Fiche – Fonction logarithme népérien

Chapitre 14 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

\(\ln\) est la fonction réciproque de \(\exp\) : \(\ln a = x \iff e^x = a\) (pour \(a > 0\)).
Elle transforme les produits en sommes : c'est l'outil pour « faire descendre » un exposant.
Définie sur \(]0\,;+\infty[\), strictement croissante, de dérivée \(\tfrac1x\).
Omniprésente en PC : demi-vie \(t_{1/2} = \tfrac{\ln 2}{\lambda}\), cinétique d'ordre 1, pH, décibels.

Définitions clés

Définition

Pour \(a > 0\) : \(\ln a = x \iff e^x = a\). Valeurs repères : \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\), \(e^{\ln a} = a\), \(\ln(e^x) = x\).

Logarithme décimal

\(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\) (\(\ln 10 \approx 2{,}30\)). \(\log 10 = 1\), \(\log(10^n) = n\). Utilisé pour le pH \(= -\log[\text{H}_3\text{O}^+]\) et les décibels.

À connaître par cœur

Propriétés algébriques (\(a,b > 0\)) \[\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\dfrac ab\right) = \ln a - \ln b\] \[\ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt a = \tfrac12\ln a \qquad \ln(a^x) = x\ln a\]

Dérivée \[(\ln x)' = \dfrac1x \quad (x > 0)\]

Limites \[\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty \qquad \lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty\]

Variations et signe

\(\ln\) strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\ln a = \ln b \iff a = b\) et \(\ln a < \ln b \iff a < b\).
\(\ln x < 0\) si \(0 < x < 1\) ; \(\ln 1 = 0\) ; \(\ln x > 0\) si \(x > 1\).
Courbe symétrique de \(\exp\) par rapport à \(y = x\) ; passe par \((1\,;0)\) et \((e\,;1)\).

Méthodes

Résoudre équations et inéquations

\(e^{ax} = b\ (b>0) \iff x = \dfrac{\ln b}{a}\).
\(\ln x = b \iff x = e^b\) ; \(\ln x > b \iff x > e^b\).
Vérifier \(x > 0\) (pour \(\ln\)) et \(b > 0\) (pour appliquer \(\ln\) à une exponentielle).

Étudier une fonction avec \(\ln\)

Domaine (contenu du \(\ln\) strictement positif).
\(f'(x)\) mis sous forme d'un quotient (dénominateur \(x > 0\)).
Signe de \(f'\) = signe du numérateur ; tableau de variations.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\).

✅ Seulement le produit : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). Rien pour \(\ln(a+b)\).

❌ Calculer \(\ln 0\) ou \(\ln(\text{négatif})\).

✅ \(\ln x\) existe uniquement pour \(x > 0\).

❌ \((\ln x)' = \dfrac{1}{\ln x}\) ou \(\ln x\).

✅ \((\ln x)' = \dfrac1x\).

❌ Confondre \(\ln\) (base \(e\)) et \(\log\) (base 10).

✅ \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\).

Exemple rapide

Exemple — demi-vie express

\(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\), demi-vie \(N(t_{1/2}) = \tfrac{N_0}{2}\) :

\(e^{-\lambda t_{1/2}} = \tfrac12 \Rightarrow -\lambda t_{1/2} = -\ln 2\).
\(\boxed{t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}}\). Même formule en cinétique d'ordre 1 : \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}\).
Pour \(\lambda = 0{,}05\ \text{j}^{-1}\) : \(t_{1/2} = \dfrac{0{,}693}{0{,}05} \approx 13{,}9\) jours.