Chapitre 13 – Équations différentielles

Chapitre 13 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Deux élèves calculent les valeurs approchées d’Euler pour y prime égale y, avec y de zéro égale un et un pas de zéro virgule cinq : un, un virgule cinq puis deux virgule vingt-cinq. — Construire pas à pas une solution approchée par Euler : yₙ₊₁ = 1,5 yₙ pour un pas de 0,5.

Objectifs du chapitre

Connaître la notion d'équation différentielle et la notion de solution.
Vérifier qu'une fonction donnée est solution d'une équation différentielle.
Déterminer l'ensemble des solutions d'une équation du type \(y' = ay\) puis \(y' = ay + b\).
Déterminer la solution vérifiant une condition initiale \(y(x_0)\) donnée.
Construire, par la méthode d'Euler, une approximation numérique de la courbe solution.
Relier ces équations à des situations de physique-chimie : circuit \(RC\), décroissance radioactive, refroidissement.

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue n'est plus un nombre, mais une fonction : elle relie cette fonction à ses dérivées. C'est l'outil qui traduit une loi d'évolution — « la vitesse de variation d'une grandeur dépend de la grandeur elle-même ». On la retrouve dès qu'un phénomène évolue proportionnellement à son état : charge d'un condensateur, désintégration d'un noyau radioactif, refroidissement d'un corps. Résoudre l'équation, c'est retrouver la loi horaire de la grandeur. Prérequis : dérivation, fonction exponentielle \(x \mapsto e^{x}\) et \(x \mapsto e^{kx}\), primitives.

I. Notion d'équation différentielle et de solution

1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Définition — Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction \(y\) (de la variable \(x\) ou \(t\)) et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ses dérivées \(y'\), \(y''\), …

Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle, c'est déterminer toutes les fonctions \(y\) qui la vérifient.

Exemples d'équations différentielles

Les équations suivantes ont toutes une fonction pour inconnue :

\[y' = 3y \qquad y' = 2y - 6 \qquad 2y - x\,y' = 0 \qquad y' + y^2 = 0 \qquad y'' + \omega^2 y = 0.\]

Dans ce chapitre, on étudie uniquement les deux premiers types, dits linéaires du premier ordre à coefficients constants : \(y' = ay\) et \(y' = ay + b\). Les autres sont donnés seulement pour illustrer la diversité des équations différentielles.

Deux notations pour la dérivée

La dérivée de la fonction inconnue se note de deux façons équivalentes :

\[y' \qquad \text{ou} \qquad \dfrac{dy}{dx} \quad (\text{ou } \dfrac{dy}{dt}\ \text{si la variable est le temps}).\]

La notation \(y'\) privilégie l'aspect fonctionnel. La notation \(\dfrac{dy}{dx}\), très utilisée en physique-chimie, met en évidence le nom de la variable et exprime un rapport de variations infinitésimales entre deux grandeurs.

2. Solution d'une équation différentielle

Définition — Solution

Une fonction \(f\), dérivable sur un intervalle \(I\), est une solution de l'équation différentielle sur \(I\) lorsqu'en remplaçant \(y\) par \(f\) (et \(y'\) par \(f'\)) l'égalité est vérifiée pour tout \(x\) de \(I\).

Méthode — Vérifier qu'une fonction est solution

Calculer la dérivée \(f'\) de la fonction proposée.
Remplacer \(y\) par \(f\) et \(y'\) par \(f'\) dans l'équation.
Vérifier que les deux membres sont égaux pour tout \(x\).

Exemple — vérification

Montrons que \(f(x) = 5\,e^{3x}\) est solution de \(y' = 3y\) sur \(\mathbb{R}\).

On dérive : \(f'(x) = 5 \times 3\,e^{3x} = 15\,e^{3x}\). Or \(3\,f(x) = 3 \times 5\,e^{3x} = 15\,e^{3x}\).

On a bien \(f'(x) = 3\,f(x)\) pour tout \(x\) : \(f\) est solution. ✓

Exercice d'application 1. Vérifier que \(f(x) = 4\,e^{-2x}\) est solution de \(y' = -2y\) sur \(\mathbb{R}\).

\(f'(x) = 4 \times (-2)\,e^{-2x} = -8\,e^{-2x}\). Et \(-2\,f(x) = -2 \times 4\,e^{-2x} = -8\,e^{-2x}\).

Donc \(f'(x) = -2\,f(x)\) : \(f\) est bien solution. ✓

Exercice d'application 2. Vérifier que \(g(x) = 2\,e^{5x} + 3\) est solution de \(y' = 5y - 15\) sur \(\mathbb{R}\).

