Chapitre 14 – Dérivées
Chapitre 14 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
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Objectifs du chapitre
- Utiliser les différentes notations du taux de variation et du nombre dérivé : \(\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)_{x_0}\), \(\dfrac{dy}{dx}(x_0)\), \(\dfrac{df}{dx}(x_0)\), \(f'(x_0)\).
- Interpréter le nombre dérivé comme pente de la tangente et comme taux de variation infinitésimal d'une grandeur physique.
- Écrire l'approximation affine d'une fonction au voisinage d'un point et effectuer des calculs approchés.
- Calculer une fonction dérivée : somme, produit, inverse, quotient ; \(x^n\), \(\dfrac1x\), polynôme ; \(\cos\), \(\sin\).
- Dériver \(x\mapsto f(ax+b)\), \(t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)\) et \(t\mapsto A\sin(\omega t+\varphi)\) (grandeurs sinusoïdales).
- Étudier le sens de variation d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée.
La dérivation est l'un des outils centraux de la spécialité : elle relie une variation \(\Delta y\) d'une grandeur à la variation \(\Delta x\) qui la provoque, puis passe à la limite quand \(\Delta x\) devient infiniment petit. C'est exactement la démarche du calcul infinitésimal partagée avec la physique-chimie (vitesse \(\tfrac{dx}{dt}\), accélération, vitesse d'une réaction chimique…). On distingue le point de vue local (nombre dérivé en un point) et le point de vue global (fonction dérivée). Prérequis : fonctions carré et cube, coefficient directeur d'une droite, fonctions \(\cos\) et \(\sin\) (chapitre trigonométrie).
I. Point de vue local
1. Taux de variation
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\). Pour un accroissement \(\Delta x \ne 0\) de la variable, l'accroissement correspondant de \(y = f(x)\) est \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\). Le taux de variation de \(f\) entre \(x_0\) et \(x_0 + \Delta x\) est le quotient
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.\]En notant \(h = \Delta x\), il s'écrit aussi \(\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\).
Ce taux est le coefficient directeur (la pente) de la sécante à la courbe \(\mathcal{C}_f\) passant par \(A\big(x_0\,;f(x_0)\big)\) et \(M\big(x_0+\Delta x\,;f(x_0+\Delta x)\big)\).
Sur la figure ci-dessous, déplace le point \(M\) le long de la parabole : la sécante \((AM)\) pivote et le taux de variation affiché est sa pente. Rapproche \(M\) de \(A\) : la sécante se rapproche d'une position limite, la tangente.
La sécante \((AM)\) a pour pente \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). En rapprochant \(M\) de \(A\), on obtient la tangente : sa pente est le nombre dérivé \(f'(x_0)\).
\(\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h.\)
2. Nombre dérivé et ses notations
Lorsque \(\Delta x\) (c'est-à-dire \(h\)) se rapproche de \(0\), si le taux de variation \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) se rapproche d'un nombre réel bien déterminé, ce nombre est le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\). On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) :
\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}.\]Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) s'écrit de plusieurs façons équivalentes :
\[f'(x_0) \qquad \left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)_{x_0} \text{ (à la limite)} \qquad \dfrac{dy}{dx}(x_0) \qquad \dfrac{d f}{dx}(x_0).\]La notation \(\dfrac{dy}{dx}\) (« \(d\,y\) sur \(d\,x\) ») rappelle que le nombre dérivé est un taux de variation infinitésimal : le rapport de variations \(dy\) et \(dx\) « infiniment petites ». C'est la notation privilégiée en physique-chimie, où \(y = f(x)\) traduit une dépendance entre deux grandeurs.
Soit \(f(x) = x^2\) et \(x_0 = 3\). Pour \(h \ne 0\), on a vu que le taux vaut \(6 + h\). Quand \(h \to 0\), ce taux tend vers \(6\). Donc \(f'(3) = 6\), c'est-à-dire \(\dfrac{dy}{dx}(3) = 6\).
\(\dfrac{(2+h)^2 + (2+h) - 6}{h} = \dfrac{4 + 4h + h^2 + 2 + h - 6}{h} = \dfrac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to 0]{} 5.\) Donc \(f'(2) = 5\).
3. Tangente
Lorsque \(f\) est dérivable en \(x_0\), la position limite des sécantes \((AM)\) quand \(M\) tend vers \(A\) est une droite appelée tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0\). Sa pente est le nombre dérivé \(f'(x_0)\).
La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0\) a pour équation
\[\boxed{\,y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).\,}\]Sur la figure ci-dessous, déplace le point \(A\) le long de la courbe de \(f(x)=x^2\) : la tangente glisse et « épouse » la courbe au voisinage du point de contact. Sa pente est \(f'(x_0) = 2x_0\), qui change avec \(x_0\).
Parabole \(f(x)=x^2\) (bleu) et sa tangente (rouge) au point mobile \(A\). La pente de la tangente est le nombre dérivé \(f'(x_0) = 2x_0\).
