Chapitre 15 – Nombres complexes et exponentielle complexe

Chapitre 15 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Illustration : Deux élèves étudient un complexe z dans le premier quadrant du plan complexe, avec ses projections réelle et imaginaire, son module r et son argument θ. — Représenter un complexe par ses coordonnées, son module et son argument.

Objectifs du chapitre

Connaître l'exponentielle complexe \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) et ses propriétés (\(|e^{i\theta}|=1\), produit, conjugué)
Écrire un nombre complexe non nul sous la forme exponentielle \(z=r\,e^{i\theta}\) avec \(r\gt0\), passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement
Utiliser les formules d'addition des sinus et cosinus, et transformer \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\) en \(A\cos(\omega t+\varphi)\) et inversement
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) une équation du premier degré ou du type \(z^2=a\) (\(a\) réel)
Interpréter géométriquement les transformations \(z\mapsto z+b\) (translation) et \(z\mapsto az\) (rotation, homothétie)
Relier ces outils au régime électrique sinusoïdal (amplitude, déphasage, association de signaux)

En classe de première, on a introduit les nombres complexes sous forme algébrique \(z=a+ib\) (avec \(i^2=-1\)) et sous forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\). Ce chapitre franchit une étape : on note \(\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}\). Cette notation exponentielle rend les calculs sur les produits, les quotients et les puissances aussi simples qu'avec l'exponentielle réelle, et elle est l'outil naturel de l'électricité en régime sinusoïdal (tensions et courants alternatifs).

I. L'exponentielle complexe

1. Définition

Définition — Exponentielle d'un imaginaire pur

Pour tout réel \(\theta\), on définit le nombre complexe :

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.\]

C'est un nombre complexe de partie réelle \(\cos\theta\) et de partie imaginaire \(\sin\theta\). Son image dans le plan complexe est le point du cercle unité (cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)) associé à l'angle \(\theta\).

Le nombre \(e^{i\theta}\) est le point du cercle unité d'angle \(\theta\) : abscisse \(\cos\theta\), ordonnée \(\sin\theta\), distance \(OM=1\).

Exemple — valeurs remarquables

\(e^{i\cdot 0}=\cos 0+i\sin 0=1\) ; \(\quad e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i\) ; \(\quad e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1\) ; \(\quad e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i\).

On retient notamment la célèbre égalité \(e^{i\pi}+1=0\), qui relie \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\) et \(0\).

Propriété — Module de \(e^{i\theta}\)

Pour tout réel \(\theta\) :

\[|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\sqrt{1}=1.\]

Ainsi \(e^{i\theta}\) est toujours de module \(1\) : son image décrit le cercle unité quand \(\theta\) varie.

Exercice d'application 1. Donner la forme algébrique de \(e^{i\frac{\pi}{4}}\), \(e^{i\frac{\pi}{3}}\) et \(e^{-i\frac{\pi}{2}}\).

\(e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\).

\(e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

\(e^{-i\frac{\pi}{2}}=\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0-i=-i\).

2. Règles de calcul

Propriété — Propriétés algébriques

On admet que l'exponentielle complexe possède les mêmes règles que l'exponentielle réelle. Pour tous réels \(\theta\) et \(\theta'\) :

\[e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')},\qquad \frac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta},\qquad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')},\] \[\big(e^{i\theta}\big)^n=e^{in\theta}\ (n\in\mathbb{Z}),\qquad \overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}.\]

Attention

On a \(e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\) (le cosinus est pair, le sinus est impair). C'est bien le conjugué de \(e^{i\theta}\), pas son opposé. Par exemple \(\overline{e^{i\pi/3}}=e^{-i\pi/3}=\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Exemple — produit et puissance

\(e^{i\frac{\pi}{6}}\times e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i\).

\(\left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^2=e^{i\frac{\pi}{2}}=i\), ce qui redonne \(\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=i\) (vérifiable en développant).

