Chapitre 15 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Durée : 1 h — Barème : /20 — Calculatrice autorisée
Toutes les réponses doivent être justifiées. Le soin et la rédaction sont notés.
Rappels : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) ; \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi)\) avec \(A=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\varphi=\tfrac{a}{A}\), \(\sin\varphi=-\tfrac{b}{A}\).
1. Donner la forme algébrique de \(e^{i\frac{\pi}{3}}\) et de \(3\,e^{i\frac{\pi}{2}}\). (2 pts)
2. Écrire \(z=-1+i\) sous la forme exponentielle \(r\,e^{i\theta}\). (2 pts)
3. On pose \(z_1=2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \(z_2=3\,e^{i\frac{\pi}{6}}\). Calculer \(z_1 z_2\) et \(\dfrac{z_1}{z_2}\) sous forme exponentielle. (2 pts)
4. Que vaut \(|e^{i\theta}|\) pour un réel \(\theta\) quelconque ? Justifier. (1 pt)
1. \(e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\) (1 pt). \(\;3\,e^{i\frac{\pi}{2}}=3(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=3i\) (1 pt).
2. \(r=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2\) ; \(\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\) (2ᵉ quadrant), donc \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\). \(\;z=\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\). (2 pts)
3. \(z_1 z_2=6\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)}=6\,e^{i\frac{5\pi}{12}}\) ; \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac23\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)}=\dfrac23\,e^{i\frac{\pi}{12}}\). (1 pt chacun)
4. \(|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\sqrt1=1\) pour tout \(\theta\). (1 pt)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((3-i)z=10\). (2 pts)
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2=-49\) puis \(z^2+3=0\). (2 pts)
3. Mettre \(u(t)=\sqrt3\,\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\) sous la forme \(A\cos(\omega t+\varphi)\). (3 pts)
1. \(z=\dfrac{10}{3-i}=\dfrac{10(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\dfrac{10(3+i)}{9+1}=\dfrac{10(3+i)}{10}=3+i\). (2 pts)
2. \(z^2=-49\) : \(z=7i\) ou \(z=-7i\) (1 pt). \(\;z^2+3=0\iff z^2=-3\) : \(z=i\sqrt3\) ou \(z=-i\sqrt3\) (1 pt).
3. \(a=\sqrt3\), \(b=-1\) → \(A=\sqrt{3+1}=2\) (1 pt). \(\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\varphi=-\dfrac{-1}{2}=\dfrac12\), donc \(\varphi=\dfrac{\pi}{6}\) (1,5 pt). Résultat : \(u(t)=2\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)\) (0,5 pt).
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.
1. Caractériser la transformation \(z\mapsto z+(1-2i)\). (1 pt)
2. Caractériser la transformation \(z\mapsto 2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\,z\) (préciser rotation et homothétie). (2 pts)
3. Deux tensions de même pulsation se superposent : \(u_1(t)=5\cos(\omega t)\) et \(u_2(t)=12\sin(\omega t)\) (en volts). Déterminer l'amplitude de \(u(t)=u_1(t)+u_2(t)\), puis écrire \(u(t)\) sous la forme \(A\cos(\omega t+\varphi)\) (\(\varphi\) au centième de radian). (3 pts)
1. Translation de vecteur \(\vec w(1\,;-2)\) (affixe \(1-2i\)). (1 pt)
2. \(a=2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\) a pour module \(2\) et argument \(\dfrac{\pi}{3}\) : composée d'une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\) et d'une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\). (2 pts)
3. \(u(t)=5\cos(\omega t)+12\sin(\omega t)\), \(a=5\), \(b=12\). \(A=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\ \text{V}\) (1,5 pt). \(\cos\varphi=\dfrac{5}{13}\approx0{,}385\), \(\sin\varphi=-\dfrac{12}{13}\approx-0{,}923\) (4ᵉ quadrant), donc \(\varphi\approx-1{,}18\ \text{rad}\). D'où \(u(t)=13\cos(\omega t-1{,}18)\) (1,5 pt).