Chapitre 15 – Équations différentielles
Chapitre 15 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min
Objectifs du chapitre
- Comprendre la notion d'équation différentielle et de solution d'une équation différentielle
- Vérifier qu'une fonction donnée est solution d'une équation différentielle
- Reconnaître et résoudre les équations du type \(y' = a\,y\) et \(y' = a\,y + b\) (\(a,b\) constantes)
- Déterminer l'ensemble des solutions de \(y' = a\,y + b\) : \(y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\)
- Déterminer la solution vérifiant une condition initiale \(y(x_0)\) donnée
- Approcher la courbe de \(x\mapsto e^{x}\) par la méthode d'Euler (solution de \(y'=y\), \(y(0)=1\))
- Faire le lien avec la physique : chute avec frottement fluide et décroissance radioactive
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à sa (ou ses) dérivée(s). C'est l'outil mathématique central des sciences physiques : dès qu'une grandeur varie à une vitesse qui dépend de sa propre valeur — vitesse d'un corps qui tombe, nombre de noyaux radioactifs, charge d'un condensateur — on aboutit à une équation différentielle. Ce chapitre se limite aux équations du premier ordre à coefficients constants \(y'=ay+b\), dont la fonction exponentielle est la clé. Prérequis : fonction exponentielle \(e^{x}\) et sa dérivée, dérivation, lecture graphique de tangentes et d'asymptotes.
I. Notion d'équation différentielle et de solution
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction \(y\) (d'une variable réelle) et qui fait intervenir cette fonction \(y\) ainsi que sa fonction dérivée \(y'\).
Dans ce chapitre, on étudie les équations différentielles du premier ordre (seule \(y'\) apparaît, pas les dérivées d'ordre supérieur) et à coefficients constants :
\[y' = a\,y + b,\qquad a\ \text{et}\ b\ \text{réels constants}.\]On note la fonction dérivée de deux façons équivalentes :
\[y'\qquad\text{(notation des mathématiciens)}\qquad\text{ou}\qquad \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ \left(\text{ou }\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\quad\text{(notation des physiciens)}.\]Ainsi \(y' = a\,y + b\) et \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = a\,y + b\) désignent la même équation. La notation \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) (dite de Leibniz) est privilégiée en physique, où la variable est souvent le temps \(t\) : on écrit alors \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\).
Une fonction \(f\), dérivable sur un intervalle \(I\), est une solution de l'équation différentielle \(y' = a\,y + b\) lorsque, pour tout réel \(x\) de \(I\) :
\[f'(x) = a\,f(x) + b.\]Résoudre l'équation différentielle, c'est déterminer toutes ses solutions.
La fonction \(f(x) = e^{2x}\) est-elle solution de \(y' = 2y\) ?
On calcule la dérivée : \(f'(x) = 2\,e^{2x}\). Or \(2\,f(x) = 2\,e^{2x}\). On a bien \(f'(x) = 2\,f(x)\) pour tout \(x\) : oui, \(f\) est solution.
- Calculer la dérivée \(f'(x)\) de la fonction proposée.
- Calculer séparément le membre de droite \(a\,f(x) + b\) en remplaçant \(y\) par \(f(x)\).
- Comparer : si \(f'(x) = a\,f(x) + b\) pour tout \(x\), alors \(f\) est solution ; sinon, non.
\(f'(x) = 3\,e^{3x} = 3\,f(x)\) : \(f\) est bien solution de \(y'=3y\). ✓
\(g'(x) = 2\,e^{2x} = 2\,g(x)\), mais l'équation demande \(y' = 3y\), soit \(3\,g(x) = 3\,e^{2x}\). Comme \(2\,e^{2x} \neq 3\,e^{2x}\), \(g\) n'est pas solution de \(y'=3y\). ✗
II. L'équation \(y' = a\,y\) (cas homogène)
On commence par le cas \(b=0\), dit homogène : \(y' = a\,y\). Il signifie « la vitesse de variation de \(y\) est proportionnelle à \(y\) ». C'est exactement la propriété caractéristique de la fonction exponentielle.
Soit \(a\) un réel. Les solutions de l'équation différentielle \(y' = a\,y\) sont exactement les fonctions
\[\boxed{\,f(x) = C\,e^{ax}\,},\qquad C\ \text{constante réelle quelconque}.\]Il y a donc une infinité de solutions, une pour chaque valeur de \(C\).
Pour \(f(x) = C\,e^{ax}\), la dérivée est \(f'(x) = C\times a\,e^{ax} = a\times\big(C\,e^{ax}\big) = a\,f(x)\). Toute fonction de cette forme est donc bien solution, quelle que soit la constante \(C\).
