Devoir Surveillé – Chapitre 14

Fonction logarithme népérien | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(\ln a = x \iff e^x = a\ (a>0)\) ; \(\ln 1=0\), \(\ln e=1\) ; \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln\!\left(\tfrac ab\right)=\ln a-\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\) ; \((\ln x)'=\tfrac1x\) ; \(e^{ax}=b \Rightarrow x=\tfrac{\ln b}{a}\), \(\ln x=b \Rightarrow x=e^b\). On prendra \(\ln 2\approx0{,}693\), \(\ln 3\approx1{,}099\).

Exercice 1 — Calculs et propriétés (6 points)

1. Donner la valeur exacte de \(\ln(e^6)\), \(e^{\ln 4}\) et \(\ln\!\left(\dfrac{1}{\sqrt e}\right)\). (3 pts)

2. On donne \(\ln 2 \approx 0{,}693\) et \(\ln 3 \approx 1{,}099\). Calculer une valeur approchée de \(\ln 24\) en détaillant. (1,5 pt)

3. Résoudre l'équation \(\ln x + \ln 3 = \ln 15\) d'inconnue \(x > 0\). (1,5 pt)

1. \(\ln(e^6) = 6\) ; \(e^{\ln 4} = 4\) ; \(\ln\!\left(\tfrac{1}{\sqrt e}\right) = \ln(e^{-1/2}) = -\tfrac12\). (3 pts)

2. \(24 = 2^3\times 3\), donc \(\ln 24 = 3\ln 2 + \ln 3 \approx 3\times 0{,}693 + 1{,}099 = 2{,}079 + 1{,}099 = 3{,}178\). (1,5 pt)

3. \(\ln x + \ln 3 = \ln(3x)\), donc \(\ln(3x) = \ln 15 \iff 3x = 15 \iff x = 5\) (\(> 0\), accepté). (1,5 pt)

Exercice 2 — Équations, inéquations, dérivées (8 points)

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : (a) \(e^{4x} = 2\) ; (b) \(3\,e^{-x} = 1\). (3 pts)

2. Résoudre dans \(]0\,;+\infty[\) l'inéquation \(\ln x \geqslant -1\). (2 pts)

3. Dériver sur \(]0\,;+\infty[\) : (a) \(f(x) = 4\ln x - x\) ; (b) \(g(x) = x^3\ln x\). (3 pts)

1. (a) \(4x = \ln 2\), \(x = \dfrac{\ln 2}{4} \approx 0{,}173\). (b) \(e^{-x} = \dfrac13\), \(-x = \ln\tfrac13 = -\ln 3\), \(x = \ln 3 \approx 1{,}099\). (3 pts)

2. \(\ln x \geqslant -1 \iff x \geqslant e^{-1} = \dfrac1e\). Solution : \(\left[\dfrac1e\,;+\infty\right[\) (bien inclus dans \(]0\,;+\infty[\)). (2 pts)

3. (a) \(f'(x) = \dfrac4x - 1\). (b) \(u = x^3\) (\(u'=3x^2\)), \(v = \ln x\) (\(v'=\tfrac1x\)) : \(g'(x) = 3x^2\ln x + x^3\times\dfrac1x = 3x^2\ln x + x^2 = x^2(3\ln x + 1)\). (3 pts)

Exercice 3 — Étude de fonction et cinétique (6 points)

Partie A — Étude de fonction (4 pts). Soit \(f(x) = x - \ln x\) définie sur \(]0\,;+\infty[\).

1. Calculer \(f'(x)\) et l'écrire sous forme d'un quotient. (1,5 pt)

2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\). (2 pts)

\(x\)	\(0^+\)	\(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\)
Variations de \(f\)

3. En déduire que \(f(x) \geqslant 1\) pour tout \(x > 0\). (0,5 pt)

Partie B — Cinétique d'ordre 1 (2 pts). La concentration d'un réactif vérifie \([A] = [A]_0\,e^{-kt}\), avec \(k = 0{,}0231\ \text{min}^{-1}\).

4. Calculer le temps de demi-réaction \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}\), puis la durée nécessaire pour que \([A]\) soit divisée par 4. (2 pts)

1. \(f'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x - 1}{x}\). (1,5 pt)

2. Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x > 0\), donc \(f'\) a le signe de \(x - 1\) : \(f'(x) < 0\) pour \(0 < x < 1\), \(f'(x) > 0\) pour \(x > 1\). \(f\) décroît sur \(]0\,;1]\), croît sur \([1\,;+\infty[\) ; minimum en \(x=1\), \(f(1) = 1 - \ln 1 = 1\). (2 pts)

3. Le minimum de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) vaut \(1\), donc \(f(x) \geqslant 1\) pour tout \(x > 0\). (0,5 pt)

4. \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{0{,}693}{0{,}0231} \approx 30\ \text{min}\). Pour diviser par 4 = deux demi-vies : \(t = 2\,t_{1/2} \approx 60\ \text{min}\) (on peut aussi résoudre \(e^{-kt} = \tfrac14\) : \(t = \dfrac{2\ln 2}{k} \approx 60\ \text{min}\)). (2 pts)