Chapitre 12 – Fonction logarithme népérien

Chapitre 12 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Deux élèves observent une courbe logarithmique et une échelle portant les valeurs un, dix, cent et mille à intervalles réguliers. — Sur une échelle logarithmique, des rapports constants correspondent à des écarts constants.

Objectifs du chapitre

Définir le logarithme népérien \(\ln\) comme fonction réciproque de l'exponentielle et connaître l'équivalence \(e^{x}=a \iff x=\ln a\).
Connaître le sens de variation, la courbe (symétrique de celle de \(\exp\) par rapport à \(y=x\)) et les limites en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Utiliser les propriétés algébriques : \(\ln(ab)\), \(\ln\!\left(\tfrac ab\right)\), \(\ln(a^n)\), \(\ln(\sqrt a)\), et le lien avec le logarithme décimal \(\log\).
Résoudre des équations et inéquations du type \(e^{ax}=b\), \(e^{ax}\gt b\), \(\ln x=b\), \(\ln x\gt b\).
Étudier des fonctions somme, produit ou quotient de polynômes et de la fonction \(\ln\).

Le logarithme népérien est l'outil qui « inverse » l'exponentielle : là où \(\exp\) transforme une somme en produit, \(\ln\) transforme un produit en somme. Cette propriété en fait la fonction reine dès qu'un phénomène s'étale sur plusieurs ordres de grandeur : demi-vie d'un noyau radioactif, niveau sonore en décibels, pH d'une solution. Prérequis : fonction exponentielle \(x\mapsto e^{x}\), ses propriétés algébriques et ses limites (chapitre exponentielle) ; dérivation d'une somme, d'un produit, d'un quotient.

I. Définition du logarithme népérien

1. Une fonction réciproque de l'exponentielle

On sait que la fonction exponentielle \(x\mapsto e^{x}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;+\infty[\) : tout réel strictement positif \(a\) est atteint par une unique valeur de \(x\). C'est ce réel que l'on appelle logarithme népérien de \(a\).

Définition — Logarithme népérien

Pour tout réel \(a \gt 0\), le logarithme népérien de \(a\), noté \(\ln a\), est l'unique solution de l'équation d'inconnue \(x\) :

\[e^{x} = a.\]

La fonction \(x\mapsto \ln x\) est ainsi définie sur \(]0\,;+\infty[\). (L'existence et l'unicité de la solution sont admises.)

Équivalence fondamentale

Pour tout réel \(x\) et tout réel \(a \gt 0\) :

\[\boxed{\,e^{x} = a \iff x = \ln a.\,}\]

C'est le point de départ de tout le chapitre : \(\ln\) et \(\exp\) sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre.

Propriété — Relations réciproques

Elles découlent directement de la définition :

\[\boxed{\,\ln(e^{x}) = x \ \text{ pour tout } x\in\mathbb{R} \qquad\qquad e^{\ln x} = x \ \text{ pour tout } x \gt 0.\,}\]

En particulier, pour les valeurs remarquables :

\[\ln 1 = 0 \quad(\text{car } e^{0}=1), \qquad \ln e = 1 \quad(\text{car } e^{1}=e).\]

Exemple — retour à la définition

Résoudre \(e^{x} = 7\). Par définition, \(x = \ln 7 \approx 1{,}946\). Réciproquement, \(\ln(e^{5}) = 5\) et \(e^{\ln 3} = 3\).

Exercice d'application 1. Sans calculatrice, donner la valeur exacte de : a) \(\ln(e^{4})\) ; b) \(e^{\ln 12}\) ; c) \(\ln 1\) ; d) \(\ln e\).

a) \(\ln(e^{4}) = 4\) ; b) \(e^{\ln 12} = 12\) ; c) \(\ln 1 = 0\) ; d) \(\ln e = 1\).

