Chapitre 14 – Fonction logarithme népérien

Chapitre 14 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~24 min

Illustration : Deux élèves observent une courbe logarithmique et une échelle portant les valeurs un, dix, cent et mille à intervalles réguliers. — Sur une échelle logarithmique, des rapports constants correspondent à des écarts constants.

Objectifs du chapitre

Comprendre la définition du logarithme népérien \(\ln a\) (\(a > 0\)) comme unique solution de l'équation \(e^x = a\).
Connaître le sens de variation de \(\ln\) (strictement croissante) et sa courbe, symétrique de celle de \(\exp\) par rapport à la droite \(y = x\).
Utiliser les propriétés algébriques : \(\ln(ab)\), \(\ln\!\left(\tfrac ab\right)\), \(\ln(a^n)\), \(\ln(\sqrt a)\), \(\ln(a^x)\).
Connaître le lien avec le logarithme décimal : \(\log = \dfrac{\ln}{\ln 10}\), et les limites en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Résoudre des équations et inéquations du type \(e^{ax} = b\), \(e^{ax} > b\), \(\ln x = b\), \(\ln x > b\).
Étudier des fonctions somme, produit ou quotient de polynômes et de \(x \mapsto \ln x\) (dérivée \((\ln x)' = \tfrac1x\)).

La fonction exponentielle \(\exp : x \mapsto e^x\) transforme les sommes en produits : \(e^{a+b} = e^a\times e^b\). Le logarithme népérien fait exactement l'opération inverse : il transforme les produits en sommes. C'est l'outil idéal pour « désempiler » un exposant — d'où son omniprésence en physique-chimie : durée d'une demi-vie radioactive, temps de demi-réaction en cinétique d'ordre 1, calcul du pH, échelle des décibels. Prérequis : fonction exponentielle (\(e^x\), variations, \(e^0=1\)), dérivées usuelles, sens de variation par le signe de la dérivée.

I. Définition et premières propriétés

1. Le logarithme népérien

La fonction exponentielle \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec \(e^x > 0\) pour tout \(x\), et elle prend toutes les valeurs de \(]0\,;+\infty[\). Donc pour tout réel \(a > 0\), l'équation \(e^x = a\) admet une unique solution.

Définition — Logarithme népérien

Soit \(a\) un réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de \(a\), noté \(\ln a\), l'unique solution de l'équation \(e^x = a\) d'inconnue \(x\). Autrement dit :

\[\boxed{\,\ln a = x \iff e^x = a \quad (a > 0).\,}\]

La fonction \(x \mapsto \ln x\) est ainsi définie sur \(]0\,;+\infty[\) (l'existence et l'unicité sont admises).

Domaine de définition

\(\ln x\) n'existe que pour \(x > 0\) : on ne peut pas calculer le logarithme de \(0\) ni d'un nombre négatif (il n'existe aucun \(x\) tel que \(e^x = 0\) ou \(e^x < 0\)).

Conséquences immédiates

Puisque \(\ln\) et \(\exp\) sont des fonctions réciproques, on a pour tout \(x\) réel et tout \(a > 0\) :

\[e^{\ln a} = a \qquad \ln(e^x) = x.\]

En particulier, avec \(e^0 = 1\) et \(e^1 = e\) :

\[\boxed{\,\ln 1 = 0 \qquad \ln e = 1.\,}\]

Exemple — valeurs à lire directement

\(\ln(e^2) = 2\) ; \(\ln\!\left(\dfrac1e\right) = \ln(e^{-1}) = -1\) ; \(e^{\ln 5} = 5\) ; \(\ln 1 = 0\). Une valeur utile en pratique : \(\ln 10 \approx 2{,}30\) (et \(\ln 2 \approx 0{,}69\)).

Exercice d'application 1. Sans calculatrice, donner la valeur de : (a) \(\ln(e^7)\), (b) \(e^{\ln 3}\), (c) \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e^4}\right)\), (d) \(\ln\sqrt{e}\).

