{a_J}{a_T}\right)^{3/2}\). Rapport : \(\dfrac{7{,}78}{1{,}50}=5{,}19\). Puis \((5{,}19)^{3/2}=5{,}19\times\sqrt{5{,}19}=5{,}19\times2{,}28\approx11{,}8\).
\(T_J\approx1{,}00\times11{,}8\approx12\ \text{ans}\) (valeur réelle : 11,9 ans).

4. Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète

La plupart des satellites artificiels décrivent une orbite quasi circulaire à vitesse constante : on parle de mouvement circulaire uniforme. Attention : « uniforme » signifie que la valeur de la vitesse ne change pas, mais sa direction, elle, change en permanence (le vecteur vitesse tourne). Or un changement de direction du vecteur vitesse est déjà une variation de vitesse : le mouvement est donc accéléré.

Accélération centripète Dans un mouvement circulaire uniforme de rayon \(r\) et de vitesse \(v\), le vecteur accélération \(\vec{a}\) est constamment dirigé vers le centre du cercle (on dit qu'il est centripète) et perpendiculaire au vecteur vitesse. Sa valeur est :
\(a=\dfrac{v^2}{r}\qquad(\text{en m·s}^{-2})\)

Le vecteur vitesse \(\vec{v}\) est toujours tangent à la trajectoire (dans le sens du mouvement) ; le vecteur accélération \(\vec{a}\) pointe vers l'intérieur, vers le centre. C'est cohérent avec la deuxième loi de Newton : la seule force appliquée au satellite, la gravitation, est elle aussi dirigée vers le centre de la Terre. C'est cette force centripète qui « courbe » en permanence la trajectoire et empêche le satellite de partir en ligne droite.

Accélération centripète du satellite Terre satellite v a v tangente au mouvement ; a vers le centre (accélération centripète).
Mini-exercice 4. Un satellite se déplace à \(v=7{,}5\times10^{3}\ \text{m·s}^{-1}\) sur une orbite circulaire de rayon \(r=7{,}0\times10^{6}\ \text{m}\). Calculer la valeur de son accélération et préciser sa direction.

\(a=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{(7{,}5\times10^{3})^2}{7{,}0\times10^{6}}=\dfrac{5{,}6\times10^{7}}{7{,}0\times10^{6}}\approx8{,}0\ \text{m·s}^{-2}\). Le vecteur accélération est centripète : dirigé vers le centre de la Terre, perpendiculaire à la vitesse.

5. Vitesse et période d'un satellite en orbite circulaire

On peut maintenant réunir les deux idées précédentes — la force de gravitation d'un côté, l'accélération centripète de l'autre — pour établir la vitesse d'un satellite. C'est l'un des raisonnements les plus importants du chapitre.

Établir l'expression de la vitesse Le satellite (masse \(m\)) n'est soumis qu'à la force de gravitation exercée par l'astre central (masse \(M\)). La deuxième loi de Newton s'écrit \(\vec{F}=m\,\vec{a}\). En projetant sur la direction centripète :
\(\underbrace{G\dfrac{M\,m}{r^2}}_{\text{force de gravitation}}=\underbrace{m\dfrac{v^2}{r}}_{\text{masse}\,\times\,\text{accélération centripète}}\)
La masse \(m\) du satellite se simplifie de chaque côté, puis on multiplie par \(r\) :
\(G\dfrac{M}{r^2}=\dfrac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v^2=G\dfrac{M}{r}\).
Vitesse d'un satellite circulaire
\(v=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\)
La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite : à une altitude donnée, un petit satellite et une grosse station spatiale vont exactement à la même vitesse. Plus l'orbite est haute (grand \(r\)), plus le satellite est lent.