2. Signe et valeurs

Propriété — Signe de \(\ln x\)

\(\ln x = 0 \iff x = 1\) ;
\(\ln x \gt 0 \iff x \gt 1\) ;
\(\ln x \lt 0 \iff 0 \lt x \lt 1\).

Autrement dit, le logarithme est négatif pour les nombres entre \(0\) et \(1\), nul en \(1\), positif au-delà de \(1\).

II. Variations, courbe et limites

3. Dérivée et sens de variation

Théorème — Dérivée de \(\ln\)

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et

\[\boxed{\,(\ln x)' = \dfrac{1}{x}\quad\text{pour tout } x \gt 0.\,}\]

Comme \(\dfrac1x \gt 0\) sur \(]0\,;+\infty[\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).

Justification — d'où vient \(\tfrac1x\)

On part de l'identité \(e^{\ln x} = x\), valable pour \(x \gt 0\). En dérivant les deux membres par rapport à \(x\) (fonction composée \(x\mapsto e^{\ln x}\)) :

\[(\ln x)'\times e^{\ln x} = 1, \quad\text{soit}\quad (\ln x)'\times x = 1,\quad\text{donc}\quad (\ln x)' = \dfrac1x. \qquad\blacksquare\]

Conséquence — la croissance stricte

Puisque \(\ln\) est strictement croissante, pour tous réels \(a \gt 0\) et \(b \gt 0\) :

\[a \lt b \iff \ln a \lt \ln b, \qquad a = b \iff \ln a = \ln b.\]

C'est cette propriété qui permet de « passer au logarithme » dans une équation ou une inéquation sans en changer les solutions.

4. Limites aux bornes

Théorème — Limites de \(\ln\) \[\boxed{\,\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty.\,}\]

La droite d'équation \(x = 0\) (l'axe des ordonnées) est donc asymptote verticale à la courbe de \(\ln\).

Tableau de variations de \(\ln\)

Exercice d'application 2. Ordonner sans calculatrice, en justifiant : \(\ln 2\), \(\ln 5\), \(\ln 1\), \(\ln 0{,}3\).

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc l'ordre des logarithmes est celui des nombres : \(0{,}3 \lt 1 \lt 2 \lt 5\) donne \(\ln 0{,}3 \lt \ln 1 \lt \ln 2 \lt \ln 5\). De plus \(\ln 0{,}3 \lt 0\) (car \(0{,}3 \lt 1\)) et \(\ln 1 = 0\).

5. Courbe représentative — symétrie avec l'exponentielle

Propriété — Symétrie \(\ln\) / \(\exp\)

Comme \(\ln\) et \(\exp\) sont réciproques, leurs courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation \(y = x\) (première bissectrice). La tangente à la courbe de \(\ln\) au point \((1\,;0)\) a pour pente \((\ln)'(1)=\tfrac11=1\).

Les courbes de \(\exp\) (rouge) et de \(\ln\) (indigo) se déduisent l'une de l'autre par symétrie axiale d'axe \(y = x\). L'exponentielle passe par \((0\,;1)\), le logarithme par \((1\,;0)\).

III. Propriétés algébriques

Théorème — Propriétés algébriques du logarithme

Pour tous réels \(a \gt 0\), \(b \gt 0\) et tout entier \(n\) :

Nom	Formule
Produit	\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)
Inverse	\(\ln\!\left(\dfrac1b\right) = -\ln b\)
Quotient	\(\ln\!\left(\dfrac ab\right) = \ln a - \ln b\)
Puissance	\(\ln(a^{n}) = n\ln a\)
Racine	\(\ln(\sqrt a) = \dfrac12\ln a\)

Plus généralement, l'égalité \(\ln(a^{x}) = x\ln a\) est admise pour tout réel \(x\) et \(a \gt 0\).