(a) \(\ln(e^7) = 7\). (b) \(e^{\ln 3} = 3\). (c) \(\ln\!\left(\tfrac1{e^4}\right) = \ln(e^{-4}) = -4\). (d) \(\sqrt e = e^{1/2}\), donc \(\ln\sqrt e = \tfrac12\).

2. Sens de variation et signe

Propriété — Variations

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\). Par conséquent, pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :

\[\ln a = \ln b \iff a = b \qquad\text{et}\qquad \ln a < \ln b \iff a < b.\]

On en déduit le signe de \(\ln x\) (car \(\ln 1 = 0\)) :

\[\ln x < 0 \text{ si } 0 < x < 1,\qquad \ln 1 = 0,\qquad \ln x > 0 \text{ si } x > 1.\]

Ces équivalences sont le moteur de toute la résolution d'équations et d'inéquations : appliquer \(\ln\) (ou \(\exp\)) des deux côtés conserve l'égalité et le sens de l'inégalité, car les deux fonctions sont strictement croissantes.

Exercice d'application 2. Ranger dans l'ordre croissant les nombres \(\ln 0{,}5\), \(\ln 3\), \(\ln 1\) et \(\ln 12\), sans calculatrice.

\(\ln\) est croissante, donc l'ordre des \(\ln\) suit l'ordre des nombres : \(0{,}5 < 1 < 3 < 12\). D'où \(\ln 0{,}5 < \ln 1 < \ln 3 < \ln 12\), c'est-à-dire \(\ln 0{,}5 < 0 < \ln 3 < \ln 12\).

II. Courbe et limites

3. Courbe représentative — symétrie avec l'exponentielle

Propriété — Symétrie

Comme \(\ln\) et \(\exp\) sont réciproques, leurs courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite \(y = x\) (la première bissectrice). La courbe de \(\ln\) passe par les points \((1\,;0)\) et \((e\,;1)\), et coupe l'axe des abscisses en \(x = 1\).

Sur la figure ci-dessous, la courbe bleue est celle de \(\exp\), la courbe verte celle de \(\ln\) : l'une est l'image de l'autre par le miroir \(y = x\) (en pointillés). Déplace le point \(A\) sur \(\exp\) : son symétrique \(A'\) glisse sur \(\ln\).

Courbes de \(\exp\) (bleu) et de \(\ln\) (vert), symétriques par rapport à \(y = x\) (pointillés). \(\ln\) passe par \((1\,;0)\) et \((e\,;1)\).

Animation — lecture de \(\ln a\) sur la courbe

Fais varier \(a > 0\) : on lit \(\ln a\) comme l'ordonnée de la courbe de \(\ln\) au point d'abscisse \(a\). Observe le changement de signe en \(a = 1\) et la « fuite » vers \(-\infty\) quand \(a \to 0\).

\(a\) = 2,00

\(\ln a\) = 0,69

4. Limites aux bornes

Propriété — Limites (admises) \[\boxed{\,\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.\,}\]

Géométriquement : l'axe des ordonnées (droite \(x = 0\)) est asymptote verticale à la courbe de \(\ln\). La fonction croît sans limite vers la droite, mais « lentement ».

Une croissance très lente

Bien que \(\ln x \to +\infty\), la croissance est extrêmement lente : \(\ln 100 \approx 4{,}6\), \(\ln 1000 \approx 6{,}9\), \(\ln(1\,000\,000) \approx 13{,}8\). Multiplier \(x\) par \(10\) n'ajoute que \(\ln 10 \approx 2{,}3\) au résultat. C'est cette lenteur qui rend \(\ln\) (et \(\log\)) utile pour comprimer de grandes échelles (pH, décibels, magnitudes).

5. Tableau de variations

\(\ln'(x) = \tfrac1x > 0\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\ln\) croît de \(-\infty\) (en \(0^+\)) vers \(+\infty\).

