Devoir Surveillé – Chapitre 12

Fonction logarithme népérien | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(e^{x}=a \iff x=\ln a\) (\(a\gt0\)) ; \(\ln 1=0\), \(\ln e=1\), \((\ln x)'=\tfrac1x\) ; \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln\!\left(\tfrac ab\right)=\ln a-\ln b\), \(\ln(a^{n})=n\ln a\), \(\ln(\sqrt a)=\tfrac12\ln a\) ; \(e^{ax}=b\Rightarrow x=\tfrac{\ln b}{a}\), \(\ln x=b\Rightarrow x=e^{b}\).

Exercice 1 — Calculs et équations (7 points)

1. Sans calculatrice, donner la valeur exacte de : a) \(\ln(e^{5})\) ; b) \(e^{\ln 8}\) ; c) \(\ln\!\left(\tfrac1{e^{2}}\right)\). (3 pts)

2. Exprimer \(\ln 48\) en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\). (1,5 pt)

3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{4x} = 6\). (1,5 pt)

4. Résoudre l'équation \(\ln(2x - 1) = 0\) (préciser le domaine). (1 pt)

1. a) \(\ln(e^{5}) = 5\) ; b) \(e^{\ln 8} = 8\) ; c) \(\ln\!\left(\tfrac1{e^{2}}\right) = \ln(e^{-2}) = -2\). (3 pts)

2. \(48 = 16\times 3 = 2^{4}\times 3\), donc \(\ln 48 = 4\ln 2 + \ln 3\). (1,5 pt)

3. \(4x = \ln 6\), donc \(x = \dfrac{\ln 6}{4}\). (1,5 pt)

4. Domaine : \(2x - 1 \gt 0 \iff x \gt \tfrac12\). \(\ln(2x-1) = 0 \iff 2x - 1 = 1 \iff x = 1\) (bien \(\gt \tfrac12\)). (1 pt)

Exercice 2 — Inéquations (6 points)

Résoudre et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.

1. \(e^{3x} \gt 4\). (1,5 pt)

2. \(e^{-2x} \gt 7\). (2 pts)

3. \(\ln x \lt 3\). (1,5 pt)

4. \(\ln x \gt -2\). (1 pt)

1. \(e^{3x} \gt 4 \iff 3x \gt \ln 4 \iff x \gt \dfrac{\ln 4}{3}\) ; solution \(\left]\tfrac{\ln 4}{3}\,;+\infty\right[\). (1,5 pt)

2. \(e^{-2x} \gt 7 \iff -2x \gt \ln 7\) ; en divisant par \(-2\) (sens inversé) : \(x \lt -\dfrac{\ln 7}{2}\) ; solution \(\left]{-}\infty\,;-\tfrac{\ln 7}{2}\right[\). (2 pts)

3. Domaine \(x \gt 0\). \(\ln x \lt 3 \iff x \lt e^{3}\) ; solution \(]0\,;e^{3}[\). (1,5 pt)

4. Domaine \(x \gt 0\). \(\ln x \gt -2 \iff x \gt e^{-2}\) ; solution \(\left]\tfrac1{e^{2}}\,;+\infty\right[\). (1 pt)

Exercice 3 — Étude de fonction et application (7 points)

Partie A — Étude (5 pts). Soit \(f(x) = x - 4\ln x\) définie sur \(]0\,;+\infty[\).

1. Calculer \(f'(x)\) et le mettre sous la forme \(\dfrac{x - 4}{x}\). (1,5 pt)

2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1,5 pt)

3. Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner la valeur exacte du minimum. (2 pts)

\(x\)	\(0^+\)	\(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\)
Variations de \(f\)

Partie B — Demi-vie (2 pts). Une substance vérifie \(N(t) = N_0\,e^{-0{,}04\,t}\) (\(t\) en heures).

4. Déterminer la demi-vie \(t_{1/2}\) (arrondir à l'heure). (2 pts)

1. \(f'(x) = 1 - 4\times\dfrac1x = 1 - \dfrac4x = \dfrac{x - 4}{x}\). (1,5 pt)

2. Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x \gt 0\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x - 4\) : \(f'(x) \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 4\), \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 4\), \(f'(x) = 0\) en \(x = 4\). (1,5 pt)

3. \(f\) décroît sur \(]0\,;4]\), croît sur \([4\,;+\infty[\) : minimum en \(x = 4\), \(f(4) = 4 - 4\ln 4 = 4 - 8\ln 2 \approx -1{,}55\). (2 pts)

4. \(e^{-0{,}04\,t_{1/2}} = \tfrac12 \iff -0{,}04\,t_{1/2} = -\ln 2 \iff t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{0{,}04} = \dfrac{0{,}693}{0{,}04} \approx 17\ \text{heures}\). (2 pts)