Devoir Surveillé – Chapitre 13

Équations différentielles | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : solutions de \(y' = ay\) : \(y = C\,e^{ax}\) ; solutions de \(y' = ay + b\) (\(a \ne 0\)) : \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\) ; une condition initiale \(y(x_0) = y_0\) fixe \(C\) ; méthode d'Euler : \(y_{n+1} = y_n + h\,y'(t_n)\), \(t_{n+1} = t_n + h\).

Exercice 1 — Vérifier une solution et résoudre \(y' = ay\) (6 points)

1. Vérifier que \(f(x) = -3\,e^{4x}\) est solution de l'équation différentielle \(y' = 4y\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)

2. Donner l'ensemble des solutions de \(y' = 4y\). (1,5 pt)

3. Déterminer l'unique solution vérifiant \(y(0) = 5\). (1,5 pt)

4. Cette solution est-elle croissante ou décroissante sur \(\mathbb{R}\) ? Justifier. (1 pt)

1. \(f'(x) = -3 \times 4\,e^{4x} = -12\,e^{4x}\) et \(4\,f(x) = 4 \times (-3\,e^{4x}) = -12\,e^{4x}\). Les deux membres sont égaux : \(f\) est solution. ✓ (2 pts)

2. \(a = 4\), donc \(y(x) = C\,e^{4x}\), \(C \in \mathbb{R}\). (1,5 pt)

3. \(y(0) = C\,e^{0} = C = 5\), donc \(y(x) = 5\,e^{4x}\). (1,5 pt)

4. \(y'(x) = 20\,e^{4x} \gt 0\) pour tout \(x\) : la fonction est croissante sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

Exercice 2 — Équation \(y' = ay + b\) avec condition initiale (7 points)

On considère l'équation différentielle \(y' = -2y + 10\) et la condition \(y(0) = 1\).

1. Déterminer la valeur d'équilibre \(-\dfrac{b}{a}\). (1,5 pt)

2. Écrire l'ensemble des solutions de l'équation. (1,5 pt)

3. Déterminer la constante \(C\) à l'aide de la condition initiale, puis écrire la solution. (2 pts)

4. Vérifier que la solution trouvée satisfait bien \(y(0) = 1\). (1 pt)

5. Vers quelle valeur tend \(y(x)\) quand \(x \to +\infty\) ? (1 pt)

1. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{10}{-2} = 5\). (1,5 pt)

2. \(y(x) = C\,e^{-2x} + 5\), \(C \in \mathbb{R}\). (1,5 pt)

3. \(y(0) = C + 5 = 1\), donc \(C = -4\). Solution : \(y(x) = -4\,e^{-2x} + 5\). (2 pts)

4. \(y(0) = -4\,e^{0} + 5 = -4 + 5 = 1\). ✓ (1 pt)

5. Quand \(x \to +\infty\), \(e^{-2x} \to 0\), donc \(y(x) \to 5\) (valeur d'équilibre). (1 pt)

Exercice 3 — Méthode d'Euler et circuit \(RC\) (7 points)

Partie A — Méthode d'Euler (3,5 pts). On approche la solution de \(y' = y\), \(y(0) = 1\), avec le pas \(h = 0{,}25\).

1. Exprimer \(y_{n+1}\) en fonction de \(y_n\) dans ce cas. (1,5 pt)

2. Calculer \(y_1\), \(y_2\) et \(y_3\) (approximations de \(y(0{,}25)\), \(y(0{,}5)\), \(y(0{,}75)\)). (1,5 pt)

3. La valeur exacte est \(y(0{,}75) = e^{0{,}75} \approx 2{,}12\). L'approximation d'Euler est-elle plus grande ou plus petite ? (0,5 pt)

Partie B — Décharge d'un condensateur (3,5 pts). Un condensateur initialement chargé se décharge dans une résistance ; la tension \(u(t)\) (en V) vérifie \(\dfrac{du}{dt} = -4\,u\), avec \(u(0) = 12\).

4. Donner l'ensemble des solutions de \(\dfrac{du}{dt} = -4\,u\). (1 pt)

5. Déterminer \(u(t)\) avec la condition initiale. (1,5 pt)

6. Calculer \(u(0{,}25)\). (On donne \(e^{-1} \approx 0{,}368\).) (1 pt)

1. Ici \(y'(t_n) = y_n\), donc \(y_{n+1} = y_n + 0{,}25\,y_n = 1{,}25\,y_n\). (1,5 pt)

2. \(y_1 = 1{,}25 \times 1 = 1{,}25\) ; \(y_2 = 1{,}25 \times 1{,}25 = 1{,}5625\) ; \(y_3 = 1{,}25 \times 1{,}5625 \approx 1{,}953\). (1,5 pt)

3. Euler donne \(\approx 1{,}95\), la valeur exacte est \(\approx 2{,}12\) : l'approximation d'Euler est plus petite que la valeur exacte. (0,5 pt)

4. \(a = -4\), donc \(u(t) = C\,e^{-4t}\), \(C \in \mathbb{R}\). (1 pt)

5. \(u(0) = C = 12\), donc \(u(t) = 12\,e^{-4t}\). (1,5 pt)

6. \(u(0{,}25) = 12\,e^{-4 \times 0{,}25} = 12\,e^{-1} \approx 12 \times 0{,}368 \approx 4{,}4\ \text{V}\). (1 pt)