III. Propriétés algébriques

Théorème — Propriétés algébriques du logarithme

Pour tous réels \(a > 0\), \(b > 0\), tout entier \(n\) et tout réel \(x\) :

Nom	Relation
Produit	\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)
Quotient	\(\ln\!\left(\dfrac ab\right) = \ln a - \ln b\)
Inverse	\(\ln\!\left(\dfrac1b\right) = -\ln b\)
Puissance entière	\(\ln(a^n) = n\,\ln a\)
Racine carrée	\(\ln(\sqrt a) = \dfrac12\,\ln a\)
Puissance réelle	\(\ln(a^x) = x\,\ln a\)

Démonstration (principe) — la relation fondamentale

La propriété du produit découle directement de celle de l'exponentielle. Posons \(A = \ln a\) et \(B = \ln b\), de sorte que \(e^A = a\) et \(e^B = b\). Alors :

\[ab = e^A \times e^B = e^{A+B}.\]

Par définition du logarithme, \(\ln(ab)\) est l'exposant à donner à \(e\) pour obtenir \(ab\) : c'est donc \(A + B = \ln a + \ln b\). Toutes les autres relations s'en déduisent (le quotient avec \(b\times\tfrac1b = 1\), la puissance par récurrence). \(\qquad\blacksquare\)

Exemple — transformer une expression

\(\ln 12 = \ln(4\times 3) = \ln 4 + \ln 3 = \ln(2^2) + \ln 3 = 2\ln 2 + \ln 3.\)

\(\ln\!\left(\dfrac{a^3}{\sqrt b}\right) = \ln(a^3) - \ln(\sqrt b) = 3\ln a - \dfrac12\ln b.\)

Exercice d'application 3. Exprimer en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\) : (a) \(\ln 6\), (b) \(\ln 8\), (c) \(\ln\!\left(\tfrac 32\right)\), (d) \(\ln 18\).

(a) \(\ln 6 = \ln(2\times 3) = \ln 2 + \ln 3\). (b) \(\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2\). (c) \(\ln\!\left(\tfrac32\right) = \ln 3 - \ln 2\). (d) \(\ln 18 = \ln(2\times 3^2) = \ln 2 + 2\ln 3\).

Lien avec le logarithme décimal

Définition — Logarithme décimal

Le logarithme décimal, noté \(\log\), utilisé en physique-chimie (pH, décibels, échelles), est relié au logarithme népérien par :

\[\boxed{\,\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\quad (x > 0), \qquad \text{avec } \ln 10 \approx 2{,}30.\,}\]

Il vérifie \(\log 10 = 1\), \(\log 100 = 2\), \(\log(10^n) = n\) : il « compte les puissances de 10 ». Il possède les mêmes propriétés algébriques : \(\log(ab) = \log a + \log b\), etc.

Exemple — pH d'une solution

Le pH est défini par \(\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]\), où \([\text{H}_3\text{O}^+]\) est la concentration en ions oxonium (en \(\text{mol·L}^{-1}\)). Pour \([\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-3}\ \text{mol·L}^{-1}\) : \(\text{pH} = -\log(10^{-3}) = -(-3) = 3\). Chaque unité de pH correspond à un facteur \(10\) sur la concentration.

IV. Dérivée et étude de fonctions

6. Dérivée du logarithme

Propriété — Dérivée de \(\ln\)

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et

\[\boxed{\,(\ln x)' = \dfrac1x.\,}\]

Comme \(\tfrac1x > 0\) sur \(]0\,;+\infty[\), on retrouve que \(\ln\) est strictement croissante.

Justification (admise, puis vérifiée)

Le résultat \((\ln x)' = \tfrac1x\) est admis. On peut le retrouver en dérivant la relation \(e^{\ln x} = x\). En notant \(g(x) = \ln x\), le membre de gauche est \(e^{g(x)}\), de dérivée \(g'(x)\,e^{g(x)} = g'(x)\times x\). Le membre de droite \(x\) a pour dérivée \(1\). Donc \(g'(x)\times x = 1\), d'où \(g'(x) = \dfrac1x\). \(\qquad\blacksquare\)

Exemple — dérivées composées

Pour dériver une somme, un produit ou un quotient faisant intervenir \(\ln\), on combine \((\ln x)' = \tfrac1x\) avec les règles connues.