La période \(T\) est la durée d'un tour complet. Le satellite parcourt le périmètre du cercle \(2\pi r\) à la vitesse \(v\), donc :

Période d'un satellite circulaire
\(T=\dfrac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M}}\)
En élevant au carré : \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3\), c'est-à-dire \(\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}=\text{constante}\) : on retrouve la 3ème loi de Kepler, et la constante ne dépend bien que de la masse \(M\) de l'astre central.
Exemple travaillé — la Station spatiale internationale (ISS). L'ISS orbite à environ \(400\ \text{km}\) d'altitude, soit \(r=R_T+h=6{,}37\times10^{6}+0{,}40\times10^{6}=6{,}77\times10^{6}\ \text{m}\). Avec \(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\) :
Vitesse : \(v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}}{6{,}77\times10^{6}}}=\sqrt{\dfrac{3{,}98\times10^{14}}{6{,}77\times10^{6}}}=\sqrt{5{,}88\times10^{7}}\approx7{,}7\times10^{3}\ \text{m·s}^{-1}\) (environ 7,7 km/s).
Période : \(T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\times6{,}77\times10^{6}}{7{,}7\times10^{3}}=\dfrac{4{,}25\times10^{7}}{7{,}7\times10^{3}}\approx5{,}5\times10^{3}\ \text{s}\), soit environ \(92\ \text{min}\). L'ISS fait donc près de 16 tours de Terre par jour.
Mini-exercice 5. Un satellite d'observation orbite à \(r=7{,}20\times10^{6}\ \text{m}\) du centre de la Terre (\(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\)). Calculer sa vitesse, puis sa période.

Vitesse : \(v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}}{7{,}20\times10^{6}}}=\sqrt{\dfrac{3{,}98\times10^{14}}{7{,}20\times10^{6}}}=\sqrt{5{,}53\times10^{7}}\approx7{,}4\times10^{3}\ \text{m·s}^{-1}\).
Période : \(T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\times7{,}20\times10^{6}}{7{,}4\times10^{3}}=\dfrac{4{,}52\times10^{7}}{7{,}4\times10^{3}}\approx6{,}1\times10^{3}\ \text{s}\) (environ 102 min).

6. Le satellite géostationnaire

Certains satellites — de télévision, de télécommunications ou de météorologie — doivent rester en permanence au-dessus du même point de la Terre, pour qu'une antenne fixe reste toujours pointée vers eux. Un tel satellite est dit géostationnaire.

Satellite géostationnaire Un satellite géostationnaire paraît immobile depuis la surface de la Terre. Pour cela, il doit :

Cette condition sur la période impose une altitude unique : il n'existe qu'une seule orbite géostationnaire. On la calcule en partant de \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}\,r^3\), que l'on inverse pour isoler \(r\) :

\(r=\left(\dfrac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\)
Exemple travaillé — altitude de l'orbite géostationnaire. Avec \(T=8{,}62\times10^{4}\ \text{s}\), \(G\,M_T=3{,}98\times10^{14}\) et \(4\pi^2\approx39{,}5\) :
\(r^3=\dfrac{3{,}98\times10^{14}\times(8{,}62\times10^{4})^2}{39{,}5}=\dfrac{3{,}98\times10^{14}\times7{,}43\times10^{9}}{39{,}5}=\dfrac{2{,}96\times10^{24}}{39{,}5}\approx7{,}49\times10^{22}\ \text{m}^3\).
\(r=(7{,}49\times10^{22})^{1/3}\approx4{,}22\times10^{7}\ \text{m}\), soit \(42\,200\ \text{km}\) du centre de la Terre.
L'altitude est donc \(h=r-R_T=42\,200-6\,370\approx3{,}6\times10^{4}\ \text{km}\) (environ 36 000 km au-dessus du sol).
Satellite géostationnaire Terre satellite Même sens, même période que la Terre : le satellite reste à la verticale du même point du sol.
Mini-exercice 6. Deux affirmations sur le satellite géostationnaire sont-elles vraies ou fausses ? (a) « Il est immobile dans l'espace. » (b) « On peut choisir librement son altitude. »

(a) Faux. Il n'est immobile que par rapport au sol : dans le référentiel géocentrique, il tourne autour de la Terre à environ 3,1 km/s. (b) Faux. La condition \(T\approx8{,}62\times10^{4}\ \text{s}\) impose une orbite unique à environ 36 000 km d'altitude ; on ne peut pas la choisir.

7. Applications

À quoi servent ces satellites ?

8. Erreurs fréquentes

Erreurs fréquentes
À retenir