Fiche – Dérivées

Chapitre 14 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Le nombre dérivé \(f'(x_0)\) est la limite du taux de variation \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) quand \(\Delta x \to 0\) ; c'est la pente de la tangente en \(x_0\).
Notations équivalentes : \(f'(x_0)\), \(\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)_{x_0}\), \(\dfrac{dy}{dx}(x_0)\), \(\dfrac{df}{dx}(x_0)\).
Dériver, c'est calculer une vitesse de variation : signe de \(f'\) → sens de variation.
Pour un signal sinusoïdal, dériver introduit le facteur \(\omega\) et échange \(\cos\)/\(\sin\).

Définitions clés

Nombre dérivé

\(f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\). C'est la pente de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(x_0\).

Tangente

\(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\).

Approximation affine

Pour \(\Delta x\) proche de \(0\) : \(f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x\), soit \(\Delta y \approx f'(x_0)\,\Delta x\).

Fonction dérivée

\(f'\) associe à chaque \(x\) le nombre dérivé \(f'(x)\). On la note aussi \(\dfrac{df}{dx}\).

À connaître par cœur

Dérivées usuelles \[(k)' = 0 \qquad (x)' = 1 \qquad (x^n)' = n\,x^{n-1}\ (n\in\mathbb{N}^*)\] \[\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac1{x^2} \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (\sin x)' = \cos x\]

Opérations \[(u+v)' = u' + v' \qquad (k\,u)' = k\,u' \qquad (uv)' = u'v + uv'\] \[\left(\dfrac1v\right)' = -\dfrac{v'}{v^2} \qquad \left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\]

Fonction composée affine \[\big(f(ax+b)\big)' = a\,f'(ax+b)\]

Signaux sinusoïdaux (lien physique) \[\big(A\cos(\omega t+\varphi)\big)' = -A\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi)\] \[\big(A\sin(\omega t+\varphi)\big)' = A\,\omega\,\cos(\omega t+\varphi)\]

Sens de variation

\(f'(x) \gt 0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) croissante sur \(I\).
\(f'(x) \lt 0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) décroissante sur \(I\).
\(f'(x_0) = 0\) avec changement de signe \(\Rightarrow\) extremum local en \(x_0\).

Méthodes

Méthode — Étudier le sens de variation

Calculer \(f'(x)\).
Résoudre \(f'(x) = 0\), déterminer le signe de \(f'\) par intervalles.
Dresser le tableau de variations (flèche ↗ si \(f'\gt0\), ↘ si \(f'\lt0\)).

Méthode — Dériver une expression composée

Repérer la structure : somme, produit, quotient, \(f(ax+b)\), signal.
Poser \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\) (ou identifier \(a\), \(b\), \(\omega\), \(\varphi\)).
Appliquer la formule, puis réduire.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ \((uv)' = u'v'\).

✅ \((uv)' = u'v + uv'\).

❌ \((\cos x)' = \sin x\).

✅ \((\cos x)' = -\sin x\) (signe moins) et \((\sin x)' = \cos x\).

❌ Oublier le facteur \(\omega\) en dérivant un signal.

✅ \((A\cos(\omega t+\varphi))' = -A\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi)\).

❌ Lire le sens de variation sur le signe de \(f\).

✅ Le sens de variation dépend du signe de \(f'\).

Exemple rapide

Exemple — étude express

\(f(x) = x^2 - 6x + 1\). \(f'(x) = 2x - 6 = 2(x - 3)\).

\(f'(x) \lt 0\) pour \(x \lt 3\), \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 3\).
\(f\) décroît sur \(]{-}\infty\,;3]\), croît sur \([3\,;{+}\infty[\).
Minimum en \(x = 3\) : \(f(3) = 9 - 18 + 1 = -8\).
Tangente en \(x_0 = 0\) : \(f(0)=1\), \(f'(0)=-6\), \(y = 1 - 6x\).