II. Forme exponentielle d'un nombre complexe

1. Définition

Définition — Forme exponentielle

Tout nombre complexe non nul \(z\), de module \(r=|z|\gt0\) et d'argument \(\theta=\arg(z)\), s'écrit :

\[z=r\,e^{i\theta},\qquad r\gt0.\]

C'est la forme exponentielle de \(z\). Elle contient exactement la même information que la forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), mais s'écrit plus brièvement.

Propriété — Lien entre les trois formes

Pour un complexe non nul de module \(r\) et d'argument \(\theta\) :

\[\underbrace{a+ib}_{\text{algébrique}}=\underbrace{r(\cos\theta+i\sin\theta)}_{\text{trigonométrique}}=\underbrace{r\,e^{i\theta}}_{\text{exponentielle}},\] \[\text{avec}\quad r=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\theta=\frac{a}{r},\qquad \sin\theta=\frac{b}{r}.\]

2. Passer d'une forme à l'autre

Méthode — De la forme algébrique à la forme exponentielle

Calculer le module \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
Calculer \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).
Reconnaître l'argument \(\theta\) grâce aux signes (bon quadrant) et aux valeurs remarquables.
Écrire \(z=r\,e^{i\theta}\).

Exemple résolu. Écrivons \(z=-1+i\sqrt3\) sous forme exponentielle.

\(r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2\). Puis \(\cos\theta=\dfrac{-1}{2}\) et \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : le point est dans le 2ᵉ quadrant, \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\). Donc \(z=2\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\).

Méthode — De la forme exponentielle à la forme algébrique

On développe \(z=r\,e^{i\theta}=r\cos\theta+i\,r\sin\theta\), donc \(a=r\cos\theta\) et \(b=r\sin\theta\).

Exemple résolu. Soit \(z=4\,e^{i\frac{\pi}{6}}\). Alors \(a=4\cos\dfrac{\pi}{6}=4\times\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\) et \(b=4\sin\dfrac{\pi}{6}=4\times\dfrac{1}{2}=2\). D'où \(z=2\sqrt3+2i\).

Propriété — Produit et quotient sous forme exponentielle

La forme exponentielle rend les produits et quotients immédiats. Pour \(z=r\,e^{i\theta}\) et \(z'=r'\,e^{i\theta'}\) (avec \(r,r'\gt0\)) :

\[z\,z'=r\,r'\,e^{i(\theta+\theta')},\qquad \frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}\,e^{i(\theta-\theta')}.\]

On multiplie les modules et on ajoute les arguments ; on divise les modules et on soustrait les arguments.

Exemple — produit express

Soit \(z=2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \(z'=3\,e^{i\frac{\pi}{6}}\). Alors \(z\,z'=2\times3\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)}=6\,e^{i\frac{5\pi}{12}}\), et \(\dfrac{z}{z'}=\dfrac{2}{3}\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{2}{3}\,e^{i\frac{\pi}{12}}\).

Exercice d'application 2. Écrire sous forme exponentielle : \(z_1=3i\), \(z_2=-5\), et \(z_3=1-i\).

\(z_1=3i\) : \(r=3\), \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) et \(z_1=3\,e^{i\frac{\pi}{2}}\).

\(z_2=-5\) : \(r=5\), \(\cos\theta=-1\), \(\sin\theta=0\), donc \(\theta=\pi\) et \(z_2=5\,e^{i\pi}\).

\(z_3=1-i\) : \(r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\), \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), donc \(\theta=-\dfrac{\pi}{4}\) et \(z_3=\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\).

III. Formules d'addition et signaux sinusoïdaux

1. Formules d'addition

Propriété — Formules d'addition

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\] \[\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.\]

Exemple — comment ces formules se déduisent de \(e^{i\theta}\)

On écrit \(e^{i(a+b)}=e^{ia}\times e^{ib}\), c'est-à-dire :

\[\cos(a+b)+i\sin(a+b)=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b).\]

En développant le produit de droite : \((\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b)\). En identifiant partie réelle et partie imaginaire, on retrouve les deux formules d'addition. C'est tout l'intérêt de la notation exponentielle.

