Chapitre 15 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Les exercices sont classés du plus simple au plus complet. Cherche d'abord seul, puis clique sur « Voir la correction ». Le dernier est un « Problème type » d'application au régime sinusoïdal.
Donner la forme algébrique de chacun des complexes suivants :
a. \(e^{i\frac{\pi}{2}}\) b. \(e^{i\pi}\) c. \(e^{i\frac{\pi}{6}}\) d. \(e^{-i\frac{\pi}{4}}\) e. \(2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\)
a. \(e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i\).
b. \(e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1\).
c. \(e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i\).
d. \(e^{-i\frac{\pi}{4}}=\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}i\).
e. \(2\,e^{i\frac{\pi}{3}}=2\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=1+i\sqrt3\).
Écrire chaque complexe sous la forme \(r\,e^{i\theta}\) avec \(r\gt0\).
a. \(z_1=1+i\) b. \(z_2=-2i\) c. \(z_3=-3\) d. \(z_4=\sqrt3+i\)
a. \(r=\sqrt{1+1}=\sqrt2\) ; \(\cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\). \(\;z_1=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\).
b. \(r=2\) ; \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=-1\), donc \(\theta=-\dfrac{\pi}{2}\). \(\;z_2=2\,e^{-i\frac{\pi}{2}}\).
c. \(r=3\) ; \(\cos\theta=-1\), \(\sin\theta=0\), donc \(\theta=\pi\). \(\;z_3=3\,e^{i\pi}\).
d. \(r=\sqrt{3+1}=2\) ; \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac12\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\). \(\;z_4=2\,e^{i\frac{\pi}{6}}\).
On pose \(z=4\,e^{i\frac{\pi}{3}}\) et \(z'=2\,e^{i\frac{\pi}{6}}\).
1. Calculer \(z\,z'\) sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
2. Calculer \(\dfrac{z}{z'}\) sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
3. Calculer \(z^2\) sous forme exponentielle.
1. \(z\,z'=4\times2\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)}=8\,e^{i\frac{\pi}{2}}=8i\).
2. \(\dfrac{z}{z'}=\dfrac{4}{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)}=2\,e^{i\frac{\pi}{6}}=2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i\right)=\sqrt3+i\).
3. \(z^2=4^2\,e^{i\cdot 2\cdot\frac{\pi}{3}}=16\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\).
1. En utilisant \(\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\) et la formule d'addition, calculer la valeur exacte de \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\).
2. Retrouver l'identité \(\sin(2a)=2\sin a\cos a\) à partir de la formule d'addition de \(\sin(a+b)\).
1. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\).
2. \(\sin(a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a\). Donc \(\sin(2a)=2\sin a\cos a\).
Mettre chaque expression sous la forme \(A\cos(\omega t+\varphi)\) avec \(A\gt0\).
a. \(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\) b. \(3\cos(\omega t)+3\sqrt3\,\sin(\omega t)\) c. \(-\cos(\omega t)+\sqrt3\,\sin(\omega t)\)
a. \(a=1\), \(b=-1\) → \(A=\sqrt2\). \(\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt2}\), \(\sin\varphi=-\dfrac{-1}{\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\), donc \(\varphi=\dfrac{\pi}{4}\). Résultat : \(\sqrt2\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
b. \(a=3\), \(b=3\sqrt3\) → \(A=\sqrt{9+27}=6\). \(\cos\varphi=\dfrac{3}{6}=\dfrac12\), \(\sin\varphi=-\dfrac{3\sqrt3}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\), donc \(\varphi=-\dfrac{\pi}{3}\). Résultat : \(6\cos\!\left(\omega t-\dfrac{\pi}{3}\right)\).
c. \(a=-1\), \(b=\sqrt3\) → \(A=\sqrt{1+3}=2\). \(\cos\varphi=-\dfrac12\), \(\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt3}{2}\), donc \(\varphi=-\dfrac{2\pi}{3}\). Résultat : \(2\cos\!\left(\omega t-\dfrac{2\pi}{3}\right)\).
