Chapitre 10 – Intégration
Chapitre 10 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30
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Objectifs du chapitre
- Définir l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) d'une fonction positive comme aire sous la courbe, et l'approcher par la méthode des rectangles.
- Étendre la définition aux fonctions négatives, de signe quelconque, et au cas \(a \gt b\).
- Connaître et utiliser les propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.
- Calculer une intégrale, la valeur moyenne d'une fonction, une aire sous une courbe ou entre deux courbes.
- Exploiter la fonction \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) et son lien avec la primitive.
- Appliquer la formule fondamentale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\).
L'intégration est l'outil qui permet de cumuler une grandeur : additionner une infinité de contributions infiniment petites pour obtenir une aire, une distance parcourue, une énergie. C'est l'opération « inverse » de la dérivation vue au chapitre précédent. En physique-chimie, elle sert à passer d'une vitesse à une distance (cinématique), d'une puissance à une énergie, ou à calculer une puissance moyenne en régime sinusoïdal. Prérequis : dérivation, primitives (fonction dont la dérivée est \(f\)), aire d'un rectangle et d'un trapèze.
I. L'intégrale comme aire sous la courbe
1. Cas d'une fonction positive
Soit \(f\) une fonction positive et continue sur un intervalle \([a\,;b]\) (avec \(a \lt b\)). L'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites verticales \(x = a\) et \(x = b\). On la note :
\[\int_a^b f(x)\,dx.\]Les nombres \(a\) et \(b\) sont les bornes de l'intégrale ; \(x\) est une variable muette (elle peut être remplacée par n'importe quelle lettre : \(\int_a^b f(t)\,dt\) désigne la même valeur).
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) est l'aire (hachurée) du domaine sous la courbe \(\mathcal{C}_f\), entre \(x=a\) et \(x=b\).
Ces deux cas se calculent avec des formules d'aires connues.
- Constante \(f(x) = 3\) sur \([1\,;5]\) : le domaine est un rectangle de largeur \(5-1 = 4\) et de hauteur \(3\). Donc \(\displaystyle\int_1^5 3\,dx = 4 \times 3 = 12\).
- Affine \(f(x) = x\) sur \([0\,;4]\) : le domaine est un triangle de base \(4\) et de hauteur \(4\). Donc \(\displaystyle\int_0^4 x\,dx = \dfrac{4 \times 4}{2} = 8\).
\(\displaystyle\int_2^6 5\,dx = (6-2)\times 5 = 20\) (rectangle). \(\displaystyle\int_0^3 2x\,dx\) : triangle de base \(3\), de hauteur \(2\times 3 = 6\), soit \(\dfrac{3\times 6}{2} = 9\).
2. Approximation par la méthode des rectangles
Pour une fonction quelconque, l'aire n'est pas donnée par une formule simple. On la approche en découpant \([a\,;b]\) en \(n\) petits intervalles de largeur \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\). Sur chacun, on remplace la courbe par un rectangle de hauteur \(f(x_i)\). L'aire cherchée est proche de la somme des aires des rectangles :
\[\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x.\]Plus \(n\) est grand (rectangles fins), meilleure est l'approximation : à la limite, la somme tend exactement vers l'intégrale. La notation \(\displaystyle\int\) rappelle d'ailleurs un « S » allongé, pour somme ; le \(dx\) est la largeur infiniment petite.
Somme des aires des rectangles \(\sum f(x_i)\,\Delta x\) : chaque rectangle a pour largeur \(\Delta x\) et pour hauteur \(f(x_i)\). Plus les rectangles sont fins, plus la somme approche l'aire réelle.
Déplace le curseur pour faire varier le nombre \(n\) de rectangles utilisés pour approcher \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx\). Observe la somme des rectangles se rapprocher de la valeur exacte \(\tfrac{8}{3}\approx 2{,}667\) quand \(n\) augmente.
Intervalles \([0\,;1]\) et \([1\,;2]\), extrémités droites \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). Somme \(= f(1)\times 1 + f(2)\times 1 = 1 + 4 = 5\). (La valeur exacte, calculée plus loin, est \(\tfrac{8}{3}\approx 2{,}67\) : l'approximation est ici grossière car \(n\) est petit.)
3. Extension : fonction négative ou de signe quelconque
Si \(f\) est négative sur \([a\,;b]\), l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) est l'opposé de l'aire du domaine situé entre la courbe et l'axe des abscisses (domaine au-dessous de l'axe). C'est donc un nombre négatif.
Si \(f\) change de signe, l'intégrale est la somme algébrique des aires : les portions au-dessus de l'axe comptent positivement, celles au-dessous comptent négativement.
Fonction de signe quelconque : \(\displaystyle\int_a^b f = (\text{aire verte}) - (\text{aire rouge})\). L'aire au-dessous de l'axe est comptée négativement.