\(g'(x) = 2 \times 5\,e^{5x} = 10\,e^{5x}\). Calculons le second membre : \(5\,g(x) - 15 = 5(2\,e^{5x} + 3) - 15 = 10\,e^{5x} + 15 - 15 = 10\,e^{5x}\).

Les deux membres sont égaux : \(g\) est solution. ✓

II. Résolution de \(y' = ay\)

3. Ensemble des solutions

Théorème — Solutions de \(y' = ay\)

Soit \(a\) un réel. Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle

\[y' = ay\]

sont exactement les fonctions

\[\boxed{\ y(x) = C\,e^{ax}, \qquad C \in \mathbb{R} \text{ constante quelconque}.\ }\]

Il y a donc une infinité de solutions, une pour chaque valeur de \(C\).

Justification

Si \(y(x) = C\,e^{ax}\), alors \(y'(x) = C \times a\,e^{ax} = a\,(C\,e^{ax}) = a\,y(x)\) : chaque fonction \(C\,e^{ax}\) est bien solution.

Réciproquement, on admet qu'il n'y en a pas d'autres. On admet aussi que, pour l'équation homogène \(y' = ay\), la somme de deux solutions et le produit d'une solution par une constante sont encore des solutions.

Famille des solutions \(y = C\,e^{ax}\) (ici \(a \gt 0\)) : une courbe par valeur de \(C\). La constante \(C\) fixe la « hauteur » de la courbe ; \(C = 0\) donne la solution nulle.

Exercice d'application 3. Donner l'ensemble des solutions de \(y' = 4y\), puis de \(y' = -\dfrac{1}{2}y\).

Pour \(y' = 4y\) : \(a = 4\), donc \(y(x) = C\,e^{4x}\), \(C \in \mathbb{R}\).

Pour \(y' = -\dfrac{1}{2}y\) : \(a = -\dfrac{1}{2}\), donc \(y(x) = C\,e^{-x/2}\), \(C \in \mathbb{R}\).

4. Solution vérifiant une condition initiale

Théorème (unicité, admis)

Parmi toutes les solutions \(y = C\,e^{ax}\), il en existe une seule qui prend une valeur imposée \(y_0\) en un point \(x_0\) donné. La condition \(y(x_0) = y_0\) détermine entièrement la constante \(C\).

Méthode — Utiliser une condition initiale

Écrire la solution générale \(y(x) = C\,e^{ax}\).
Remplacer \(x\) par \(x_0\) et écrire \(y(x_0) = y_0\).
Résoudre l'équation obtenue pour trouver \(C\).
Réécrire la solution avec la valeur de \(C\) trouvée.

Exemple — condition initiale

Résolvons \(y' = 3y\) avec \(y(0) = 5\). La solution générale est \(y(x) = C\,e^{3x}\).

Condition : \(y(0) = C\,e^{0} = C = 5\). Donc \(C = 5\), et l'unique solution est \(y(x) = 5\,e^{3x}\).

Exercice d'application 4. Déterminer la solution de \(y' = -2y\) telle que \(y(0) = 7\).

Solution générale : \(y(x) = C\,e^{-2x}\). Condition : \(y(0) = C = 7\). Donc \(y(x) = 7\,e^{-2x}\).

III. Résolution de \(y' = ay + b\)

5. Solution particulière constante

Solution constante (équilibre)

Pour \(a \ne 0\), l'équation \(y' = ay + b\) admet une solution constante. En effet, si \(y = k\) (constante), alors \(y' = 0\), d'où \(0 = ak + b\), soit

\[k = -\dfrac{b}{a}.\]

Cette valeur \(-\dfrac{b}{a}\) est la valeur d'équilibre (ou régime permanent) : la grandeur ne varie plus.

6. Ensemble des solutions

Théorème — Solutions de \(y' = ay + b\)

Soit \(a \ne 0\) et \(b\) deux réels. Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de

\[y' = ay + b\]

sont exactement les fonctions

\[\boxed{\ y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}, \qquad C \in \mathbb{R}.\ }\]

On reconnaît la somme de la solution générale \(C\,e^{ax}\) de l'équation homogène \(y' = ay\) et de la solution constante \(-\dfrac{b}{a}\).

Justification

Posons \(y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\). Alors \(y'(x) = a\,C\,e^{ax}\). Calculons le second membre :

\[ay + b = a\Big(C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\Big) + b = a\,C\,e^{ax} - b + b = a\,C\,e^{ax} = y'. \ \checkmark\]

La fonction vérifie bien l'équation, quelle que soit la constante \(C\).