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :
a. \((1+i)z=2\) b. \(4z+3=2z-i\) c. \(z^2=-16\) d. \(2z^2+10=0\)
a. \(z=\dfrac{2}{1+i}=\dfrac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2(1-i)}{2}=1-i\).
b. \(4z-2z=-i-3\) donc \(2z=-3-i\), d'où \(z=-\dfrac32-\dfrac12 i\).
c. \(z^2=-16\) : \(z=4i\) ou \(z=-4i\).
d. \(2z^2=-10 \iff z^2=-5\) : \(z=i\sqrt5\) ou \(z=-i\sqrt5\).
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.
1. Caractériser la transformation \(z\mapsto z+(2-3i)\).
2. Caractériser la transformation \(z\mapsto 3z\).
3. Caractériser la transformation \(z\mapsto e^{i\frac{\pi}{2}}\,z\).
4. Le point \(A\) a pour affixe \(z_A=2+i\). Déterminer l'affixe de son image \(A'\) par \(z\mapsto iz\), et vérifier que \(OA=OA'\).
1. Translation de vecteur \(\vec w(2\,;-3)\) (affixe \(2-3i\)).
2. \(a=3\) est réel positif : homothétie de centre \(O\) et de rapport \(3\).
3. \(e^{i\frac{\pi}{2}}=i\) est de module \(1\) et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\) : rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
4. \(z_{A'}=i(2+i)=2i+i^2=-1+2i\). \(OA=|2+i|=\sqrt{4+1}=\sqrt5\) et \(OA'=|-1+2i|=\sqrt{1+4}=\sqrt5\). On a bien \(OA=OA'\) (la rotation conserve les longueurs).
Dans un circuit alimenté en régime sinusoïdal de pulsation \(\omega\), deux tensions de même pulsation se superposent :
\[u_1(t)=6\cos(\omega t)\qquad\text{et}\qquad u_2(t)=8\sin(\omega t)\quad(\text{en volts}).\]1. Exprimer la tension totale \(u(t)=u_1(t)+u_2(t)\) sous la forme \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\).
2. Déterminer l'amplitude \(A=\sqrt{a^2+b^2}\) de la tension totale.
3. Déterminer la phase \(\varphi\) telle que \(u(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\) (valeur approchée en radians au centième).
4. On associe à \(u_1\) et \(u_2\) les complexes \(\underline{U_1}=6\) et \(\underline{U_2}=-8i\) (car \(\sin(\omega t)=\cos(\omega t-\frac{\pi}{2})\), d'amplitude complexe \(e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i\)). Vérifier que \(\underline{U}=\underline{U_1}+\underline{U_2}\) a pour module \(A\) et pour argument \(\varphi\).
1. \(u(t)=6\cos(\omega t)+8\sin(\omega t)\), donc \(a=6\) et \(b=8\).
2. \(A=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \text{V}\).
3. \(\cos\varphi=\dfrac{a}{A}=\dfrac{6}{10}=0{,}6\) et \(\sin\varphi=-\dfrac{b}{A}=-\dfrac{8}{10}=-0{,}8\). Le point \((0{,}6\,;-0{,}8)\) est dans le 4ᵉ quadrant : \(\varphi\approx-0{,}93\ \text{rad}\). Donc \(u(t)=10\cos(\omega t-0{,}93)\).
4. \(\underline{U}=6-8i\), de module \(|\underline{U}|=\sqrt{6^2+8^2}=10=A\) et d'argument tel que \(\cos=\dfrac{6}{10}=0{,}6\), \(\sin=\dfrac{-8}{10}=-0{,}8\), soit \(\arg(\underline{U})\approx-0{,}93\ \text{rad}=\varphi\). ✓ Le calcul complexe redonne directement l'amplitude et la phase.