Pour l'équation homogène \(y' = a\,y\) :
- la somme de deux solutions est encore une solution ;
- le produit d'une solution par une constante est encore une solution.
Soit \(f\) et \(g\) deux solutions de \(y'=ay\) : \(f'=af\) et \(g'=ag\), et soit \(k\) un réel.
Somme. Posons \(s = f + g\). Alors \(s' = f' + g' = af + ag = a(f+g) = a\,s\). Donc \(s\) vérifie \(s'=as\) : \(s = f+g\) est solution.
Produit par une constante. Posons \(p = k\,f\). Alors \(p' = k\,f' = k\,(af) = a\,(kf) = a\,p\). Donc \(p'=ap\) : \(p = kf\) est solution.
Ces deux propriétés traduisent la linéarité de l'équation : toute combinaison \(k_1 f + k_2 g\) de solutions est encore solution.
\(g = 5f\) est le produit de la solution \(f\) par la constante \(k=5\). D'après la propriété de structure, le produit d'une solution par une constante est encore une solution : \(g\) est donc solution de \(y'=-y\). (On peut vérifier : \(g'(x)=-5e^{-x}=-g(x)\). ✓)
III. L'équation \(y' = a\,y + b\) (cas général)
Soit \(a\neq 0\) et \(b\) deux réels. Les solutions de l'équation différentielle \(y' = a\,y + b\) sont les fonctions
\[\boxed{\,f(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\,},\qquad C\ \text{constante réelle quelconque}.\]La quantité constante \(-\dfrac{b}{a}\) est appelée solution particulière constante (ou solution d'équilibre) : c'est la valeur \(y_e\) telle que \(y'=0\), c'est-à-dire \(a\,y_e + b = 0\), d'où \(y_e = -\dfrac{b}{a}\).
On cherche d'abord la solution constante : si \(y\) est constante, \(y'=0\), donc \(0 = a\,y + b\), soit \(y = -\dfrac{b}{a}\). C'est la solution particulière \(y_e\).
On pose ensuite \(z = y - y_e = y + \dfrac{b}{a}\). Alors \(z' = y'\) et \(z' = y' = ay+b = a\!\left(z - \dfrac{b}{a}\right)+b = az - b + b = a\,z\). Donc \(z\) est solution de l'équation homogène \(z'=az\), d'où \(z = C\,e^{ax}\). En revenant à \(y\) : \(y = z + y_e = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
- Identifier \(a\) (coefficient de \(y\)) et \(b\) (terme constant).
- Écrire la solution générale : \(f(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
- La constante \(C\) reste libre tant qu'aucune condition initiale n'est donnée.
Exemple résolu. Résoudre \(y' = 3y - 6\). Ici \(a=3\), \(b=-6\), donc \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{3} = 2\). Solutions : \(f(x) = C\,e^{3x} + 2\).
\(a=-2\), \(b=8\), donc \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{-2} = 4\). Solutions : \(f(x) = C\,e^{-2x} + 4\), \(C\in\mathbb{R}\). (Solution d'équilibre : \(y_e = 4\).)
IV. Condition initiale : une unique solution
Une condition initiale est la donnée de la valeur de la fonction en un point : \(y(x_0) = y_0\). Elle fixe la valeur de la constante \(C\), donc sélectionne une seule solution parmi l'infinité.
Pour une équation \(y' = a\,y + b\) et une condition initiale \(y(x_0) = y_0\), il existe une unique solution vérifiant cette condition. Deux courbes solutions distinctes ne peuvent jamais se croiser.
Chaque valeur de la constante \(C\) donne une courbe. Fais varier le curseur \(C\) : toutes ces courbes sont solutions de la même équation \(y'=y\) ; une seule passe par un point imposé.
Faisceau des solutions \(y = C\,e^{x}\) de \(y'=y\). En imposant une condition initiale (un point à traverser), on choisit une seule valeur de \(C\), donc une seule courbe.
- Écrire la solution générale \(f(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
- Remplacer \(x\) par \(x_0\) et écrire l'égalité \(f(x_0) = y_0\).
- Résoudre cette équation d'inconnue \(C\).
- Reporter la valeur de \(C\) dans l'expression de \(f\).
Exemple résolu. Résoudre \(y' = 3y - 6\) avec \(y(0) = 5\). La solution générale est \(f(x) = C\,e^{3x} + 2\). Condition : \(f(0) = C\,e^{0} + 2 = C + 2 = 5\), donc \(C = 3\). Solution unique : \(f(x) = 3\,e^{3x} + 2\).
