Fiche – Intégration

Chapitre 10 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) est l'aire algébrique sous la courbe entre \(a\) et \(b\) (positive au-dessus de l'axe, négative au-dessous).
On la calcule avec une primitive \(F\) de \(f\) : \(\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)\).
Intégrer, c'est cumuler une grandeur : distance \(=\int v\,dt\), énergie \(=\int p\,dt\).
La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la largeur \(b-a\).

Définitions clés

Intégrale (aire sous la courbe)

Pour \(f \geqslant 0\) sur \([a\,;b]\) (\(a \lt b\)), \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) = aire sous \(\mathcal{C}_f\). Approchée par \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x\) (méthode des rectangles, \(\Delta x = \tfrac{b-a}{n}\)).

Extensions de signe et de bornes

\(f \leqslant 0\) : intégrale \(\leqslant 0\). Signe quelconque : somme algébrique des aires. Si \(a \gt b\) : \(\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f\). Et \(\displaystyle\int_a^a f = 0\).

Intégrale dépendant de sa borne

\(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) vérifie \(F'(x) = f(x)\) et \(F(a) = 0\) : \(F\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\).

Valeur moyenne

\(\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) (hauteur du rectangle de largeur \(b-a\) et de même aire).

À connaître par cœur

Formule fondamentale \[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b \quad (F' = f)\]

Primitives usuelles \[\text{primitive de } x^n : \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ (n \ne -1) \qquad \text{primitive de } k : kx\]

Propriétés \[\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g \qquad \int_a^b k\,f = k\int_a^b f\] \[\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \quad (\text{Chasles})\]

Valeur moyenne · Aire entre courbes \[\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f \qquad \mathcal{A} = \int_a^b (f - g)\ \text{ si } f \geqslant g\]

Positivité et croissance

\(f \geqslant 0\) sur \([a\,;b]\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0\).
\(f \leqslant g\) sur \([a\,;b]\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_a^b f \leqslant \int_a^b g\).

Méthodes

Méthode — Calculer une intégrale

Trouver une primitive \(F\) de \(f\).
Calculer \(F(b)\) et \(F(a)\).
Faire la différence \(F(b) - F(a)\).

Méthode — Aire entre deux courbes

Identifier la courbe du dessus (\(f \geqslant g\)).
Intégrer \(f - g\) sur \([a\,;b]\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ L'intégrale d'une fonction négative serait positive.

✅ Elle est négative (l'aire sous l'axe compte en moins).

❌ \(\displaystyle\int f\,g = \big(\int f\big)\big(\int g\big)\).

✅ L'intégrale est linéaire, pas multiplicative.

❌ Confondre valeur moyenne et intégrale.

✅ Valeur moyenne = intégrale divisée par \(b - a\).

❌ Écrire \(F(a) - F(b)\).

✅ \(\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)\) (haut moins bas).

Exemple rapide

Exemple — calcul express

\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx\).

Primitive : \(F(x) = x^3 + 2x\).
\(F(2) = 8 + 4 = 12\), \(F(0) = 0\).
\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx = 12 - 0 = 12\).
Valeur moyenne : \(\mu = \tfrac{1}{2}\times 12 = 6\).