Chapitre 12 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Sans calculatrice, donner la valeur exacte.
1. \(\ln(e^{7})\) 2. \(e^{\ln 15}\) 3. \(\ln 1 + \ln e\) 4. \(\ln\!\left(\dfrac1e\right)\) 5. \(e^{2\ln 3}\)
1. \(\ln(e^{7}) = 7\). 2. \(e^{\ln 15} = 15\). 3. \(\ln 1 + \ln e = 0 + 1 = 1\). 4. \(\ln\!\left(\tfrac1e\right) = -\ln e = -1\). 5. \(e^{2\ln 3} = e^{\ln(3^{2})} = e^{\ln 9} = 9\).
Exprimer chaque expression en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\).
1. \(\ln 6\) 2. \(\ln 16\) 3. \(\ln\!\left(\dfrac83\right)\) 4. \(\ln(\sqrt 3)\) 5. \(\ln 72\)
1. \(\ln 6 = \ln(2\times 3) = \ln 2 + \ln 3\).
2. \(\ln 16 = \ln(2^{4}) = 4\ln 2\).
3. \(\ln\!\left(\tfrac83\right) = \ln 8 - \ln 3 = 3\ln 2 - \ln 3\).
4. \(\ln(\sqrt 3) = \tfrac12\ln 3\).
5. \(72 = 8\times 9 = 2^{3}\times 3^{2}\), donc \(\ln 72 = 3\ln 2 + 2\ln 3\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\).
1. \(e^{2x} = 5\) 2. \(e^{-3x} = 2\) 3. \(e^{x+1} = 4\) 4. \(e^{x} = -1\)
1. \(2x = \ln 5\), donc \(x = \dfrac{\ln 5}{2}\).
2. \(-3x = \ln 2\), donc \(x = -\dfrac{\ln 2}{3}\).
3. \(x + 1 = \ln 4\), donc \(x = \ln 4 - 1 = 2\ln 2 - 1\).
4. \(e^{x} \gt 0\) pour tout \(x\) : l'équation \(e^{x} = -1\) n'a aucune solution.
Résoudre dans le domaine de définition.
1. \(\ln x = 3\) 2. \(\ln x = -2\) 3. \(\ln(3x) = 1\) 4. \(\ln(x - 1) = 0\)
1. \(x = e^{3}\) (\(\gt 0\) : solution valide).
2. \(x = e^{-2} = \dfrac1{e^{2}}\).
3. \(3x = e^{1} = e\), donc \(x = \dfrac{e}{3}\).
4. Domaine : \(x - 1 \gt 0\), soit \(x \gt 1\). \(\ln(x-1) = 0 \iff x - 1 = e^{0} = 1 \iff x = 2\) (bien \(\gt 1\)).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) (ou dans le domaine adéquat) et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
1. \(e^{2x} \gt 3\) 2. \(e^{-x} \gt 5\) 3. \(\ln x \gt 2\) 4. \(\ln x \lt -1\)
1. \(e^{2x} \gt 3 \iff 2x \gt \ln 3 \iff x \gt \dfrac{\ln 3}{2}\) ; solution \(\left]\tfrac{\ln 3}{2}\,;+\infty\right[\).
2. \(e^{-x} \gt 5 \iff -x \gt \ln 5\) ; en divisant par \(-1\) (sens inversé) : \(x \lt -\ln 5\) ; solution \(]{-}\infty\,;-\ln 5[\).
3. \(\ln x \gt 2 \iff x \gt e^{2}\) ; solution \(]e^{2}\,;+\infty[\).
4. Domaine \(x \gt 0\). \(\ln x \lt -1 \iff x \lt e^{-1}\) ; avec le domaine, solution \(\left]0\,;\tfrac1e\right[\).
Dériver sur \(]0\,;+\infty[\), en précisant \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\) si besoin.
1. \(f(x) = 3\ln x - 2x\) 2. \(g(x) = x^{2}\ln x\) 3. \(h(x) = \dfrac{\ln x}{x}\)
1. \(f'(x) = 3\times\dfrac1x - 2 = \dfrac3x - 2\).
2. \(u = x^{2}\) (\(u' = 2x\)), \(v = \ln x\) (\(v' = \tfrac1x\)). \(g'(x) = 2x\ln x + x^{2}\times\tfrac1x = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)\).