Démonstration — propriété du produit

Posons \(A = \ln a\) et \(B = \ln b\), de sorte que \(e^{A} = a\) et \(e^{B} = b\). Alors, avec la propriété de l'exponentielle \(e^{A}e^{B} = e^{A+B}\) :

\[ab = e^{A}\times e^{B} = e^{A+B}.\]

Donc, par définition du logarithme, \(\ln(ab) = A + B = \ln a + \ln b\). \(\qquad\blacksquare\) (Les autres formules s'en déduisent : la racine vient de \(\sqrt a = a^{1/2}\), d'où \(\ln(\sqrt a)=\tfrac12\ln a\).)

Attention aux pièges

Le logarithme ne se distribue pas sur une somme :

\[\ln(a+b) \ne \ln a + \ln b, \qquad \ln(a-b) \ne \ln a - \ln b.\]

Seuls les produits, quotients et puissances se « cassent » avec les formules ci-dessus.

Méthode — Simplifier une expression avec \(\ln\)

Repérer produits, quotients, puissances et racines.
Appliquer les formules : produit → somme, quotient → différence, puissance → coefficient.
Regrouper, puis remplacer les logarithmes connus (\(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\)).

Exemple résolu. \(\ln(e^{3}) - \ln\!\left(\tfrac1e\right) = 3 - (-1) = 4\). De même \(\ln 12 = \ln(4\times 3) = \ln 4 + \ln 3 = 2\ln 2 + \ln 3\).

Exercice d'application 3. Exprimer en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\) : a) \(\ln 6\) ; b) \(\ln 8\) ; c) \(\ln\!\left(\tfrac32\right)\) ; d) \(\ln(\sqrt 2)\).

a) \(\ln 6 = \ln(2\times 3) = \ln 2 + \ln 3\) ; b) \(\ln 8 = \ln(2^{3}) = 3\ln 2\) ; c) \(\ln\!\left(\tfrac32\right) = \ln 3 - \ln 2\) ; d) \(\ln(\sqrt 2) = \tfrac12\ln 2\).

Lien avec le logarithme décimal

Définition — Logarithme décimal

Le logarithme décimal, noté \(\log\), est défini pour \(x \gt 0\) par

\[\boxed{\,\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}.\,}\]

Il vérifie \(\log 10 = 1\), \(\log 1 = 0\), \(\log(10^{n}) = n\), et les mêmes propriétés algébriques que \(\ln\) : \(\log(ab) = \log a + \log b\), etc.

Exemple — usage du logarithme décimal

\(\log(1000) = \log(10^{3}) = 3\). Le logarithme décimal est celui du pH en chimie (\(\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_3O^+}]\)) et de l'échelle des décibels : il compte les puissances de \(10\).

IV. Équations et inéquations

6. Équations et inéquations avec l'exponentielle

Méthode — Résoudre \(e^{ax} = b\) et \(e^{ax} \gt b\)

Équation \(e^{ax} = b\) : elle a une solution si et seulement si \(b \gt 0\). On applique alors \(\ln\) :

\[e^{ax} = b \iff ax = \ln b \iff \boxed{\,x = \dfrac{\ln b}{a}\,}\quad (a\ne 0,\ b \gt 0).\]

Inéquation \(e^{ax} \gt b\) (avec \(b \gt 0\)) : \(\ln\) étant croissante, elle conserve le sens ; il reste ensuite à diviser par \(a\) en surveillant son signe :

\[e^{ax} \gt b \iff ax \gt \ln b \iff x \gt \dfrac{\ln b}{a}\ \text{(si } a \gt 0\text{)},\quad x \lt \dfrac{\ln b}{a}\ \text{(si } a \lt 0\text{)}.\]

Exemple — équation exponentielle

Résoudre \(e^{3x} = 5\). On a \(3x = \ln 5\), donc \(x = \dfrac{\ln 5}{3} \approx 0{,}536\).

