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Exercices – Équations différentielles

Chapitre 13 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Huit exercices de difficulté croissante, tous corrigés. On commence par vérifier des solutions, puis on résout \(y' = ay\) et \(y' = ay + b\) avec conditions initiales, on applique la méthode d'Euler, et on termine par un « Problème type » de physique (charge d'un condensateur, refroidissement).

Exercice 1 — Vérifier qu'une fonction est solution

Dans chaque cas, vérifier que la fonction proposée est solution de l'équation différentielle sur \(\mathbb{R}\).

  1. \(f(x) = 3\,e^{2x}\) pour \(y' = 2y\).
  2. \(g(x) = -4\,e^{-x}\) pour \(y' = -y\).
  3. \(h(x) = 2\,e^{4x} + 5\) pour \(y' = 4y - 20\).

a. \(f'(x) = 3 \times 2\,e^{2x} = 6\,e^{2x}\) et \(2\,f(x) = 6\,e^{2x}\). Égalité vérifiée : \(f\) est solution. ✓

b. \(g'(x) = -4 \times (-1)\,e^{-x} = 4\,e^{-x}\) et \(-g(x) = 4\,e^{-x}\). Égalité vérifiée. ✓

c. \(h'(x) = 2 \times 4\,e^{4x} = 8\,e^{4x}\). Second membre : \(4\,h(x) - 20 = 4(2\,e^{4x} + 5) - 20 = 8\,e^{4x} + 20 - 20 = 8\,e^{4x}\). Égalité vérifiée. ✓

Exercice 2 — Ensemble des solutions de \(y' = ay\)

Donner l'ensemble des solutions de chacune des équations suivantes.

  1. \(y' = 5y\)
  2. \(y' = -3y\)
  3. \(2y' = y\)  (mettre d'abord sous la forme \(y' = ay\))

a. \(a = 5\) : \(y(x) = C\,e^{5x}\), \(C \in \mathbb{R}\).

b. \(a = -3\) : \(y(x) = C\,e^{-3x}\), \(C \in \mathbb{R}\).

c. \(2y' = y \iff y' = \dfrac{1}{2}y\), donc \(a = \dfrac{1}{2}\) : \(y(x) = C\,e^{x/2}\), \(C \in \mathbb{R}\).

Exercice 3 — Condition initiale (\(y' = ay\))

Déterminer, dans chaque cas, l'unique solution vérifiant la condition donnée.

  1. \(y' = 2y\), \(y(0) = 3\).
  2. \(y' = -4y\), \(y(0) = 10\).
  3. \(y' = 3y\), \(y(0) = -2\).

a. \(y(x) = C\,e^{2x}\) ; \(y(0) = C = 3\). Solution : \(y(x) = 3\,e^{2x}\).

b. \(y(x) = C\,e^{-4x}\) ; \(y(0) = C = 10\). Solution : \(y(x) = 10\,e^{-4x}\).

c. \(y(x) = C\,e^{3x}\) ; \(y(0) = C = -2\). Solution : \(y(x) = -2\,e^{3x}\).

Exercice 4 — Ensemble des solutions de \(y' = ay + b\)

Pour chaque équation, donner la valeur d'équilibre \(-\dfrac{b}{a}\) puis l'ensemble des solutions.

  1. \(y' = 2y - 8\)
  2. \(y' = -y + 5\)
  3. \(y' = -3y - 9\)

a. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-8}{2} = 4\). Solutions : \(y(x) = C\,e^{2x} + 4\).

b. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{-1} = 5\). Solutions : \(y(x) = C\,e^{-x} + 5\).

c. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-9}{-3} = -3\). Solutions : \(y(x) = C\,e^{-3x} - 3\).

Exercice 5 — Condition initiale (\(y' = ay + b\))

Résoudre chaque problème (solution générale, puis détermination de \(C\)).

  1. \(y' = -2y + 6\), \(y(0) = 5\).
  2. \(y' = 4y - 8\), \(y(0) = 0\).

a. Équilibre \(-\dfrac{6}{-2} = 3\), donc \(y(x) = C\,e^{-2x} + 3\). Condition : \(y(0) = C + 3 = 5\), d'où \(C = 2\). Solution : \(y(x) = 2\,e^{-2x} + 3\).

b. Équilibre \(-\dfrac{-8}{4} = 2\), donc \(y(x) = C\,e^{4x} + 2\). Condition : \(y(0) = C + 2 = 0\), d'où \(C = -2\). Solution : \(y(x) = -2\,e^{4x} + 2\).

Exercice 6 — Méthode d'Euler

On considère \(y' = 2y\), \(y(0) = 1\), et on applique la méthode d'Euler avec le pas \(h = 0{,}5\).