Pour \(a \lt 0\), la solution part de sa valeur initiale \(y_0\) et tend vers l'asymptote horizontale \(y = -\dfrac{b}{a}\) (valeur d'équilibre) : c'est le comportement d'une charge de condensateur ou d'un refroidissement.

7. Avec une condition initiale

Méthode — Résoudre \(y' = ay + b\), \(y(x_0) = y_0\)

Calculer la valeur d'équilibre \(-\dfrac{b}{a}\) et écrire la solution générale \(y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
Écrire la condition \(y(x_0) = y_0\).
Résoudre pour trouver \(C\).
Écrire la solution complète.

Exemple entièrement résolu

Résolvons \(y' = -2y + 6\) avec \(y(0) = 1\).

Équilibre : \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{-2} = 3\). Solution générale : \(y(x) = C\,e^{-2x} + 3\).

Condition : \(y(0) = C\,e^{0} + 3 = C + 3 = 1\), donc \(C = -2\).

Solution : \(y(x) = -2\,e^{-2x} + 3\). On vérifie : \(y(0) = -2 + 3 = 1\) ✓, et quand \(x \to +\infty\), \(y \to 3\) (valeur d'équilibre).

Exercice d'application 5. Résoudre \(y' = 3y - 12\) avec \(y(0) = 6\).

Équilibre : \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-12}{3} = 4\). Solution générale : \(y(x) = C\,e^{3x} + 4\).

Condition : \(y(0) = C + 4 = 6\), donc \(C = 2\). Solution : \(y(x) = 2\,e^{3x} + 4\).

IV. Méthode d'Euler (approche numérique)

Pourquoi une méthode approchée ?

On sait résoudre exactement \(y' = ay + b\). Mais la méthode d'Euler permet de construire point par point une courbe solution sans en connaître l'expression, et de voir apparaître l'exponentielle. Le programme l'illustre sur \(y' = y\), \(y(0) = 1\), dont la solution exacte est \(y(x) = e^{x}\).

Principe — approcher la courbe par sa tangente

On part du point connu \((t_0\,; y_0)\). Sur un petit intervalle de largeur \(h\) (le pas), on remplace la courbe par sa tangente. La pente en \(t_n\) vaut \(y'(t_n)\), qui se lit directement sur l'équation. L'approximation affine donne le schéma d'Euler :

\[\boxed{\ t_{n+1} = t_n + h \qquad y_{n+1} = y_n + h\,y'(t_n).\ }\]

Pour \(y' = ay + b\), la pente au point courant vaut \(y'(t_n) = a\,y_n + b\), d'où \(y_{n+1} = y_n + h\,(a\,y_n + b)\).

À chaque pas, on avance d'un petit segment de pente \(y'(t_n)\). La ligne brisée (indigo) approche la courbe solution exacte (pointillés). Plus le pas \(h\) est petit, meilleure est l'approximation.

Exemple résolu — \(y' = y\), \(y(0) = 1\), pas \(h = 0{,}5\)

Ici \(y'(t_n) = y_n\), donc \(y_{n+1} = y_n + 0{,}5\,y_n = 1{,}5\,y_n\).

\(n\)	\(t_n\)	\(y_n\)	\(y_{n+1} = y_n + 0{,}5\,y_n\)
0	0	1	\(1 + 0{,}5 \times 1 = 1{,}5\)
1	0,5	1,5	\(1{,}5 + 0{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\)
2	1	2,25	\(2{,}25 + 0{,}5 \times 2{,}25 = 3{,}375\)
3	1,5	3,375	—

La solution exacte est \(y(1{,}5) = e^{1{,}5} \approx 4{,}48\), alors qu'Euler donne \(3{,}375\) : l'écart vient du pas. Avec \(h\) plus petit, la ligne brisée se rapproche de \(e^{x}\).

Simulation — influence du pas \(h\)

Sur le problème \(y' = y\), \(y(0) = 1\), la solution exacte est \(y(t) = e^{t}\). Diminue le pas \(h\) et regarde la ligne brisée d'Euler se rapprocher de la courbe exacte.

