Fiche – Équations différentielles

Chapitre 15 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Équation différentielle : l'inconnue est une fonction \(y\), reliée à sa dérivée \(y'\) (aussi notée \(\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)).
\(y'=ay\) → solutions \(f(x)=C\,e^{ax}\).
\(y'=ay+b\) (\(a\neq0\)) → solutions \(f(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}\).
Condition initiale \(y(x_0)=y_0\) → une seule valeur de \(C\) → solution unique.
Méthode d'Euler : \(y_{n+1}=y_n+h\,(ay_n+b)\), approche \(e^{x}\) (solution de \(y'=y\), \(y(0)=1\)).

Définitions clés

Définition

Équation différentielle : équation dont l'inconnue est une fonction \(y\), faisant intervenir \(y\) et sa dérivée \(y'\). Ici : \(y'=ay+b\), \(a\) et \(b\) constants. Notations équivalentes \(y'\) et \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) (ou \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\) en physique).

Définition

Solution : fonction \(f\) dérivable telle que, pour tout \(x\), \(f'(x)=a\,f(x)+b\). Résoudre = trouver toutes les solutions.

Définition

Solution d'équilibre : valeur constante \(y_e=-\dfrac{b}{a}\) telle que \(y'=0\). La courbe solution y tend quand \(t\to+\infty\) si \(a<0\).

À connaître par cœur

Solutions de l'équation homogène \(y'=ay\) \[f(x)=C\,e^{ax},\qquad C\in\mathbb{R}\]

Solutions de \(y'=ay+b\) (\(a\neq0\)) \[f(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a},\qquad C\in\mathbb{R}\]

Méthode d'Euler (pas \(h\)) \[y_{n+1}=y_n+h\,(a\,y_n+b),\qquad x_{n+1}=x_n+h\]

Cas \(y'=y\) : \(y_{n+1}=y_n(1+h)\), \(y_0=1\).

Structure des solutions (cas \(y'=ay\)) \[f,g\ \text{sol.}\ \Rightarrow\ f+g\ \text{sol.}\qquad f\ \text{sol.},\ k\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ k f\ \text{sol.}\]

Physique — deux modèles à connaître

Chute avec frottement fluide : \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{1}{\tau}v+g\), avec \(v(0)=0\) : \[v(t)=v_{\text{lim}}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\quad v_{\text{lim}}=g\tau.\] Temps caractéristique \(\tau\) = abscisse de l'intersection tangente à l'origine ↔ asymptote ; en \(t=\tau\), \(v\approx 63\,\%\,v_{\text{lim}}\).
Décroissance radioactive : \(\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t\ \Leftrightarrow\ \dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N\), avec \(N(0)=N_0\) : \[N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}.\]

Méthode — Résoudre pas à pas

Méthode — Vérifier qu'une fonction est solution

Calculer \(f'(x)\).
Calculer \(a\,f(x)+b\).
Comparer : égalité pour tout \(x\) ⟹ solution.

Méthode — Résoudre avec condition initiale

Écrire la solution générale \(f(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}\).
Remplacer \(x\) par \(x_0\) : poser \(f(x_0)=y_0\).
Résoudre pour trouver \(C\), puis réécrire \(f\).

Ex. \(y'=3y-6\), \(y(0)=5\) → \(f(x)=C\,e^{3x}+2\), \(C+2=5\), \(C=3\) → \(f(x)=3\,e^{3x}+2\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier la constante \(C\).

✅ Sans condition initiale : une infinité de solutions.

❌ Se tromper de signe dans \(-\dfrac{b}{a}\).

✅ \(y'=3y-6\) : \(-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-6}{3}=+2\).

❌ Écrire \(e^{2x}\) pour \(y'=-2y\).

✅ L'exponentielle est \(e^{ax}\), ici \(e^{-2x}\).

❌ Croire qu'Euler donne la valeur exacte.

✅ C'est une approximation, meilleure quand \(h\) diminue.

Exemple rapide

Exemple — résolution complète

Résoudre \(y'=-2y+8\) avec \(y(0)=10\).

\(a=-2,\ b=8\) ⟹ \(-\tfrac{b}{a}=4\) ⟹ solution générale \(f(x)=C\,e^{-2x}+4\).
\(f(0)=C+4=10\) ⟹ \(C=6\).
Solution : \(f(x)=6\,e^{-2x}+4\). Quand \(x\to+\infty\), \(f(x)\to 4\).