Exemple — inéquation exponentielle

Résoudre \(e^{-2x} \gt 4\). On applique \(\ln\) : \(-2x \gt \ln 4\), puis on divise par \(-2\) (le sens change) : \(x \lt -\dfrac{\ln 4}{2}\). L'ensemble solution est \(\left]{-}\infty\,;\,-\tfrac{\ln 4}{2}\right[\), soit environ \(]{-}\infty\,;-0{,}693[\).

Exercice d'application 4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{4x} = 2\) ; b) \(e^{5x} \gt 1\) ; c) \(e^{x} = -3\).

a) \(4x = \ln 2\), donc \(x = \dfrac{\ln 2}{4}\). b) \(e^{5x} \gt 1 = e^{0} \iff 5x \gt 0 \iff x \gt 0\) ; solution \(]0\,;+\infty[\). c) Une exponentielle est toujours strictement positive : \(e^{x} = -3\) n'a aucune solution.

7. Équations et inéquations avec le logarithme

Méthode — Résoudre \(\ln x = b\) et \(\ln x \gt b\)

Contrainte de départ : l'expression \(\ln x\) n'existe que pour \(x \gt 0\). On applique \(\exp\) (fonction croissante), réciproque de \(\ln\) :

\[\ln x = b \iff \boxed{\,x = e^{b}\,}\qquad\qquad \ln x \gt b \iff x \gt e^{b}\ \text{ (et } x \gt 0\text{, déjà assuré car } e^{b}\gt 0).\]

Exemple — équation logarithmique

Résoudre \(\ln x = 2\). On a \(x = e^{2} \approx 7{,}389\) ; c'est bien \(\gt 0\), donc solution unique \(x = e^{2}\).

Exemple — inéquation logarithmique

Résoudre \(\ln x \lt 3\) (avec \(x \gt 0\)). On applique \(\exp\) : \(x \lt e^{3}\). En tenant compte du domaine, l'ensemble solution est \(]0\,;e^{3}[\).

Exercice d'application 5. Résoudre dans son domaine : a) \(\ln x = -1\) ; b) \(\ln x \gt 0\) ; c) \(\ln(2x) = 4\).

a) \(x = e^{-1} = \tfrac1e\). b) \(\ln x \gt 0 = \ln 1 \iff x \gt 1\) ; solution \(]1\,;+\infty[\). c) \(\ln(2x) = 4 \iff 2x = e^{4} \iff x = \dfrac{e^{4}}{2}\) (bien \(\gt 0\)).

V. Étude de fonctions contenant \(\ln\)

Rappel — dérivées utiles

Pour \(u\) dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\), en combinant \((\ln x)'=\tfrac1x\) avec les règles de dérivation :

\[(\ln x)' = \dfrac1x, \qquad \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}, \qquad \big(x\ln x\big)' = \ln x + 1.\]

Cette dernière s'obtient par la règle du produit : \((x\ln x)' = 1\times\ln x + x\times\tfrac1x = \ln x + 1\).

Méthode — Étudier une fonction avec \(\ln\)

Déterminer le domaine de définition (l'argument du \(\ln\) doit être \(\gt 0\)).
Calculer la dérivée (somme, produit, quotient), en utilisant \(\tfrac1x\) ou \(\tfrac{u'}u\).
Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variations.

Exemple résolu — une somme polynôme + \(\ln\)

Soit \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\).

Dérivée : \(f'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x - 1}{x}\). Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x \gt 0\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x - 1\) :

\(f'(x) \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 1\) : \(f\) décroît ;
\(f'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 1\) : \(f\) croît.

\(f\) admet donc un minimum en \(x = 1\), qui vaut \(f(1) = 1 - \ln 1 = 1\).

Tableau de variations de \(f(x) = x - \ln x\) : minimum \(1\) atteint en \(x = 1\).

Exercice d'application 6. Soit \(g(x) = x\ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\). Calculer \(g'(x)\), puis résoudre \(g'(x) = 0\) et en déduire le sens de variation de \(g\).