4. Cas où \(a \gt b\)
Lorsque \(a \gt b\), on pose par convention :
\[\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx.\]En particulier, \(\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0\) : sur un intervalle réduit à un point, l'aire est nulle. Inverser les bornes change le signe de l'intégrale.
II. Propriétés de l'intégrale
Soit \(f\) et \(g\) continues sur un intervalle contenant \(a\), \(b\), \(c\), et \(k\) un réel.
- Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\) et \(\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx\).
- Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\).
- Positivité : si \(f \geqslant 0\) sur \([a\,;b]\) (avec \(a \leqslant b\)), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geqslant 0\).
- Croissance : si \(f \leqslant g\) sur \([a\,;b]\) (avec \(a \leqslant b\)), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leqslant \int_a^b g(x)\,dx\).
Relation de Chasles : l'aire de \(a\) à \(b\) est la somme de l'aire de \(a\) à \(c\) et de l'aire de \(c\) à \(b\).
Sachant que \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \tfrac13\) et \(\displaystyle\int_0^1 x\,dx = \tfrac12\) :
\[\int_0^1 \big(3x^2 + 2x\big)\,dx = 3\int_0^1 x^2\,dx + 2\int_0^1 x\,dx = 3\times\tfrac13 + 2\times\tfrac12 = 1 + 1 = 2.\]\(\displaystyle\int_0^7 f = \int_0^2 f + \int_2^7 f = 5 + (-3) = 2.\)
III. Primitive et calcul d'une intégrale
5. Intégrale dépendant de sa borne supérieure
Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). Pour tout \(x \in I\), on définit la fonction :
\[F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.\]Ici, la borne inférieure \(a\) est fixe, la borne supérieure \(x\) est variable, et \(t\) est la variable muette d'intégration. \(F(x)\) mesure l'aire accumulée depuis \(a\) jusqu'à \(x\) : c'est une aire qui varie avec \(x\).
La fonction \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est \(f\) :
\[F'(x) = f(x).\]Autrement dit, \(F\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\) (car \(F(a) = \int_a^a f = 0\)). Dériver et intégrer sont donc deux opérations réciproques.
Pour un petit accroissement \(\Delta x \gt 0\), l'aire ajoutée \(F(x_0 + \Delta x) - F(x_0)\) est comprise entre celle de deux rectangles de largeur \(\Delta x\) et de hauteurs \(f(x_0)\) et \(f(x_0 + \Delta x)\) :
\[f(x_0)\,\Delta x \leqslant F(x_0+\Delta x) - F(x_0) \leqslant f(x_0+\Delta x)\,\Delta x.\]En divisant par \(\Delta x\), le taux de variation de \(F\) est encadré par \(f(x_0)\) et \(f(x_0+\Delta x)\). Quand \(\Delta x \to 0\), les deux bornes tendent vers \(f(x_0)\), donc \(F'(x_0) = f(x_0)\). \(\qquad\blacksquare\)
6. La formule fondamentale du calcul intégral
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a\,;b]\) (c'est-à-dire \(F' = f\)), alors :
\[\boxed{\,\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).\,}\]On note souvent \(F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b\). Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives diffèrent d'une constante, qui s'élimine dans la soustraction.
- Chercher une primitive \(F\) de \(f\) (rappel : une primitive de \(x^n\) est \(\tfrac{x^{n+1}}{n+1}\) pour \(n \ne -1\)).
- Calculer \(F(b)\) et \(F(a)\).
- Faire la différence \(F(b) - F(a)\).
Exemple résolu. \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx\). Une primitive de \(x^2\) est \(F(x) = \tfrac{x^3}{3}\). Donc \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{8}{3} - 0 = \tfrac{8}{3}.\)
\(\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx\). Une primitive de \(2x+1\) est \(F(x) = x^2 + x\). Donc :
\[\int_1^3 (2x+1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10.\]Primitive : \(F(x) = x^3 - 2x^2\). \(\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 4x)\,dx = \big[x^3 - 2x^2\big]_1^2 = (8 - 8) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1.\)
IV. Valeur moyenne et aires
7. Valeur moyenne d'une fonction
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) (avec \(a \lt b\)) est le nombre :
\[\boxed{\,\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.\,}\]Pour une fonction positive, \(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;b]\) (largeur \(b-a\)) qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
La valeur moyenne \(\mu\) est la hauteur du rectangle (pointillés) de largeur \(b-a\) et de même aire que le domaine sous \(\mathcal{C}_f\).
Valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;3]\). On calcule d'abord \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \big[\tfrac{x^3}{3}\big]_0^3 = 9\). Puis \(\mu = \dfrac{1}{3 - 0}\times 9 = 3.\)
\(\displaystyle\int_0^4 (2x+1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 16 + 4 = 20\). \(\mu = \dfrac{1}{4}\times 20 = 5.\)
8. Aire entre deux courbes
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \([a\,;b]\) avec \(f(x) \geqslant g(x)\) sur tout l'intervalle, l'aire du domaine compris entre les deux courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) est :
\[\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx.\]La courbe « du dessus » (\(f\)) moins la courbe « du dessous » (\(g\)). Cette formule reste valable même si les courbes passent au-dessous de l'axe des abscisses.