3. \(u = \ln x\) (\(u' = \tfrac1x\)), \(v = x\) (\(v' = 1\)). \(h'(x) = \dfrac{\tfrac1x\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}} = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}\).
Soit \(f(x) = x^{2} - 2\ln x\) définie sur \(]0\,;+\infty[\).
1. Calculer \(f'(x)\) et le mettre sous la forme \(\dfrac{2(x^{2}-1)}{x}\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0\,;+\infty[\).
3. Dresser le tableau de variations et donner la valeur exacte du minimum.
1. \(f'(x) = 2x - 2\times\dfrac1x = 2x - \dfrac2x = \dfrac{2x^{2} - 2}{x} = \dfrac{2(x^{2} - 1)}{x}\).
2. Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x \gt 0\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)\). Pour \(x \gt 0\), \(x + 1 \gt 0\) : le signe est celui de \(x - 1\). Donc \(f'(x) \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 1\), \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 1\).
3. \(f\) décroît sur \(]0\,;1]\), croît sur \([1\,;+\infty[\). Minimum en \(x = 1\) : \(f(1) = 1 - 2\ln 1 = 1\).
Le nombre de noyaux d'un échantillon radioactif est \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\), où \(t\) est en années et \(\lambda \gt 0\) la constante radioactive.
1. La demi-vie \(t_{1/2}\) est la durée au bout de laquelle \(N(t_{1/2}) = \tfrac12 N_0\). Montrer que \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
2. Le carbone 14 a une demi-vie \(t_{1/2} = 5730\) ans. En déduire \(\lambda\) (arrondir à \(10^{-5}\)).
3. Au bout de combien de temps reste-t-il \(10\,\%\) des noyaux ? (On résoudra \(e^{-\lambda t} = 0{,}1\).)
1. \(N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}} = \tfrac12 N_0 \iff e^{-\lambda t_{1/2}} = \tfrac12\). En appliquant \(\ln\) : \(-\lambda t_{1/2} = \ln\!\left(\tfrac12\right) = -\ln 2\), donc \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
2. \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{5730} \approx 1{,}21\times 10^{-4}\ \text{an}^{-1}\).
3. \(e^{-\lambda t} = 0{,}1 \iff -\lambda t = \ln 0{,}1 \iff t = \dfrac{-\ln 0{,}1}{\lambda} = \dfrac{\ln 10}{\lambda} = \dfrac{2{,}303}{1{,}21\times 10^{-4}} \approx 19\,000\ \text{ans}\) (environ \(19\,035\) ans).
Une entreprise modélise le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé pour une production de \(x\) tonnes (\(x \gt 0\)) par
\[B(x) = 10\ln x - x + 2, \qquad x \in ]0\,;+\infty[.\]1. Calculer \(B'(x)\) et le mettre sous la forme \(\dfrac{10 - x}{x}\).
2. Étudier le signe de \(B'(x)\) sur \(]0\,;+\infty[\) et dresser le tableau de variations de \(B\).
3. En déduire la production qui maximise le bénéfice et la valeur (exacte puis approchée) de ce bénéfice maximal.
4. Résoudre l'équation \(B'(x) = 0{,}25\) et interpréter (production pour laquelle le bénéfice marginal vaut \(250\ \text{€/tonne}\)).
1. \(B'(x) = 10\times\dfrac1x - 1 = \dfrac{10}{x} - 1 = \dfrac{10 - x}{x}\).
2. Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x \gt 0\), donc le signe de \(B'(x)\) est celui de \(10 - x\) : \(B'(x) \gt 0\) pour \(0 \lt x \lt 10\), \(B'(x) \lt 0\) pour \(x \gt 10\), \(B'(x) = 0\) en \(x = 10\). Donc \(B\) croît sur \(]0\,;10]\) puis décroît sur \([10\,;+\infty[\).
3. Le bénéfice est maximal en \(x = 10\) tonnes. \(B(10) = 10\ln 10 - 10 + 2 = 10\ln 10 - 8 \approx 10\times 2{,}303 - 8 = 15{,}03\), soit environ 15 030 €.
4. \(B'(x) = 0{,}25 \iff \dfrac{10 - x}{x} = 0{,}25 \iff 10 - x = 0{,}25x \iff 10 = 1{,}25x \iff x = 8\). Pour une production de \(8\) tonnes, le bénéfice marginal vaut \(250\ \text{€/tonne}\).