Fiche – Fonction logarithme népérien

Chapitre 12 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Le logarithme népérien \(\ln\) est la fonction réciproque de l'exponentielle : \(e^{x} = a \iff x = \ln a\) (pour \(a \gt 0\)).
Il transforme un produit en somme : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\).
\(\ln\) est défini sur \(]0\,;+\infty[\), strictement croissant, de dérivée \(\tfrac1x\).
Pour résoudre : on « passe au \(\ln\) » dans une équation exponentielle, on « passe à l'\(\exp\) » dans une équation logarithmique.

Définitions clés

Logarithme népérien

Pour \(a \gt 0\), \(\ln a\) est l'unique solution de \(e^{x} = a\). Ainsi \(e^{x} = a \iff x = \ln a\).

Relations : \(\ln(e^{x}) = x\), \(e^{\ln x} = x\), \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\).

Logarithme décimal

\(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\), avec \(\log 10 = 1\) et \(\log(10^{n}) = n\). Mêmes propriétés algébriques que \(\ln\). Utilisé pour le pH et les décibels.

À connaître par cœur

Propriétés algébriques (\(a\gt0\), \(b\gt0\), \(n\) entier) \[\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\dfrac ab\right) = \ln a - \ln b\] \[\ln\!\left(\dfrac1b\right) = -\ln b \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a \qquad \ln(\sqrt a) = \dfrac12\ln a\]

Dérivée et limites \[(\ln x)' = \dfrac1x \gt 0 \quad(x\gt0) \qquad \big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}\] \[\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty \qquad \lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty\]

Équations et inéquations \[e^{ax} = b \iff x = \dfrac{\ln b}{a}\ (b\gt0) \qquad \ln x = b \iff x = e^{b}\] \[e^{ax} \gt b \iff ax \gt \ln b \qquad \ln x \gt b \iff x \gt e^{b}\]

Signe et variations

\(\ln x \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 1\) ; \(\ln 1 = 0\) ; \(\ln x \gt 0\) pour \(x \gt 1\).
\(\ln\) strictement croissante : \(a \lt b \iff \ln a \lt \ln b\).
Courbe symétrique de celle de \(\exp\) par rapport à \(y = x\) ; passe par \((1\,;0)\).

Méthodes

Méthode — Résoudre une équation/inéquation

Exponentielle : vérifier que le second membre est \(\gt 0\), puis appliquer \(\ln\).
Logarithme : poser d'abord la condition d'existence (argument \(\gt 0\)), puis appliquer \(\exp\).
En divisant par un coefficient négatif dans une inéquation, inverser le sens.

Méthode — Étudier une fonction avec \(\ln\)

Déterminer le domaine (argument du \(\ln\) strictement positif).
Dériver avec \((\ln x)' = \tfrac1x\), les règles produit/quotient, ou \(\tfrac{u'}u\).
Étudier le signe de \(f'\), dresser le tableau de variations.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\).

✅ Seul le produit se casse : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\).

❌ Chercher une solution à \(e^{ax} = b\) avec \(b \leqslant 0\).

✅ Une exponentielle est toujours \(\gt 0\) : pas de solution si \(b \leqslant 0\).

❌ Oublier le domaine \(x \gt 0\) de \(\ln\).

✅ Toujours vérifier la condition d'existence avant de résoudre.

❌ Ne pas inverser le sens en divisant par un négatif.

✅ \(e^{-2x} \gt 4 \iff -2x \gt \ln 4 \iff x \lt -\tfrac{\ln 4}{2}\).

Exemple rapide

Exemple — étude express

\(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\). \(f'(x) = 1 - \tfrac1x = \dfrac{x-1}{x}\).

\(f'(x) \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 1\), \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 1\).
\(f\) décroît sur \(]0\,;1]\), croît sur \([1\,;+\infty[\).
Minimum en \(x = 1\) : \(f(1) = 1 - \ln 1 = 1\).
Demi-vie : \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).