Aire entre deux courbes : \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b (f - g)\), où \(f\) est la courbe du dessus et \(g\) celle du dessous.
Aire entre \(f(x) = 4 - x^2\) et \(g(x) = 1\) sur \([-1\,;1]\), avec \(f \geqslant g\) sur cet intervalle.
\[\mathcal{A} = \int_{-1}^{1}\big(4 - x^2 - 1\big)\,dx = \int_{-1}^{1}\big(3 - x^2\big)\,dx = \Big[3x - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{1} = \Big(3 - \tfrac13\Big) - \Big(-3 + \tfrac13\Big) = \tfrac{16}{3}.\]\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 \big(x + 2 - x^2\big)\,dx = \Big[\tfrac{x^2}{2} + 2x - \tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \Big(2 + 4 - \tfrac{8}{3}\Big) - 0 = 6 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{10}{3}.\)
V. Lien avec la physique-chimie
L'intégrale traduit l'idée de cumul d'une grandeur au cours du temps :
- Cinématique : si \(v(t)\) est la vitesse, la distance parcourue entre \(t_1\) et \(t_2\) est \(\displaystyle d = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt\) (\(v\) est la dérivée de la position, donc la position est une primitive de \(v\)).
- Énergie : si \(p(t)\) est la puissance, l'énergie mise en jeu entre \(t_1\) et \(t_2\) est l'aire sous la courbe de puissance : \(\displaystyle W = \int_{t_1}^{t_2} p(t)\,dt\).
- Puissance active : en régime sinusoïdal, la puissance active est la valeur moyenne de la puissance sur une période \(T\) : \(\displaystyle P = \dfrac{1}{T}\int_0^{T} p(t)\,dt\).
Un mobile a pour vitesse \(v(t) = 2t\) (en m/s, \(t\) en s). La distance parcourue entre \(t = 0\) et \(t = 3\) s est :
\[d = \int_0^3 2t\,dt = \big[t^2\big]_0^3 = 9\ \text{m}.\]\(W = \displaystyle\int_0^4 (3t + 10)\,dt = \Big[\tfrac{3t^2}{2} + 10t\Big]_0^4 = \tfrac{3\times 16}{2} + 40 = 24 + 40 = 64\ \text{J}.\)
Méthodes-types
- Déterminer sur \([a\,;b]\) quelle courbe est au-dessus (ordre \(f \geqslant g\)).
- Écrire l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b (f - g)\,dx\) (dessus moins dessous).
- Trouver une primitive de \(f - g\), puis appliquer \(F(b) - F(a)\).
- Calculer l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) via une primitive.
- Diviser par la largeur : \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\).
Exemple résolu. Valeur moyenne de \(f(x) = x\) sur \([0\,;2]\) : \(\int_0^2 x\,dx = \big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^2 = 2\), donc \(\mu = \tfrac12\times 2 = 1\).
Erreurs fréquentes / points de vigilance
❌ Oublier que l'intégrale d'une fonction négative est un nombre négatif (« l'aire ne peut pas être négative »).
✅ L'aire géométrique est positive, mais l'intégrale compte négativement les portions sous l'axe.
❌ Écrire \(\displaystyle\int_a^b f\,g = \Big(\int_a^b f\Big)\Big(\int_a^b g\Big)\).
✅ L'intégrale est linéaire (somme, multiple), mais pas multiplicative : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.
❌ Confondre valeur moyenne \(\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\) et l'intégrale \(\int_a^b f\).
✅ La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la largeur \(b-a\).
❌ Pour l'aire entre deux courbes, oublier de mettre la courbe du dessus en premier.
✅ Toujours \(\int (f - g)\) avec \(f \geqslant g\), sinon le résultat est négatif.
❌ Se tromper de sens de la formule : écrire \(F(a) - F(b)\).
✅ \(\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)\) : borne du haut moins borne du bas.
L'essentiel à retenir
- Définition : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) = aire (algébrique) sous \(\mathcal{C}_f\) entre \(a\) et \(b\), approchée par \(\sum f(x_i)\Delta x\) (rectangles).
- Propriétés : linéarité, positivité, croissance, Chasles \(\displaystyle\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\).
- Primitive : \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) vérifie \(F' = f\) (théorème fondamental).
- Calcul : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\), avec \(F\) une primitive de \(f\).
- Valeur moyenne : \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
- Aire entre courbes : \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b (f - g)\,dx\) si \(f \geqslant g\).
- Physique : distance \(=\int v\,dt\), énergie \(=\int p\,dt\), puissance active \(=\tfrac1T\int_0^T p\,dt\).