Pas \(h\) :

Programme Python

La méthode d'Euler s'automatise en quelques lignes. Le programme ci-dessous renvoie la liste des points \((t_n\,; y_n)\) pour \(y' = a\,y + b\), \(y(t_0) = y_0\).

def euler(a, b, t0, y0, h, n):
    """Approximation d'Euler de y' = a*y + b, y(t0) = y0.
    h : pas   n : nombre d'etapes.  Renvoie la liste des (t, y)."""
    t, y = t0, y0
    points = [(t, y)]
    for k in range(n):
        yp = a * y + b        # pente y'(t_n) = a*y_n + b
        y = y + h * yp        # y_{n+1} = y_n + h * y'(t_n)
        t = t + h             # t_{n+1} = t_n + h
        points.append((t, y))
    return points

# Exemple : y' = y  (a = 1, b = 0), y(0) = 1, pas 0.5, 3 etapes
for t, y in euler(1, 0, 0, 1, 0.5, 3):
    print(t, y)
# 0 1  |  0.5 1.5  |  1.0 2.25  |  1.5 3.375
# solution exacte y = e**t  ->  y(1.5) = 4.48 (l'ecart vient du pas)

Exercice d'application 6. On applique Euler à \(y' = -y + 4\), \(y(0) = 0\), pas \(h = 1\). Calculer \(y_1\) et \(y_2\).

Ici la pente vaut \(y'(t_n) = -y_n + 4\).

\(y_1 = y_0 + h(-y_0 + 4) = 0 + 1 \times (0 + 4) = 4\).

\(y_2 = y_1 + h(-y_1 + 4) = 4 + 1 \times (-4 + 4) = 4\).

La suite se stabilise en \(4\) : c'est justement la valeur d'équilibre \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{-1} = 4\). ✓

V. Lien avec la physique-chimie

Décroissance radioactive

Le nombre \(N(t)\) de noyaux radioactifs restants vérifie \(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda\,N\), où \(\lambda \gt 0\) est la constante radioactive. C'est une équation \(y' = ay\) avec \(a = -\lambda\). La solution est

\[N(t) = N_0\,e^{-\lambda t},\]

où \(N_0 = N(0)\) est le nombre initial de noyaux : la population décroît exponentiellement.

Circuit \(RC\) — charge d'un condensateur

Lors de la charge d'un condensateur sous une tension \(E\), la tension \(u(t)\) aux bornes du condensateur vérifie

\[\dfrac{du}{dt} = -\dfrac{1}{RC}\,u + \dfrac{E}{RC},\]

de la forme \(y' = ay + b\) avec \(a = -\dfrac{1}{RC} \lt 0\). L'équilibre vaut \(-\dfrac{b}{a} = E\) : la tension tend vers \(E\). Avec \(u(0) = 0\), la solution est \(u(t) = E\big(1 - e^{-t/(RC)}\big)\).

Refroidissement (loi de Newton)

La température \(\theta(t)\) d'un corps placé dans un milieu à température \(\theta_{\text{ext}}\) vérifie \(\dfrac{d\theta}{dt} = -k\,(\theta - \theta_{\text{ext}})\), soit \(\theta' = -k\,\theta + k\,\theta_{\text{ext}}\) : une équation \(y' = ay + b\) dont l'équilibre est \(\theta_{\text{ext}}\). Le corps tend vers la température ambiante.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Écrire les solutions de \(y' = ay\) sous la forme \(C\,e^{x}\) (en oubliant le \(a\)).

✅ La solution est \(y = C\,e^{ax}\) : le coefficient \(a\) est dans l'exposant.

❌ Oublier la constante \(C\) et ne donner qu'une seule solution.

✅ Il y a une infinité de solutions ; la condition initiale fixe \(C\).

❌ Pour \(y' = ay + b\), oublier le terme constant \(-\dfrac{b}{a}\).

✅ Solution : \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\) (homogène + équilibre).

❌ Se tromper de signe dans \(-\dfrac{b}{a}\) (par exemple pour \(y' = -2y + 6\)).

✅ \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{-2} = 3\) : penser à reporter les deux signes.

❌ Dans Euler, évaluer la pente en \(t_{n+1}\) au lieu de \(t_n\).

✅ \(y_{n+1} = y_n + h\,y'(t_n)\) : la pente est prise au point de départ du pas.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Équation différentielle : équation dont l'inconnue est une fonction \(y\) et qui fait intervenir \(y\) et ses dérivées. Une solution est une fonction qui la vérifie pour tout \(x\).
Vérifier une solution : calculer \(y'\), reporter dans l'équation, vérifier l'égalité.
\(y' = ay\) : solutions \(y = C\,e^{ax}\), \(C \in \mathbb{R}\).
\(y' = ay + b\) (\(a \ne 0\)) : solutions \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
Condition initiale : \(y(x_0) = y_0\) fixe la valeur unique de \(C\).
Méthode d'Euler : \(y_{n+1} = y_n + h\,y'(t_n)\), \(t_{n+1} = t_n + h\).
Physique : décroissance radioactive (\(y' = -\lambda y\)), circuit \(RC\) et refroidissement (\(y' = ay + b\)).