Propriété — Formules de duplication

En prenant \(b=a\) dans les formules d'addition :

\[\cos(2a)=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a,\qquad \sin(2a)=2\sin a\cos a.\]

2. Transformer \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\)

Propriété — Somme de deux signaux de même pulsation

Soient \(a\) et \(b\) deux réels non tous deux nuls et \(\omega\gt0\). Il existe une amplitude \(A\gt0\) et une phase \(\varphi\) telles que, pour tout \(t\) :

\[a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi),\]

avec

\[A=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\varphi=\frac{a}{A},\qquad \sin\varphi=-\frac{b}{A}.\]

Attention — le signe de \(\sin\varphi\)

En développant \(A\cos(\omega t+\varphi)=A\cos\varphi\cos(\omega t)-A\sin\varphi\sin(\omega t)\), on identifie \(a=A\cos\varphi\) et \(b=-A\sin\varphi\). Le coefficient de \(\sin(\omega t)\) impose donc \(\sin\varphi=-\dfrac{b}{A}\) (avec un signe moins). L'amplitude, elle, est toujours \(A=\sqrt{a^2+b^2}\).

Méthode — Mettre \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\) sous la forme \(A\cos(\omega t+\varphi)\)

Calculer l'amplitude \(A=\sqrt{a^2+b^2}\).
Déterminer \(\varphi\) par \(\cos\varphi=\dfrac{a}{A}\) et \(\sin\varphi=-\dfrac{b}{A}\) (attention au quadrant).
Écrire le résultat \(A\cos(\omega t+\varphi)\).

Exemple résolu. Transformons \(\cos(\omega t)+\sqrt3\,\sin(\omega t)\).

Ici \(a=1\), \(b=\sqrt3\). Alors \(A=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2\). Puis \(\cos\varphi=\dfrac{1}{2}\) et \(\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt3}{2}\), d'où \(\varphi=-\dfrac{\pi}{3}\). Donc :

\[\cos(\omega t)+\sqrt3\,\sin(\omega t)=2\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right).\]

Méthode — Passer de \(A\cos(\omega t+\varphi)\) à la forme \(a\cos+b\sin\)

On développe avec la formule d'addition : \(A\cos(\omega t+\varphi)=\underbrace{A\cos\varphi}_{a}\,\cos(\omega t)-\underbrace{A\sin\varphi}_{-b}\,\sin(\omega t)\).

Exemple résolu. \(4\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)=4\cos\dfrac{\pi}{6}\cos(\omega t)-4\sin\dfrac{\pi}{6}\sin(\omega t)=2\sqrt3\,\cos(\omega t)-2\,\sin(\omega t)\).

Exercice d'application 3. Mettre \(\sqrt3\,\cos(\omega t)+\sin(\omega t)\) sous la forme \(A\cos(\omega t+\varphi)\).

\(a=\sqrt3\), \(b=1\) → \(A=\sqrt{3+1}=2\). Puis \(\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\varphi=-\dfrac{1}{2}\), donc \(\varphi=-\dfrac{\pi}{6}\).

Ainsi \(\sqrt3\,\cos(\omega t)+\sin(\omega t)=2\cos\!\left(\omega t-\dfrac{\pi}{6}\right)\).

IV. Équations dans \(\mathbb{C}\)

1. Équation du premier degré

Méthode — Résoudre \(az+b=c\) dans \(\mathbb{C}\)

On isole \(z\) comme dans \(\mathbb{R}\), puis on met le résultat sous forme algébrique (en multipliant par le conjugué du dénominateur si nécessaire).

Exemple résolu. Résolvons \((2+i)z=5\).

\[z=\frac{5}{2+i}=\frac{5(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{5(2-i)}{4+1}=\frac{5(2-i)}{5}=2-i.\]

L'unique solution est \(z=2-i\).

Exercice d'application 4. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(3z-2=z+4i\).