  1. Rappeler le schéma d'Euler \(y_{n+1} = y_n + h\,y'(t_n)\) dans ce cas (exprimer \(y'(t_n)\) en fonction de \(y_n\)).
  2. Compléter le tableau des valeurs \(y_0, y_1, y_2, y_3\) (approximations de \(y(0), y(0{,}5), y(1), y(1{,}5)\)).
  3. Comparer \(y_3\) à la valeur exacte \(y(1{,}5) = e^{3} \approx 20{,}1\).

1. Ici \(y'(t_n) = 2\,y_n\), donc \(y_{n+1} = y_n + 0{,}5 \times 2\,y_n = y_n + y_n = 2\,y_n\).

2. \(y_0 = 1\) ; \(y_1 = 2 \times 1 = 2\) ; \(y_2 = 2 \times 2 = 4\) ; \(y_3 = 2 \times 4 = 8\).

3. Euler donne \(y_3 = 8\), la valeur exacte est \(e^{3} \approx 20{,}1\). L'écart est important car le pas \(h = 0{,}5\) est grand : avec un pas plus petit, l'approximation se rapprocherait de \(20{,}1\).

Exercice 7 — Décroissance radioactive

Le nombre \(N(t)\) de noyaux d'un échantillon radioactif vérifie \(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda\,N\), avec \(\lambda = 0{,}05\ \text{s}^{-1}\). À l'instant \(t = 0\), l'échantillon contient \(N_0 = 8{,}0 \times 10^{6}\) noyaux.

  1. Sous quelle forme \(y' = ay\) se met l'équation ? Préciser \(a\).
  2. Donner l'expression de \(N(t)\) vérifiant \(N(0) = N_0\).
  3. Calculer le nombre de noyaux restants à \(t = 20\ \text{s}\). (On donne \(e^{-1} \approx 0{,}368\).)

1. \(\dfrac{dN}{dt} = -0{,}05\,N\) est de la forme \(y' = ay\) avec \(a = -\lambda = -0{,}05\).

2. Les solutions sont \(N(t) = C\,e^{-0{,}05\,t}\). La condition \(N(0) = C = N_0\) donne \(N(t) = N_0\,e^{-0{,}05\,t} = 8{,}0 \times 10^{6}\,e^{-0{,}05\,t}\).

3. À \(t = 20\) : \(-0{,}05 \times 20 = -1\), donc \(N(20) = 8{,}0 \times 10^{6} \times e^{-1} \approx 8{,}0 \times 10^{6} \times 0{,}368 \approx 2{,}9 \times 10^{6}\) noyaux.

Problème type — Charge d'un condensateur (circuit \(RC\))

On charge un condensateur de capacité \(C = 100\ \mu\text{F}\) à travers une résistance \(R = 2{,}0\ \text{k}\Omega\), sous une tension continue \(E = 12\ \text{V}\). La tension \(u(t)\) aux bornes du condensateur vérifie

\[\dfrac{du}{dt} = -\dfrac{1}{RC}\,u + \dfrac{E}{RC}, \qquad u(0) = 0.\]
  1. Calculer \(RC\) (en secondes), puis \(a = -\dfrac{1}{RC}\) et \(b = \dfrac{E}{RC}\).
  2. Donner la valeur d'équilibre \(-\dfrac{b}{a}\). Interpréter physiquement.
  3. Écrire la solution générale, puis déterminer \(C_1\) (constante) avec \(u(0) = 0\). Montrer que \(u(t) = 12\big(1 - e^{-5t}\big)\).
  4. Calculer \(u(0{,}2)\) et \(u(0{,}6)\). (On donne \(e^{-1} \approx 0{,}368\) et \(e^{-3} \approx 0{,}050\).)
  5. Vers quelle valeur tend \(u(t)\) quand \(t \to +\infty\) ?

1. \(RC = 2{,}0 \times 10^{3} \times 100 \times 10^{-6} = 0{,}20\ \text{s}\). Alors \(a = -\dfrac{1}{0{,}20} = -5\) et \(b = \dfrac{12}{0{,}20} = 60\).

2. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{60}{-5} = 12\ \text{V}\). C'est la tension finale : en régime permanent, le condensateur est chargé à la tension \(E = 12\ \text{V}\).

3. Solution générale : \(u(t) = C_1\,e^{-5t} + 12\). Condition \(u(0) = C_1 + 12 = 0\) donne \(C_1 = -12\). Donc \(u(t) = -12\,e^{-5t} + 12 = 12\big(1 - e^{-5t}\big)\). ✓

4. \(u(0{,}2) = 12(1 - e^{-1}) \approx 12(1 - 0{,}368) = 12 \times 0{,}632 \approx 7{,}6\ \text{V}\).

\(u(0{,}6) = 12(1 - e^{-3}) \approx 12(1 - 0{,}050) = 12 \times 0{,}950 \approx 11{,}4\ \text{V}\).

5. Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-5t} \to 0\), donc \(u(t) \to 12\ \text{V}\) : la tension d'équilibre.

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