Solution générale (voir application 3) : \(f(x) = C\,e^{-2x} + 4\). Condition : \(f(0) = C + 4 = 10\), donc \(C = 6\). Solution : \(f(x) = 6\,e^{-2x} + 4\).
V. Méthode d'Euler : approcher la courbe de \(e^{x}\)
La fonction \(x\mapsto e^{x}\) est l'unique solution de \(y' = y\) vérifiant \(y(0) = 1\). Quand on ne connaît pas de formule explicite d'une solution, on peut en construire une valeur approchée pas à pas : c'est la méthode d'Euler.
Partant du point connu \((x_0\,;y_0)\), on avance par petits pas \(h\) en suivant à chaque étape la tangente à la courbe. Comme \(y'\) donne la pente, on approxime :
\[y_{n+1} = y_n + h\times y'_n = y_n + h\times\big(a\,y_n + b\big),\qquad x_{n+1} = x_n + h.\]Pour \(y' = y\) avec \(y(0)=1\) : \(y_{n+1} = y_n + h\times y_n = y_n\,(1 + h)\), en partant de \(x_0=0\), \(y_0=1\).
On approche \(e^{x}\) sur \([0\,;2]\), \(y_{n+1} = y_n(1+0{,}5) = 1{,}5\,y_n\) :
| \(x_n\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_n\) (Euler) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2{,}25\) | \(3{,}375\) | \(5{,}06\) |
| \(e^{x_n}\) (exact) | \(1\) | \(1{,}65\) | \(2{,}72\) | \(4{,}48\) | \(7{,}39\) |
L'approximation reste toujours en dessous de la vraie valeur (la courbe est convexe), mais s'améliore quand le pas \(h\) diminue.
Fais varier le pas \(h\) ci-dessous : plus \(h\) est petit, plus la ligne brisée d'Euler (bleu) se rapproche de la vraie courbe \(y=e^{x}\) (verte).
Méthode d'Euler pour \(y'=y\), \(y(0)=1\) : la ligne brisée bleue (approximation) converge vers la courbe verte \(y=e^{x}\) quand le pas \(h\to 0\).
Avec \(h=1\) : \(y_{n+1} = y_n(1+1) = 2\,y_n\). Donc \(y_1 = 2\times 1 = 2\) (à \(x_1=1\)) et \(y_2 = 2\times 2 = 4\) (à \(x_2=2\)).
La valeur exacte est \(e^{1}\approx 2{,}72\) : l'approximation \(y_1 = 2\) est nettement trop faible car le pas \(h=1\) est grand. Avec un pas plus petit, l'écart diminue.
VI. Application physique 1 : chute avec frottement fluide
Un corps lâché sans vitesse dans un fluide (bille dans l'huile, parachutiste, goutte de pluie) subit son poids et une force de frottement fluide opposée au mouvement. La deuxième loi de Newton conduit, pour la vitesse \(v(t)\), à une équation différentielle du type \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a\,v + b\).
Avec un frottement proportionnel à la vitesse, la vitesse verticale vérifie
\[\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{1}{\tau}\,v + g,\]où \(g\) est l'accélération de pesanteur et \(\tau > 0\) une constante homogène à un temps, appelée temps caractéristique. C'est une équation \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a\,v + b\) avec \(a = -\dfrac{1}{\tau}\) et \(b = g\).
La solution générale est \(v(t) = C\,e^{-t/\tau} - \dfrac{b}{a} = C\,e^{-t/\tau} + g\,\tau\). La vitesse limite (solution d'équilibre) est \(v_{\text{lim}} = -\dfrac{b}{a} = g\,\tau\).
Condition initiale \(v(0)=0\) : \(C + g\tau = 0\), donc \(C = -g\tau\). D'où
\[v(t) = g\,\tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = v_{\text{lim}}\left(1 - e^{-t/\tau}\right).\]Régime transitoire puis régime permanent : \(v\) tend vers l'asymptote \(v_{\text{lim}}=g\tau\). La tangente à l'origine coupe l'asymptote à l'abscisse \(t=\tau\) ; en \(t=\tau\), \(v \approx 0{,}63\,v_{\text{lim}}\).
- Régime permanent : quand \(t\) devient grand, \(e^{-t/\tau}\to 0\) et \(v\to v_{\text{lim}} = g\tau\) : la vitesse se stabilise (asymptote horizontale).
- Lecture graphique de \(\tau\) : \(\tau\) est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote \(v = v_{\text{lim}}\).
- Valeur en \(t=\tau\) : \(v(\tau) = v_{\text{lim}}\left(1 - e^{-1}\right) \approx v_{\text{lim}}\times 0{,}63\) : la vitesse a atteint environ 63 % de la vitesse limite.