\(3z-z=4i+2\) donc \(2z=2+4i\), d'où \(z=1+2i\).

2. Équation du type \(z^2=a\) avec \(a\) réel

Propriété — Racines de \(z^2=a\)

Si \(a\gt0\) : deux solutions réelles \(z=\sqrt a\) et \(z=-\sqrt a\).
Si \(a=0\) : une seule solution \(z=0\).
Si \(a\lt0\) : deux solutions imaginaires pures \(z=i\sqrt{|a|}\) et \(z=-i\sqrt{|a|}\).

Exemple

\(z^2=9\) donne \(z=3\) ou \(z=-3\). \(\quad z^2=-4\) donne \(z=2i\) ou \(z=-2i\) (car \((2i)^2=4i^2=-4\)). \(\quad z^2=-1\) donne \(z=i\) ou \(z=-i\).

Exercice d'application 5. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2=-25\) puis \(z^2+7=0\).

\(z^2=-25\) : \(z=5i\) ou \(z=-5i\).

\(z^2+7=0 \iff z^2=-7\) : \(z=i\sqrt7\) ou \(z=-i\sqrt7\).

V. Interprétation géométrique des transformations

1. Translation : \(z\mapsto z+b\)

Définition — Translation

Soit \(b\) un complexe fixé. L'application qui, au point \(M\) d'affixe \(z\), associe le point \(M'\) d'affixe \(z'=z+b\) est la translation de vecteur \(\vec w\) d'affixe \(b\). Chaque point est déplacé du même vecteur \(\vec w\).

Exemple

\(z'=z+(3+2i)\) est la translation de vecteur \(\vec w(3\,;2)\) : le point d'affixe \(1+i\) devient \(4+3i\).

2. Rotation et homothétie : \(z\mapsto az\)

Propriété — Effet de \(z\mapsto az\)

Soit \(a=|a|\,e^{i\alpha}\) un complexe non nul, d'argument \(\alpha\). L'application \(z\mapsto z'=az\) (de centre \(O\)) combine :

une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha=\arg(a)\) ;
une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(|a|\).

En effet, si \(z=r\,e^{i\theta}\) alors \(az=|a|\,r\,e^{i(\theta+\alpha)}\) : le module est multiplié par \(|a|\) et l'argument augmenté de \(\alpha\).

\(z\mapsto az\) : on tourne \(\overrightarrow{OM}\) de l'angle \(\arg(a)\) (rotation) et on multiplie sa longueur par \(|a|\) (homothétie).

Propriété — Cas particuliers importants

Si \(a\) est un réel non nul (\(\arg(a)=0\) ou \(\pi\)) : \(z\mapsto az\) est une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(a\).
Si \(a\) est de module 1 (\(a=e^{i\alpha}\)) : \(z\mapsto az\) est une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha\) (les longueurs sont conservées).
En particulier \(z\mapsto iz\) (avec \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

Exemple — multiplication par \(i\)

Le point \(M\) d'affixe \(z=3+i\) a pour image, par \(z\mapsto iz\), le point d'affixe \(iz=i(3+i)=3i+i^2=-1+3i\). On vérifie que \(|iz|=|z|=\sqrt{10}\) (longueur conservée) et que l'argument a augmenté de \(\dfrac{\pi}{2}\) : c'est bien un quart de tour direct autour de \(O\).

Exercice d'application 6. Caractériser la transformation \(z\mapsto 2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\,z\), puis la transformation \(z\mapsto z-4+i\).

\(z\mapsto 2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\,z\) : \(a=2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\), de module \(2\) et d'argument \(\dfrac{\pi}{3}\). C'est la composée d'une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\) et d'une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\).

\(z\mapsto z-4+i=z+(-4+i)\) : c'est la translation de vecteur \(\vec w(-4\,;1)\).

3. Simulation — multiplication par un complexe \(a\)

Fais varier le module \(|a|\) et l'argument \(\alpha=\arg(a)\), et observe comment le point \(M\) (fixe, d'affixe \(z\)) est transformé en \(M'\) d'affixe \(az\) : rotation d'angle \(\alpha\) et allongement du rayon d'un facteur \(|a|\).