• \(f(x) = x\ln x\) (produit) : \(u = x\), \(v = \ln x\), \(f'(x) = 1\times \ln x + x\times \dfrac1x = \ln x + 1\).

• \(g(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) (quotient) : \(g'(x) = \dfrac{\tfrac1x\times x - \ln x\times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).

Exercice d'application 4. Dériver sur \(]0\,;+\infty[\) : (a) \(f(x) = 3\ln x - x^2\), (b) \(g(x) = x^2\ln x\).

(a) \(f'(x) = \dfrac3x - 2x\). (b) Produit : \(u = x^2\) (\(u'=2x\)), \(v = \ln x\) (\(v'=\tfrac1x\)). \(g'(x) = 2x\ln x + x^2\times \dfrac1x = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)\).

7. Étude d'une fonction avec logarithme

Méthode — Étudier une fonction contenant \(\ln\)

Préciser le domaine (le contenu du \(\ln\) doit être \(> 0\)).
Calculer \(f'(x)\) et le mettre sous forme d'un quotient (souvent \(\tfrac1x\) impose un dénominateur \(x\)).
Étudier le signe de \(f'(x)\) — sur \(]0\,;+\infty[\), le signe de \(x\) est connu (\(>0\)), il suffit d'étudier le numérateur.
Dresser le tableau de variations, repérer les extrema.

Exemple résolu. \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\). \(f'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x-1}{x}\). Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x > 0\) donc le signe de \(f'\) est celui de \(x - 1\) : \(f'(x) < 0\) pour \(0 < x < 1\), \(f'(x) > 0\) pour \(x > 1\). Ainsi \(f\) décroît sur \(]0\,;1]\), croît sur \([1\,;+\infty[\), avec un minimum en \(x = 1\) où \(f(1) = 1 - 0 = 1\).

Courbe de \(f(x) = x - \ln x\) : minimum \(1\) atteint en \(x = 1\) (tangente horizontale, point rouge).

Exercice d'application 5. Soit \(f(x) = \ln x - x\) sur \(]0\,;+\infty[\). Étudier son sens de variation et donner son maximum.

\(f'(x) = \dfrac1x - 1 = \dfrac{1-x}{x}\). Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x > 0\), donc \(f'\) a le signe de \(1 - x\) : \(f'(x) > 0\) pour \(0 < x < 1\), \(f'(x) < 0\) pour \(x > 1\). \(f\) croît sur \(]0\,;1]\), décroît sur \([1\,;+\infty[\). Maximum en \(x = 1\) : \(f(1) = \ln 1 - 1 = -1\).

V. Équations et inéquations

Méthode — Résoudre \(e^{ax} = b\) et \(e^{ax} > b\)

On applique \(\ln\) (croissante), possible seulement si \(b > 0\) (car \(e^{ax} > 0\)).

\(e^{ax} = b \iff ax = \ln b \iff x = \dfrac{\ln b}{a}\) (pour \(b > 0\)).
\(e^{ax} > b\) : si \(b \leqslant 0\), toujours vrai ; si \(b > 0\), équivaut à \(ax > \ln b\), puis on isole \(x\) (attention au signe de \(a\)).

Exemple — équation exponentielle

Résoudre \(e^{2x} = 5\). On applique \(\ln\) : \(2x = \ln 5\), donc \(x = \dfrac{\ln 5}{2} \approx 0{,}80\).

Méthode — Résoudre \(\ln x = b\) et \(\ln x > b\)

On applique \(\exp\) (croissante). Ne pas oublier la condition \(x > 0\).

\(\ln x = b \iff x = e^b\) (toujours \(> 0\), solution acceptée).
\(\ln x > b \iff x > e^b\) — l'ensemble solution est \(]e^b\,;+\infty[\) (inclus dans \(]0\,;+\infty[\)).

Exemple — équation et inéquation logarithmiques

\(\ln x = 3 \iff x = e^3 \approx 20{,}1\).

\(\ln x > -1 \iff x > e^{-1} = \dfrac1e \approx 0{,}37\). Ensemble solution : \(\left]\dfrac1e\,;+\infty\right[\).

