Exercices – Chapitre 14 : Fonction logarithme népérien

Chapitre 14 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles : \(\ln a = x \iff e^x = a\ (a>0)\) ; \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\), \(e^{\ln a}=a\), \(\ln(e^x)=x\) ; \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln\!\left(\tfrac ab\right)=\ln a-\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\), \(\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a\) ; \((\ln x)'=\tfrac1x\) ; \(e^{ax}=b \Rightarrow x=\tfrac{\ln b}{a}\), \(\ln x=b \Rightarrow x=e^b\). Valeurs : \(\ln 2\approx0{,}69\), \(\ln 10\approx2{,}30\).

Exercice 1 — Valeurs et simplifications

Donner, sans calculatrice, la valeur exacte de :

1. \(\ln(e^5)\) 2. \(e^{\ln 8}\) 3. \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right)\) 4. \(\ln\sqrt{e^3}\) 5. \(\ln 1 + \ln e\)

1. \(\ln(e^5) = 5\). 2. \(e^{\ln 8} = 8\). 3. \(\ln(e^{-2}) = -2\). 4. \(\sqrt{e^3} = e^{3/2}\), donc \(\ln\sqrt{e^3} = \tfrac32\). 5. \(0 + 1 = 1\).

Exercice 2 — Propriétés algébriques

On donne \(\ln 2 \approx 0{,}69\) et \(\ln 3 \approx 1{,}10\).

1. Exprimer en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\) : \(\ln 6\), \(\ln 4\), \(\ln 9\), \(\ln\!\left(\tfrac 23\right)\).

2. En déduire une valeur approchée de \(\ln 12\) et de \(\ln 36\).

1. \(\ln 6 = \ln 2 + \ln 3\) ; \(\ln 4 = 2\ln 2\) ; \(\ln 9 = 2\ln 3\) ; \(\ln\!\left(\tfrac23\right) = \ln 2 - \ln 3\).

2. \(\ln 12 = \ln(4\times 3) = 2\ln 2 + \ln 3 \approx 2\times 0{,}69 + 1{,}10 = 2{,}48\). \(\ln 36 = \ln(6^2) = 2\ln 6 = 2(\ln 2 + \ln 3) \approx 2\times 1{,}79 = 3{,}58\).

Exercice 3 — Équations exponentielles

Résoudre dans \(\mathbb{R}\).

1. \(e^{x} = 7\) 2. \(e^{2x} = 3\) 3. \(e^{-x} = 0{,}5\) 4. \(5\,e^{0{,}2x} = 20\)

1. \(x = \ln 7 \approx 1{,}95\).

2. \(2x = \ln 3\), \(x = \dfrac{\ln 3}{2} \approx 0{,}55\).

3. \(-x = \ln 0{,}5\), \(x = -\ln 0{,}5 = \ln 2 \approx 0{,}69\).

4. \(e^{0{,}2x} = 4\), \(0{,}2x = \ln 4 = 2\ln 2\), \(x = \dfrac{2\ln 2}{0{,}2} = 10\ln 2 \approx 6{,}93\).

Exercice 4 — Équations et inéquations logarithmiques

Résoudre dans \(]0\,;+\infty[\).

1. \(\ln x = 4\) 2. \(\ln x = -1\) 3. \(\ln x > 2\) 4. \(\ln x \leqslant 0\)

1. \(x = e^4 \approx 54{,}6\).

2. \(x = e^{-1} = \dfrac1e \approx 0{,}37\).

3. \(\ln x > 2 \iff x > e^2 \approx 7{,}39\). Solution : \(]e^2\,;+\infty[\).

4. \(\ln x \leqslant 0 \iff 0 < x \leqslant e^0 = 1\). Solution : \(]0\,;1]\).

Exercice 5 — Dérivées

Dériver sur \(]0\,;+\infty[\), en précisant \(u\), \(v\) pour les produits et quotients.

1. \(f(x) = 5\ln x + x^3\) 2. \(g(x) = (x+2)\ln x\) 3. \(h(x) = \dfrac{\ln x}{x}\)

1. \(f'(x) = \dfrac5x + 3x^2\).

2. \(u = x+2\) (\(u'=1\)), \(v = \ln x\) (\(v'=\tfrac1x\)). \(g'(x) = 1\times\ln x + (x+2)\times\dfrac1x = \ln x + 1 + \dfrac2x\).

