Fiche – Équations différentielles

Chapitre 13 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction \(y\) et relie \(y\) à sa dérivée \(y'\) (notée aussi \(\dfrac{dy}{dx}\)).
Une solution est une fonction qui vérifie l'égalité pour tout \(x\) : on la teste en dérivant.
\(y' = ay\) \(\Rightarrow\) \(y = C\,e^{ax}\). \(y' = ay + b\) \(\Rightarrow\) \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
Une condition initiale \(y(x_0) = y_0\) fixe la constante \(C\) : la solution devient unique.

Définitions clés

Équation différentielle

Équation dont l'inconnue est une fonction \(y\), faisant intervenir \(y\) et ses dérivées. La résoudre, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient.

Solution

Fonction \(f\) dérivable telle qu'en remplaçant \(y\) par \(f\) et \(y'\) par \(f'\), l'égalité est vraie pour tout \(x\) de l'intervalle.

Valeur d'équilibre

Pour \(y' = ay + b\) (\(a \ne 0\)), la solution constante vaut \(-\dfrac{b}{a}\) : la grandeur ne varie plus (régime permanent).

À connaître par cœur

Solutions de \(y' = ay\) \[y(x) = C\,e^{ax}, \qquad C \in \mathbb{R}\]

Solutions de \(y' = ay + b\) (\(a \ne 0\)) \[y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}, \qquad C \in \mathbb{R}\]

Condition initiale \[y(x_0) = y_0 \ \Longrightarrow\ \text{une seule valeur de } C.\]

Méthode d'Euler \[t_{n+1} = t_n + h \qquad y_{n+1} = y_n + h\,y'(t_n)\]

Pour \(y' = ay + b\) : \(y_{n+1} = y_n + h\,(a\,y_n + b)\).

Méthodes

Méthode — Vérifier qu'une fonction est solution

Calculer \(f'\).
Remplacer \(y\) par \(f\) et \(y'\) par \(f'\) dans l'équation.
Vérifier que les deux membres sont égaux pour tout \(x\).

Méthode — Résoudre avec condition initiale

Écrire la solution générale (\(C\,e^{ax}\) ou \(C\,e^{ax} - \tfrac{b}{a}\)).
Remplacer \(x\) par \(x_0\) et poser \(y(x_0) = y_0\).
Résoudre pour trouver \(C\), puis réécrire la solution.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Solution de \(y' = ay\) écrite \(C\,e^{x}\) (le \(a\) oublié).

✅ \(y = C\,e^{ax}\) : le coefficient \(a\) est dans l'exposant.

❌ Oublier la constante \(C\).

✅ Une infinité de solutions ; \(C\) est fixé par la condition initiale.

❌ Pour \(y' = ay + b\), oublier le terme \(-\dfrac{b}{a}\).

✅ \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\), et attention aux signes.

❌ Dans Euler, évaluer la pente en \(t_{n+1}\).

✅ \(y_{n+1} = y_n + h\,y'(t_n)\) : pente au point de départ.

Exemple rapide

Exemple — résolution express

\(y' = -3y + 12\), \(y(0) = 2\).

Équilibre : \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{12}{-3} = 4\).
Solution générale : \(y(x) = C\,e^{-3x} + 4\).
Condition : \(y(0) = C + 4 = 2\), donc \(C = -2\).
Solution : \(y(x) = -2\,e^{-3x} + 4\), qui tend vers \(4\) quand \(x \to +\infty\).

Lien avec la physique-chimie

Modèles usuels

Décroissance radioactive : \(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N \Rightarrow N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\).
Circuit \(RC\) (charge) : \(\dfrac{du}{dt} = -\dfrac{1}{RC}u + \dfrac{E}{RC} \Rightarrow u\) tend vers \(E\).
Refroidissement : \(\dfrac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_{\text{ext}}) \Rightarrow \theta\) tend vers \(\theta_{\text{ext}}\).