\(g'(x) = \ln x + 1\). \(g'(x) = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} = \tfrac1e\). Pour \(x \lt \tfrac1e\), \(\ln x \lt -1\) donc \(g'(x) \lt 0\) : \(g\) décroît ; pour \(x \gt \tfrac1e\), \(g'(x) \gt 0\) : \(g\) croît. Minimum en \(x = \tfrac1e\), avec \(g\!\left(\tfrac1e\right) = \tfrac1e\times(-1) = -\tfrac1e\).

Exercice d'application 7. Soit \(h(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Montrer que \(h'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}\) et en déduire l'abscisse du maximum de \(h\).

Avec \(u = \ln x\) (\(u' = \tfrac1x\)) et \(v = x\) (\(v' = 1\)) : \(h'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{\tfrac1x\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}} = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}\). Comme \(x^{2} \gt 0\), le signe de \(h'\) est celui de \(1 - \ln x\) : \(h'(x) \gt 0 \iff \ln x \lt 1 \iff x \lt e\). Donc \(h\) croît sur \(]0\,;e]\), décroît sur \([e\,;+\infty[\) : maximum en \(x = e\), avec \(h(e) = \tfrac1e\).

VI. Application en physique-chimie

Où le logarithme intervient

Radioactivité : l'activité décroît selon \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\). La demi-vie \(t_{1/2}\) vérifie \(e^{-\lambda t_{1/2}} = \tfrac12\), d'où \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Acoustique : le niveau sonore \(L = 10\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) (en dB) utilise le logarithme décimal.
Chimie : le \(\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_3O^+}]\) mesure l'acidité par le logarithme décimal.

Exemple — demi-vie

Un noyau a une constante \(\lambda = 0{,}05\ \text{an}^{-1}\). Sa demi-vie est \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{0{,}05} = \dfrac{0{,}693}{0{,}05} \approx 13{,}9\ \text{ans}\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Écrire \(\ln(a+b) = \ln a + \ln b\).

✅ Seul le produit se casse : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). Le logarithme d'une somme ne se simplifie pas.

❌ Résoudre \(\ln x = 5\) en oubliant que \(x\) doit être \(\gt 0\), ou écrire \(x = 5\).

✅ \(\ln x = 5 \iff x = e^{5}\) (et \(e^{5} \gt 0\) : la condition est vérifiée).

❌ Chercher une solution à \(e^{ax} = b\) quand \(b \leqslant 0\).

✅ Une exponentielle est toujours \(\gt 0\) : \(e^{ax} = b\) n'a de solution que si \(b \gt 0\).

❌ Oublier de changer le sens de l'inéquation en divisant par un \(a \lt 0\).

✅ \(e^{-2x} \gt 4 \iff -2x \gt \ln 4 \iff x \lt -\tfrac{\ln 4}{2}\) : diviser par un négatif inverse le signe.

❌ Étudier \(x\mapsto \ln x\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier.

✅ Le domaine de \(\ln\) est \(]0\,;+\infty[\) : commencer par déterminer le domaine avant toute dérivation.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Définition : \(e^{x} = a \iff x = \ln a\) (pour \(a \gt 0\)) ; \(\ln(e^{x}) = x\), \(e^{\ln x} = x\), \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\).
Variations : \((\ln x)' = \dfrac1x \gt 0\) : \(\ln\) strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\). \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty\).
Propriétés : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln\!\left(\tfrac ab\right) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^{n}) = n\ln a\), \(\ln(\sqrt a) = \tfrac12\ln a\). Décimal : \(\log x = \tfrac{\ln x}{\ln 10}\).
Équations : \(e^{ax} = b \Rightarrow x = \dfrac{\ln b}{a}\) (\(b \gt 0\)) ; \(\ln x = b \Rightarrow x = e^{b}\).
Courbe : symétrique de celle de \(\exp\) par rapport à \(y = x\) ; passe par \((1\,;0)\).
Physique : demi-vie \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\), niveau sonore, pH.