3. \(u = \ln x\) (\(u'=\tfrac1x\)), \(v = x\) (\(v'=1\)). \(h'(x) = \dfrac{\tfrac1x\times x - \ln x\times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).

Exercice 6 — Étude de fonction

Soit \(f(x) = x^2 - 2\ln x\) définie sur \(]0\,;+\infty[\).

1. Calculer \(f'(x)\) et l'écrire sous forme d'un quotient.

2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0\,;+\infty[\).

3. Dresser le tableau de variations et donner le minimum de \(f\).

1. \(f'(x) = 2x - \dfrac2x = \dfrac{2x^2 - 2}{x} = \dfrac{2(x^2 - 1)}{x} = \dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}\).

2. Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x > 0\) et \(x + 1 > 0\), donc le signe de \(f'\) est celui de \(x - 1\) : \(f'(x) < 0\) pour \(0 < x < 1\), \(f'(x) > 0\) pour \(x > 1\).

3. \(f\) décroît sur \(]0\,;1]\), croît sur \([1\,;+\infty[\). Minimum en \(x = 1\) : \(f(1) = 1 - 2\ln 1 = 1\).

Exercice 7 — pH et décibels (lien physique-chimie)

Partie A — pH. On rappelle \(\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]\) (concentration en \(\text{mol·L}^{-1}\)) et \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\).

1. Calculer le pH d'une solution telle que \([\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-4}\ \text{mol·L}^{-1}\).

2. Une solution a un pH de \(2\). Déterminer \([\text{H}_3\text{O}^+]\).

Partie B — Décibels. Le niveau sonore vaut \(L = 10\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) (en dB), avec \(I_0 = 10^{-12}\ \text{W·m}^{-2}\).

3. Calculer \(L\) pour une intensité \(I = 10^{-6}\ \text{W·m}^{-2}\).

1. \(\text{pH} = -\log(10^{-4}) = -(-4) = 4\).

2. \(-\log[\text{H}_3\text{O}^+] = 2 \iff \log[\text{H}_3\text{O}^+] = -2 \iff [\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-2}\ \text{mol·L}^{-1}\).

3. \(\dfrac{I}{I_0} = \dfrac{10^{-6}}{10^{-12}} = 10^{6}\), donc \(L = 10\log(10^6) = 10\times 6 = 60\ \text{dB}\).

Problème type Bac — Désintégration radioactive

Un échantillon d'iode 131 contient initialement \(N_0 = 8{,}0\times 10^{12}\) noyaux. Le nombre de noyaux restants à l'instant \(t\) (en jours) suit

\[N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = 0{,}0862\ \text{jour}^{-1}.\]

1. Calculer la demi-vie \(t_{1/2}\) de l'iode 131 (prendre \(\ln 2 \approx 0{,}693\)).

2. Au bout de combien de jours ne reste-t-il plus que \(1{,}0\times 10^{12}\) noyaux ? (résoudre \(N(t) = 1{,}0\times10^{12}\)).

3. On pose \(f(t) = \ln\big(N(t)\big)\). Montrer que \(f(t) = \ln N_0 - \lambda t\), puis en déduire que le graphe de \(\ln N\) en fonction de \(t\) est une droite dont on donnera le coefficient directeur.

1. \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \dfrac{0{,}693}{0{,}0862} \approx 8{,}0\ \text{jours}\).

2. \(8{,}0\times10^{12}\,e^{-\lambda t} = 1{,}0\times10^{12} \iff e^{-\lambda t} = \dfrac18 = 0{,}125\). On applique \(\ln\) : \(-\lambda t = \ln(0{,}125) = \ln(2^{-3}) = -3\ln 2\). Donc \(t = \dfrac{3\ln 2}{\lambda} = \dfrac{3\times 0{,}693}{0{,}0862} \approx 24\ \text{jours}\) (soit \(3\) demi-vies).

3. \(f(t) = \ln\big(N_0\,e^{-\lambda t}\big) = \ln N_0 + \ln(e^{-\lambda t}) = \ln N_0 - \lambda t\). C'est une fonction affine de \(t\) : le graphe de \(\ln N\) en fonction de \(t\) est une droite de coefficient directeur \(-\lambda = -0{,}0862\) (et d'ordonnée à l'origine \(\ln N_0\)). C'est la méthode de linéarisation utilisée pour déterminer \(\lambda\) expérimentalement.