\(v(t) = 2{,}0\left(1 - e^{-t/0{,}40}\right)\) (en m·s\(^{-1}\), \(t\) en s).
À \(t=\tau=0{,}40\) s : \(v(\tau) = 2{,}0\,(1 - e^{-1}) \approx 2{,}0\times 0{,}63 = 1{,}3\) m·s\(^{-1}\), soit environ 63 % de la vitesse limite.
VII. Application physique 2 : décroissance radioactive
Un échantillon contient \(N(t)\) noyaux radioactifs à l'instant \(t\). Sur une petite durée \(\mathrm{d}t\), le nombre de noyaux qui se désintègrent est proportionnel au nombre de noyaux présents et à la durée. On l'écrit sous forme symbolique :
où \(\lambda > 0\) est la constante radioactive (le signe \(-\) traduit une diminution). En divisant les deux membres par \(\mathrm{d}t\), on obtient l'équation différentielle :
\[\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda\,N.\]C'est une équation homogène \(y' = a\,y\) avec \(a = -\lambda\). On peut la lire comme le passage à la limite de la variation moyenne \(\dfrac{\Delta N}{\Delta t} = -\lambda\,N\) lorsque \(\Delta t\) devient très petit.
Les solutions de \(\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda\,N\) sont \(N(t) = C\,e^{-\lambda t}\). Avec la condition initiale \(N(0) = N_0\) (nombre de noyaux au départ) : \(C = N_0\). D'où la loi de décroissance radioactive :
\[\boxed{\,N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\,}.\]Fais varier la constante radioactive \(\lambda\) : plus \(\lambda\) est grand, plus la décroissance est rapide (demi-vie plus courte).
Décroissance radioactive \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\), solution de \(\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N\). Le curseur règle \(\lambda\) ; la courbe part de \(N_0\) et tend vers \(0\).
\(N(t) = 8{,}0\times 10^{12}\,e^{-0{,}010\,t}\) (\(t\) en s).
À \(t=100\) s : \(N(100) = 8{,}0\times 10^{12}\,e^{-0{,}010\times 100} = 8{,}0\times 10^{12}\,e^{-1} \approx 8{,}0\times 10^{12}\times 0{,}37 = 3{,}0\times 10^{12}\) noyaux.
Erreurs fréquentes / points de vigilance
❌ Oublier la constante \(C\) et ne donner qu'une seule solution.
✅ Sans condition initiale, il y a une infinité de solutions : ne pas oublier \(C\) dans \(C\,e^{ax}-\tfrac{b}{a}\).
❌ Se tromper de signe dans \(-\dfrac{b}{a}\).
✅ La solution d'équilibre vérifie \(ay+b=0\), soit \(y = -\dfrac{b}{a}\). Vérifier : dans \(y'=3y-6\), \(-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-6}{3}=+2\).
❌ Confondre le coefficient \(a\) de l'équation avec l'exposant.
✅ L'exponentielle est \(e^{ax}\) : pour \(y'=-2y\), c'est \(e^{-2x}\), pas \(e^{2x}\).
❌ Croire que la méthode d'Euler donne la valeur exacte.
✅ C'est une approximation ; elle s'améliore quand le pas \(h\) diminue.
❌ Oublier d'appliquer la condition initiale pour trouver \(C\).
✅ Remplacer \(x\) par \(x_0\) dans la solution générale et résoudre \(f(x_0)=y_0\).
L'essentiel à retenir
- Équation différentielle : équation dont l'inconnue est une fonction, reliant \(y\) et \(y'\). Notations \(y'\) et \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) équivalentes.
- Vérifier une solution : calculer \(f'\) et comparer à \(a\,f+b\) pour tout \(x\).
- Cas homogène : \(y'=ay\) a pour solutions \(f(x)=C\,e^{ax}\) ; somme et multiple de solutions sont solutions.
- Cas général : \(y'=ay+b\) a pour solutions \(f(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}\) ; équilibre \(y_e=-\dfrac{b}{a}\).
- Condition initiale : \(y(x_0)=y_0\) fixe \(C\) → solution unique.
- Méthode d'Euler : \(y_{n+1}=y_n+h\,(ay_n+b)\), approche \(e^{x}\) (solution de \(y'=y\), \(y(0)=1\)).
- Physique : chute avec frottement \(v(t)=v_{\text{lim}}(1-e^{-t/\tau})\), temps caractéristique \(\tau\) (63 % en \(t=\tau\)) ; radioactivité \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\), de \(\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t\).