Exercice d'application 6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) (ou \(]0\,;+\infty[\) selon le cas) : (a) \(e^{3x} = 2\), (b) \(\ln x = -2\), (c) \(e^{-x} < 0{,}1\), (d) \(\ln x \leqslant 1\).

(a) \(3x = \ln 2\), \(x = \dfrac{\ln 2}{3} \approx 0{,}23\).

(b) \(x = e^{-2} \approx 0{,}135\).

(c) \(e^{-x} < 0{,}1 \iff -x < \ln 0{,}1 \iff x > -\ln 0{,}1 = \ln 10 \approx 2{,}30\). Solution : \(]\ln 10\,;+\infty[\).

(d) \(\ln x \leqslant 1 \iff 0 < x \leqslant e\). Solution : \(]0\,;e]\).

Application-clé : demi-vie et temps de demi-réaction

Exemple — demi-vie radioactive

Le nombre de noyaux d'un élément radioactif suit \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\). La demi-vie \(t_{1/2}\) est la durée au bout de laquelle \(N\) est divisé par 2 : \(N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}\).

\[N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{N_0}{2} \iff e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac12 \iff -\lambda t_{1/2} = \ln\!\left(\tfrac12\right) = -\ln 2 \iff \boxed{t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}.}\]

Cette même démarche donne, en cinétique d'ordre 1 (\([A] = [A]_0\,e^{-kt}\)), le temps de demi-réaction \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}\).

Exercice d'application 7. Un radionucléide a une constante \(\lambda = 0{,}021\ \text{jour}^{-1}\). Calculer sa demi-vie \(t_{1/2}\) (on prendra \(\ln 2 \approx 0{,}693\)).

\(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \dfrac{0{,}693}{0{,}021} \approx 33\ \text{jours}\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Écrire \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\).

✅ Le logarithme transforme le produit en somme : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). Il n'y a aucune formule pour \(\ln(a+b)\).

❌ Calculer \(\ln(-3)\) ou \(\ln 0\).

✅ \(\ln x\) n'existe que pour \(x > 0\). Toujours vérifier la condition d'existence.

❌ Écrire \((\ln x)' = \ln x\) ou \(\tfrac{1}{\ln x}\).

✅ \((\ln x)' = \dfrac1x\).

❌ Oublier \(x > 0\) en résolvant \(\ln x = b\) ou tenter d'appliquer \(\ln\) à \(e^{ax} > b\) quand \(b \leqslant 0\).

✅ \(e^{ax}\) est toujours \(> 0\) : si \(b \leqslant 0\), \(e^{ax} = b\) est impossible et \(e^{ax} > b\) est toujours vraie.

❌ Confondre \(\ln\) et \(\log\).

✅ \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\) : le \(\log\) « compte les puissances de 10 » (\(\log 10 = 1\)), le \(\ln\) est en base \(e\) (\(\ln e = 1\)).

L'essentiel à retenir

À retenir :

Définition : \(\ln a = x \iff e^x = a\) (\(a > 0\)) ; \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\), \(e^{\ln a} = a\), \(\ln(e^x) = x\).
Variations : \(\ln\) strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(\lim_{0^+}\ln = -\infty\), \(\lim_{+\infty}\ln = +\infty\) ; \((\ln x)' = \tfrac1x\).
Algèbre : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln\!\left(\tfrac ab\right) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\), \(\ln\sqrt a = \tfrac12\ln a\), \(\ln(a^x) = x\ln a\).
Décimal : \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\) (pH, décibels) ; courbe de \(\ln\) symétrique de \(\exp\) par rapport à \(y = x\).
Résolution : \(e^{ax} = b \Rightarrow x = \tfrac{\ln b}{a}\) (\(b>0\)) ; \(\ln x = b \Rightarrow x = e^b\) ; \(\ln x > b \Rightarrow x > e^b\).
Physique : demi-vie \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) (ou \(\tfrac{\ln 2}{k}\) en cinétique d'ordre 1).