4. Approximation affine — calculs approchés
Près de \(x_0\), la tangente est très proche de la courbe : la fonction affine \(x \mapsto f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) constitue une bonne approximation de \(f\). En posant \(x = x_0 + \Delta x\) :
\[\boxed{\,f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x \quad \text{pour } \Delta x \text{ proche de } 0.\,}\]Autrement dit, l'accroissement de la grandeur \(y = f(x)\) au premier ordre vaut \(\Delta y \approx f'(x_0)\,\Delta x\).
Avec \(f(x) = x^3\), \(x_0 = 2\), on a \(f'(x) = 3x^2\) donc \(f'(2) = 12\). Alors :
\[(2{,}01)^3 = f(2 + 0{,}01) \approx f(2) + f'(2)\times 0{,}01 = 8 + 12\times 0{,}01 = 8{,}12.\](Valeur exacte \(\approx 8{,}1206\) : l'approximation est excellente pour \(\Delta x\) petit.)
\(f'(x)=2x\), donc \(f'(10)=20\). \(\Delta y \approx f'(10)\,\Delta x = 20 \times 0{,}03 = 0{,}6\ \text{cm}^2\). (Valeur exacte : \((10{,}03)^2-10^2=0{,}6009\ \text{cm}^2\).)
II. Point de vue global : fonction dérivée
5. Fonction dérivée
Une fonction \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) si elle est dérivable en tout point de \(I\). La fonction qui à tout \(x \in I\) associe le nombre dérivé \(f'(x)\) est la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\) (ou \(\dfrac{df}{dx}\)).
6. Dérivées des fonctions de référence
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\ (n \in \mathbb{N}^*)\) | \(n\,x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(]{-}\infty\,;0[\) ou \(]0\,;{+}\infty[\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
Moyen mnémotechnique (au programme) : pour \(n \geqslant -1\), la dérivée de \(x^n\) est \(n\,x^{n-1}\) — la même forme unifiée. En particulier \(\left(\tfrac1x\right)' = (x^{-1})' = -1\cdot x^{-2} = -\tfrac1{x^2}\).
Pour \(f(x) = x^2\) et \(x_0\) réel :
\[\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \dfrac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h} = \dfrac{2x_0h + h^2}{h} = 2x_0 + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2x_0.\]Donc \(f'(x_0) = 2x_0\) pour tout \(x_0\) : la dérivée de \(x^2\) est \(2x\). Le programme généralise ce résultat, ainsi que celui de \(x^3\), à \(x^n\). \(\qquad\blacksquare\)
7. Opérations sur les fonctions dérivables
Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), et \(k\) un réel.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u + v\) | \(u' + v'\) | |
| \(k\,u\) | \(k\,u'\) | |
| \(u \times v\) | \(u'v + uv'\) | |
| \(\dfrac{1}{v}\) | \(-\dfrac{v'}{v^2}\) | \(v \ne 0\) sur \(I\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) | \(v \ne 0\) sur \(I\) |
Soit \(w = u \times v\). On forme le taux de variation en \(x_0\), en ajoutant et retranchant \(u(x_0+h)\,v(x_0)\) au numérateur :
\[\dfrac{w(x_0+h) - w(x_0)}{h} = u(x_0+h) \cdot \dfrac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} + v(x_0) \cdot \dfrac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h}.\]Quand \(h \to 0\) : \(u(x_0+h) \to u(x_0)\), le premier taux tend vers \(v'(x_0)\), le second vers \(u'(x_0)\). Ainsi \(w'(x_0) = u'(x_0)v(x_0) + u(x_0)v'(x_0)\). \(\qquad\blacksquare\) (Le résultat pour le quotient est admis à ce stade ; il sera démontré en terminale à partir de la composition.)
Dériver \(f(x) = (2x+1)(x^2 - 3)\). Posons \(u = 2x+1\) (\(u' = 2\)) et \(v = x^2 - 3\) (\(v' = 2x\)). Alors :
\[f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6.\]\(u = x\) (\(u' = 1\)), \(v = x^2 + 1\) (\(v' = 2x\)). \(g'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{(x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}.\)
8. Dérivée d'un polynôme
En combinant somme et multiplication par une constante, on dérive tout polynôme terme à terme :
\[\big(a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\big)' = n\,a_n x^{n-1} + \cdots + a_1.\]Si \(f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7\), alors \(f'(x) = 9x^2 - 10x + 2\).
\(f'(x) = -6x^2 + 8x - 1.\)
III. Dérivée de \(f(ax+b)\) et des grandeurs sinusoïdales
9. Dérivée de \(x \mapsto f(ax+b)\)
Si \(f\) est dérivable et \(a, b\) sont des réels, alors \(g : x \mapsto f(ax+b)\) est dérivable et
\[\boxed{\,g'(x) = a\,f'(ax+b).\,}\]Le facteur \(a\) provient de la « vitesse » à laquelle la variable interne \(ax+b\) varie.
Pour \(g(x) = \cos(3x)\) : ici \(f = \cos\), \(a = 3\), \(b = 0\). Comme \(f' = -\sin\), on a \(g'(x) = 3\times(-\sin(3x)) = -3\sin(3x)\).
