Chapitre 15 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Vérifier que \(f(x)=e^{-2x}+5\) est solution de \(y'=-2y+10\). (2 pts)
2. Donner l'ensemble des solutions de \(y'=-2y+10\). (2 pts)
3. Déterminer la solution vérifiant \(y(0)=8\). (2 pts)
4. Vers quelle valeur tend cette solution quand \(x\to+\infty\) ? Justifier. (1 pt)
1. \(f'(x)=-2\,e^{-2x}\). Membre de droite : \(-2f(x)+10=-2(e^{-2x}+5)+10=-2e^{-2x}-10+10=-2e^{-2x}\). Égalité vérifiée : \(f\) est solution. ✓ (2)
2. \(a=-2,\ b=10\), \(-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{10}{-2}=5\). Solutions : \(f(x)=C\,e^{-2x}+5\). (2)
3. \(f(0)=C+5=8\), donc \(C=3\). Solution : \(f(x)=3\,e^{-2x}+5\). (2)
4. Quand \(x\to+\infty\), \(e^{-2x}\to 0\), donc \(f(x)\to 5\) (solution d'équilibre). (1)
On approche la fonction \(x\mapsto e^{x}\), unique solution de \(y'=y\) avec \(y(0)=1\), par la méthode d'Euler de pas \(h=0{,}5\).
1. Justifier que \(x\mapsto e^{x}\) est solution de \(y'=y\) et vérifie \(y(0)=1\). (1,5 pt)
2. Établir la relation de récurrence \(y_{n+1}=\dots\) pour \(y'=y\) avec \(h=0{,}5\). (1,5 pt)
3. Calculer \(y_1\), \(y_2\), \(y_3\) (valeurs approchées de \(e^{0{,}5}\), \(e^{1}\), \(e^{1{,}5}\)). (2 pts)
4. Comparer \(y_2\) à \(e^{1}\approx 2{,}718\) et commenter le signe de l'écart. (1 pt)
1. Si \(f(x)=e^{x}\), alors \(f'(x)=e^{x}=f(x)\) : \(f\) vérifie \(y'=y\). De plus \(f(0)=e^{0}=1\). ✓ (1,5)
2. \(y_{n+1}=y_n+h\,y_n=y_n(1+0{,}5)=1{,}5\,y_n\), avec \(y_0=1\). (1,5)
3. \(y_1=1{,}5\times 1=1{,}5\) ; \(y_2=1{,}5\times 1{,}5=2{,}25\) ; \(y_3=1{,}5\times 2{,}25=3{,}375\). (2)
4. \(y_2=2{,}25\) contre \(e^{1}\approx 2{,}718\) : écart \(\approx 0{,}47\). L'approximation est trop faible (en dessous), car la courbe de l'exponentielle est convexe et le pas est grand. (1)
Un corps est lâché sans vitesse initiale dans l'air. Sa vitesse \(v(t)\) (en m·s\(^{-1}\), \(t\) en s) vérifie \[\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{1}{\tau}\,v+g,\qquad g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2},\quad \tau=2{,}0\ \text{s},\quad v(0)=0.\]
1. Identifier \(a\) et \(b\) dans \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=a\,v+b\). (1 pt)
2. Calculer la vitesse limite \(v_{\text{lim}}=-\dfrac{b}{a}=g\tau\). (1,5 pt)
3. Écrire la solution générale, puis la solution vérifiant \(v(0)=0\). (2 pts)
4. Calculer la vitesse à \(t=\tau=2{,}0\) s. Quelle fraction de \(v_{\text{lim}}\) obtient-on ? (1,5 pt)
5. Sur un schéma de la courbe \(v(t)\) (croissante vers une asymptote), on trace la tangente à l'origine. Que représente son intersection avec l'asymptote ? (1 pt)
1. \(a=-\dfrac{1}{\tau}=-0{,}50\) s\(^{-1}\) et \(b=g=9{,}8\). (1)
2. \(v_{\text{lim}}=g\tau=9{,}8\times 2{,}0=19{,}6\) m·s\(^{-1}\). (1,5)
3. Solution générale : \(v(t)=C\,e^{-t/\tau}+g\tau=C\,e^{-0{,}50\,t}+19{,}6\). Condition \(v(0)=0\) : \(C+19{,}6=0\), donc \(C=-19{,}6\). D'où \(v(t)=19{,}6\left(1-e^{-t/2{,}0}\right)\). (2)
4. \(v(2{,}0)=19{,}6\,(1-e^{-1})\approx 19{,}6\times(1-0{,}368)=19{,}6\times 0{,}632\approx 12{,}4\) m·s\(^{-1}\), soit environ 63 % de \(v_{\text{lim}}\). (1,5)
5. L'abscisse de l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote \(v=v_{\text{lim}}\) est le temps caractéristique \(\tau\). (1)