Module |a| :
Argument α (degrés) :

Un lien avec la physique : le régime sinusoïdal

En électricité, une tension alternative s'écrit \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi_u)\) et un courant \(i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi_i)\). On leur associe des complexes (appelés « amplitudes complexes ») \(\underline{U}=U_m\,e^{i\varphi_u}\) et \(\underline{I}=I_m\,e^{i\varphi_i}\) : le module donne l'amplitude, l'argument donne la phase à l'origine.

Cette représentation transforme des calculs trigonométriques compliqués en simples opérations sur les complexes :

Additionner deux signaux de même pulsation revient à additionner leurs complexes — puis on repasse en \(A\cos(\omega t+\varphi)\) grâce à la méthode du III.
Déphaser un signal de \(\dfrac{\pi}{2}\) revient à multiplier son complexe par \(e^{i\frac{\pi}{2}}=i\) : c'est exactement une rotation d'un quart de tour dans le plan complexe.
Le déphasage entre tension et courant est \(\varphi_u-\varphi_i=\arg\!\left(\dfrac{\underline{U}}{\underline{I}}\right)\).

Exemple — somme de deux tensions

Deux tensions de même pulsation \(u_1(t)=3\cos(\omega t)\) et \(u_2(t)=4\sin(\omega t)\) se superposent. Leur somme est \(u(t)=3\cos(\omega t)+4\sin(\omega t)\). D'après la méthode du III : \(A=\sqrt{3^2+4^2}=5\), \(\cos\varphi=\dfrac35\), \(\sin\varphi=-\dfrac45\), d'où \(\varphi\approx-0{,}93\ \text{rad}\). Donc \(u(t)=5\cos(\omega t-0{,}93)\) : l'amplitude résultante est \(5\ \text{V}\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Écrire \(e^{-i\theta}=-e^{i\theta}\).

✅ \(e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta=\overline{e^{i\theta}}\) : c'est le conjugué, pas l'opposé.

❌ Croire que \(|e^{i\theta}|\) dépend de \(\theta\).

✅ \(|e^{i\theta}|=1\) pour tout \(\theta\) : dans \(z=r\,e^{i\theta}\), c'est \(r\) qui porte le module.

❌ Oublier le signe moins dans \(\sin\varphi=-\dfrac{b}{A}\).

✅ En développant \(A\cos(\omega t+\varphi)\), le terme en \(\sin(\omega t)\) est \(-A\sin\varphi\), donc \(b=-A\sin\varphi\).

❌ Pour \(z^2=-9\), écrire « pas de solution ».

✅ Dans \(\mathbb{C}\), \(z^2=-9\) donne \(z=3i\) ou \(z=-3i\).

❌ Confondre l'effet de \(z\mapsto az\) selon \(a\).

✅ \(|a|\) donne l'homothétie (rapport), \(\arg(a)\) donne la rotation (angle).

L'essentiel à retenir

À retenir :

Exponentielle complexe : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), \(|e^{i\theta}|=1\), \(\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\), \(e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\).
Forme exponentielle : \(z=r\,e^{i\theta}\) avec \(r=|z|\gt0\), \(\theta=\arg(z)\) ; produits : on multiplie les modules et additionne les arguments.
Formules d'addition : \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\), \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\).
Signal sinusoïdal : \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi)\), \(A=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\varphi=\dfrac{a}{A}\), \(\sin\varphi=-\dfrac{b}{A}\).
Équations : premier degré → isoler \(z\) ; \(z^2=a\) → \(\pm\sqrt a\) si \(a\gt0\), \(\pm i\sqrt{|a|}\) si \(a\lt0\).
Transformations : \(z\mapsto z+b\) = translation de vecteur d'affixe \(b\) ; \(z\mapsto az\) = rotation d'angle \(\arg(a)\) + homothétie de rapport \(|a|\).