10. Dérivée des grandeurs sinusoïdales (lien physique-chimie)
Pour \(A\), \(\omega\), \(\varphi\) réels (\(\omega\) : pulsation, \(\varphi\) : phase à l'origine), les fonctions du temps \(t\) suivantes sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) :
\[\boxed{\big(A\cos(\omega t+\varphi)\big)' = -A\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi)}\] \[\boxed{\big(A\sin(\omega t+\varphi)\big)' = A\,\omega\,\cos(\omega t+\varphi)}\]Ces formules découlent de la règle du 9 avec \(a = \omega\) : dériver introduit le facteur \(\omega\) et « échange » \(\cos\) et \(\sin\) (avec un signe « moins » lorsqu'on dérive le cosinus).
Pour un signal \(u(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\), la dérivée \(u'(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\) donne la pente de la tangente en chaque instant : c'est la vitesse de variation du signal.
Ici \(A = 12\), \(\omega = 100\pi\), \(\varphi = 0\). Donc \(u'(t) = -12\times 100\pi\,\sin(100\pi\, t) = -1200\pi\,\sin(100\pi\, t)\) (en V/s).
IV. Sens de variation d'une fonction
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f'(x) \geqslant 0\) sur \(I\) (avec \(f'\) non nulle partout), alors \(f\) est croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) \leqslant 0\) sur \(I\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x_0) = 0\) avec changement de signe de \(f'\), \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) (tangente horizontale).
- Calculer \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) (résoudre \(f'(x) = 0\), puis raisonner par intervalles).
- Dresser le tableau de variations : flèche montante là où \(f' \gt 0\), descendante là où \(f' \lt 0\).
Exemple résolu. \(f(x) = x^2 - 4x + 1\). \(f'(x) = 2x - 4 = 2(x-2)\). \(f'(x) \lt 0\) pour \(x \lt 2\), \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 2\). Donc \(f\) décroît sur \(]{-}\infty\,;2]\), croît sur \([2\,;{+}\infty[\), avec un minimum en \(x = 2\) où \(f(2) = -3\).
Tableau de variations de \(f(x)=x^2-4x+1\) : minimum \(-3\) atteint en \(x=2\).
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)\). \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \lt -1\) ou \(x \gt 1\), \(f'(x) \lt 0\) pour \(-1 \lt x \lt 1\). Donc \(f\) croît sur \(]{-}\infty\,;-1]\), décroît sur \([-1\,;1]\), croît sur \([1\,;{+}\infty[\). Maximum local \(f(-1)=2\), minimum local \(f(1)=-2\).
Méthodes-types
- Écrire le taux \(\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\).
- Développer et simplifier par \(h\).
- Faire tendre \(h\) vers \(0\) : la valeur limite est \(f'(x_0)\).
- Identifier la structure (somme, produit, quotient, \(f(ax+b)\), signal sinusoïdal).
- Poser \(u\), \(v\) et calculer \(u'\), \(v'\) (ou repérer \(a\), \(b\), \(\omega\), \(\varphi\)).
- Appliquer la formule adaptée, puis réduire.
Exemple résolu. \(f(x) = \sin(2x+1)\). Avec \(a = 2\) : \(f'(x) = 2\cos(2x+1)\).
Erreurs fréquentes / points de vigilance
❌ Faire tendre \(h\) vers \(0\) sans avoir simplifié par \(h\) (forme \(\tfrac00\)).
✅ Toujours simplifier par \(h\) d'abord, puis remplacer \(h\) par \(0\).
❌ Écrire \((uv)' = u'v'\).
✅ \((uv)' = u'v + uv'\) : produit dérivé, terme par terme.
❌ Se tromper de signe : écrire \((\cos)' = \sin\).
✅ \((\cos x)' = -\sin x\) et \((\sin x)' = \cos x\) (le signe « moins » est sur le cosinus).
❌ Oublier le facteur \(\omega\) en dérivant \(A\cos(\omega t+\varphi)\).
✅ \((A\cos(\omega t+\varphi))' = -A\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi)\) : le \(\omega\) descend devant.
❌ Conclure la variation à partir de \(f\) au lieu du signe de \(f'\).
✅ Le sens de variation se lit sur le signe de \(f'\), pas sur celui de \(f\).
L'essentiel à retenir
- Nombre dérivé : \(f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), noté aussi \(\dfrac{dy}{dx}(x_0)\) = pente de la tangente en \(x_0\).
- Tangente : \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\). Approximation affine : \(\Delta y \approx f'(x_0)\,\Delta x\).
- Dérivées usuelles : \((x^n)' = n x^{n-1}\), \(\left(\tfrac1x\right)' = -\tfrac{1}{x^2}\), \((\cos x)' = -\sin x\), \((\sin x)' = \cos x\).
- Opérations : \((uv)' = u'v + uv'\), \(\left(\tfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), \(\big(f(ax+b)\big)' = a\,f'(ax+b)\).
- Signaux : \((A\cos(\omega t+\varphi))' = -A\omega\sin(\omega t+\varphi)\), \((A\sin(\omega t+\varphi))' = A\omega\cos(\omega t+\varphi)\).
- Sens de variation : \(f' \gt 0 \Rightarrow f\) croît ; \(f' \lt 0 \Rightarrow f\) décroît.