Fiche – Nombres complexes et exponentielle complexe

Chapitre 15 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Exponentielle complexe : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), \(|e^{i\theta}|=1\), \(\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\).
Forme exponentielle : \(z=r\,e^{i\theta}\) avec \(r=|z|\gt0\), \(\theta=\arg(z)\). Produit : modules \(\times\), arguments \(+\).
Signal : \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi)\), \(A=\sqrt{a^2+b^2}\).
Équation \(z^2=a\) : \(\pm\sqrt a\) si \(a\gt0\) ; \(\pm i\sqrt{|a|}\) si \(a\lt0\).
Transformations : \(z\mapsto z+b\) = translation ; \(z\mapsto az\) = rotation (\(\arg a\)) + homothétie (\(|a|\)).

Définitions clés

Exponentielle complexe

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\). C'est le point du cercle unité d'angle \(\theta\) ; son module vaut toujours \(1\).

Forme exponentielle

Pour \(z\ne0\) : \(z=r\,e^{i\theta}\), avec \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\gt0\) et \(\theta=\arg(z)\). Même information que \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\).

Transformations du plan

\(z\mapsto z+b\) : translation de vecteur d'affixe \(b\). \(\;z\mapsto az\) : rotation de centre \(O\), angle \(\arg(a)\), et homothétie de centre \(O\), rapport \(|a|\).

À connaître par cœur

Propriétés de \(e^{i\theta}\) \[e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')},\qquad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')},\qquad \big(e^{i\theta}\big)^n=e^{in\theta}\]

Produit / quotient (forme exponentielle) \[r\,e^{i\theta}\times r'\,e^{i\theta'}=r r'\,e^{i(\theta+\theta')},\qquad \frac{r\,e^{i\theta}}{r'\,e^{i\theta'}}=\frac{r}{r'}\,e^{i(\theta-\theta')}\]

Formules d'addition \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\] \[\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\]

Amplitude et phase d'un signal \[a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi)\] \[A=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\varphi=\frac{a}{A},\qquad \sin\varphi=-\frac{b}{A}\]

Valeurs remarquables de \(e^{i\theta}\)

\(\theta\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)
\(e^{i\theta}\)	\(1\)	\(i\)	\(-1\)	\(-i\)

Méthodes

Méthode — Algébrique → exponentielle

Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
Calculer \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\), \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).
Reconnaître \(\theta\) (signes → quadrant), écrire \(z=r\,e^{i\theta}\).

Méthode — \(a\cos+b\sin\) → \(A\cos(\omega t+\varphi)\)

\(A=\sqrt{a^2+b^2}\).
\(\cos\varphi=\dfrac{a}{A}\), \(\sin\varphi=-\dfrac{b}{A}\) → identifier \(\varphi\).
Écrire \(A\cos(\omega t+\varphi)\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ \(e^{-i\theta}=-e^{i\theta}\).

✅ \(e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta=\overline{e^{i\theta}}\) (conjugué).

❌ \(|e^{i\theta}|\) dépend de \(\theta\).

✅ \(|e^{i\theta}|=1\) toujours.

❌ Oublier le signe : \(\sin\varphi=+\dfrac{b}{A}\).

✅ \(\sin\varphi=-\dfrac{b}{A}\).

❌ \(z^2=-9\) « n'a pas de solution ».

✅ Dans \(\mathbb{C}\) : \(z=3i\) ou \(z=-3i\).

Exemple rapide

Exemple — les outils en action

\(z=1+i\sqrt3\) : \(r=\sqrt{1+3}=2\), \(\cos\theta=\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\) → \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\), donc \(z=2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\).

Signal : \(3\cos(\omega t)+4\sin(\omega t)\) → \(A=\sqrt{9+16}=5\), \(\cos\varphi=0{,}6\), \(\sin\varphi=-0{,}8\), \(\varphi\approx-0{,}93\) → \(5\cos(\omega t-0{,}93)\).

\(z\mapsto iz\) : rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) (car \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\), module \(1\)).