Devoir Surveillé – Chapitre 10

Intégration | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)\) avec \(F' = f\) ; primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (\(n\ne -1\)) ; linéarité et Chasles \(\displaystyle\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\) ; valeur moyenne \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\) ; aire entre courbes \(\displaystyle\int_a^b (f-g)\) si \(f \geqslant g\).

Exercice 1 — Calculs d'intégrales et propriétés (7 points)

1. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 \big(3x^2 - 2x + 1\big)\,dx\). (2 pts)

2. Calculer \(\displaystyle\int_1^3 4\,dx\) à l'aide d'une aire, puis vérifier par une primitive. (1,5 pt)

3. On donne \(\displaystyle\int_0^4 f = 9\) et \(\displaystyle\int_4^7 f = -5\). Calculer \(\displaystyle\int_0^7 f\) puis \(\displaystyle\int_7^0 f\). (2 pts)

4. On donne \(\displaystyle\int_0^1 h = 6\). Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \big(2h + 5\big)\,dx\) (on rappelle \(\displaystyle\int_0^1 5\,dx = 5\)). (1,5 pt)

1. Primitive \(x^3 - x^2 + x\). \(\big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6.\) (2 pts)

2. Aire : rectangle \((3-1)\times 4 = 8\). Primitive \(4x\) : \(\big[4x\big]_1^3 = 12 - 4 = 8\). ✓ (1,5 pt)

3. Chasles : \(\displaystyle\int_0^7 f = 9 + (-5) = 4\). Inversion : \(\displaystyle\int_7^0 f = -4.\) (2 pts)

4. Linéarité : \(\displaystyle\int_0^1 (2h + 5)\,dx = 2\int_0^1 h + \int_0^1 5\,dx = 2\times 6 + 5 = 17.\) (1,5 pt)

Exercice 2 — Valeur moyenne et aire entre deux courbes (7 points)

Partie A — Valeur moyenne (3 pts). Soit \(f(x) = x^2 + 1\) sur \([0\,;3]\).

1. Calculer \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx\). (2 pts)

2. En déduire la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;3]\). (1 pt)

Partie B — Aire entre deux courbes (4 pts). Soit \(f(x) = 6 - x^2\) et \(g(x) = 2\).

3. Montrer que \(f(x) - g(x) = 4 - x^2\) et que \(f \geqslant g\) sur \([-2\,;2]\). (1,5 pt)

4. Calculer l'aire du domaine compris entre \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sur \([-2\,;2]\). (2,5 pts)

1. \(\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3} + x\Big]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12.\) (2 pts)

2. \(\mu = \dfrac{1}{3 - 0}\times 12 = 4.\) (1 pt)

3. \(f - g = (6 - x^2) - 2 = 4 - x^2 = (2-x)(2+x)\). Sur \([-2\,;2]\), \((2-x)\geqslant 0\) et \((2+x)\geqslant 0\), donc \(4 - x^2 \geqslant 0\) : \(f \geqslant g\). ✓ (1,5 pt)

4. \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \Big[4x - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{-2}^{2} = \big(8 - \tfrac83\big) - \big(-8 + \tfrac83\big) = 16 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}67.\) (2,5 pts)

Exercice 3 — Application physique : énergie et puissance (6 points)

La puissance électrique reçue par un moteur, lors d'un démarrage, est modélisée par

\[p(t) = 12t - t^2 \qquad (p \text{ en kW},\ t \text{ en s},\ 0 \leqslant t \leqslant 10).\]

1. Vérifier que \(p(t) \geqslant 0\) sur \([0\,;10]\). (1 pt)

2. Déterminer l'instant où la puissance est maximale et la valeur de ce maximum. (2 pts)

3. Calculer l'énergie \(W = \displaystyle\int_0^{10} p(t)\,dt\) reçue sur les \(10\) premières secondes. (2 pts)

4. En déduire la puissance moyenne sur \([0\,;10]\). (1 pt)

1. \(p(t) = t(12 - t)\). Sur \([0\,;10]\), \(t \geqslant 0\) et \(12 - t \geqslant 2 \gt 0\), donc \(p(t) \geqslant 0\). ✓ (1 pt)

2. \(p'(t) = 12 - 2t = 0 \iff t = 6\) s. \(p'\) passe du \(+\) au \(-\) : maximum en \(t = 6\), \(p(6) = 72 - 36 = 36\ \text{kW}.\) (2 pts)

3. \(W = \displaystyle\int_0^{10}(12t - t^2)\,dt = \Big[6t^2 - \tfrac{t^3}{3}\Big]_0^{10} = 600 - \tfrac{1000}{3} = \tfrac{1800 - 1000}{3} = \tfrac{800}{3} \approx 266{,}7\ \text{kJ}.\) (2 pts)

4. \(P = \dfrac{1}{10}\times \tfrac{800}{3} = \tfrac{80}{3} \approx 26{,}7\ \text{kW}.\) (1 pt)