Chapitre 14 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit \(f(x) = x^2 + 3x\).
1. Calculer et simplifier le taux de variation de \(f\) entre \(x_0 = 1\) et \(1 + h\) (\(h \ne 0\)).
2. En déduire \(f'(1)\).
1. \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \dfrac{1 + 2h + h^2 + 3 + 3h - 4}{h} = \dfrac{5h + h^2}{h} = 5 + h.\)
2. Quand \(h \to 0\), le taux tend vers \(5\). Donc \(f'(1) = 5\).
Dériver chacune des fonctions.
1. \(f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5\)
2. \(g(x) = 5x^4 - x^2 + 3\)
3. \(h(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - 6x + 1\)
1. \(f'(x) = 12x^2 - 4x + 7.\)
2. \(g'(x) = 20x^3 - 2x.\)
3. \(h'(x) = 2x^2 - 6.\)
Dériver, en précisant \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\).
1. \(f(x) = (3x - 2)(x^2 + 1)\)
2. \(g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\)
3. \(h(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\) sur \(]3\,;+\infty[\)
1. \(u = 3x-2\) (\(u'=3\)), \(v = x^2+1\) (\(v'=2x\)). \(f'(x) = 3(x^2+1) + (3x-2)(2x) = 3x^2 + 3 + 6x^2 - 4x = 9x^2 - 4x + 3.\)
2. \(v = x^2+1\) (\(v'=2x\)). \(g'(x) = -\dfrac{v'}{v^2} = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}.\)
3. \(u = 2x+1\) (\(u'=2\)), \(v = x-3\) (\(v'=1\)). \(h'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1)}{(x-3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}.\)
1. Soit \(f(x) = x^2\), \(x_0 = 5\). Donner l'approximation affine de \(f(5 + \Delta x)\).
2. En déduire une valeur approchée de \((5{,}02)^2\).
3. Un cube d'arête \(a_0 = 4\) cm est dilaté : son arête augmente de \(\Delta a = 0{,}05\) cm. Estimer la variation de volume \(\Delta V\) avec \(V(a) = a^3\).
1. \(f'(x) = 2x\), \(f'(5) = 10\). Donc \(f(5+\Delta x) \approx f(5) + 10\,\Delta x = 25 + 10\,\Delta x.\)
2. Avec \(\Delta x = 0{,}02\) : \((5{,}02)^2 \approx 25 + 10\times 0{,}02 = 25{,}2.\) (Valeur exacte : \(25{,}2004\).)
3. \(V'(a) = 3a^2\), \(V'(4) = 48\). \(\Delta V \approx V'(4)\,\Delta a = 48 \times 0{,}05 = 2{,}4\ \text{cm}^3.\)
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 3\).
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0 = 3\).
3. Existe-t-il un point où la tangente est horizontale ? Si oui, préciser son abscisse.
1. \(f'(x) = 2x - 2.\)
2. \(f(3) = 9 - 6 + 3 = 6\), \(f'(3) = 4\). \(T : y = 6 + 4(x - 3) = 4x - 6.\)
3. Tangente horizontale \(\iff f'(x) = 0 \iff 2x - 2 = 0 \iff x = 1\). Point \((1\,;2)\).
Dériver.
1. \(f(x) = 3\cos x - 2\sin x\)
2. \(g(x) = \sin(4x)\)
3. \(h(x) = \cos(2x - 1)\)
4. \(k(x) = (3x + 5)^2\) (indication : \(f(u)=u^2\), \(a=3\), \(b=5\))
1. \(f'(x) = -3\sin x - 2\cos x.\)
2. \(a = 4\) : \(g'(x) = 4\cos(4x).\)
3. \(a = 2\), \(f=\cos\), \(f'=-\sin\) : \(h'(x) = 2\times(-\sin(2x-1)) = -2\sin(2x-1).\)
4. \(k'(x) = a\,f'(ax+b) = 3\times 2(3x+5) = 6(3x+5) = 18x + 30.\) (On peut vérifier en développant \((3x+5)^2 = 9x^2+30x+25\), de dérivée \(18x+30\). ✓)
Une tension alternative est modélisée par \(u(t) = 230\sqrt{2}\,\cos(100\pi\, t)\) (\(u\) en volts, \(t\) en secondes).
1. Identifier l'amplitude \(A\), la pulsation \(\omega\) et la phase à l'origine \(\varphi\).
2. Calculer \(u'(t)\).
3. Un courant vaut \(i(t) = 5\sin(100\pi\, t + \tfrac{\pi}{6})\) (en A). Calculer \(i'(t)\).
1. \(A = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}\), \(\omega = 100\pi\ \text{rad/s}\), \(\varphi = 0\).
2. \(u'(t) = -A\omega\sin(\omega t) = -230\sqrt{2}\times 100\pi\,\sin(100\pi\, t) = -23000\sqrt{2}\,\pi\,\sin(100\pi\, t)\) (en V/s).
3. \((A\sin(\omega t+\varphi))' = A\omega\cos(\omega t+\varphi)\), donc \(i'(t) = 5\times 100\pi\,\cos\!\left(100\pi\, t + \tfrac{\pi}{6}\right) = 500\pi\,\cos\!\left(100\pi\, t + \tfrac{\pi}{6}\right)\) (en A/s).
Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et le factoriser.
2. Étudier le signe de \(f'(x)\).
3. Dresser le tableau de variations et préciser les extrema locaux.
1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3).\)
2. \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \lt 1\) ou \(x \gt 3\) ; \(f'(x) \lt 0\) pour \(1 \lt x \lt 3\) ; \(f'(x) = 0\) en \(x = 1\) et \(x = 3\).
3. \(f\) croît sur \(]{-}\infty\,;1]\), décroît sur \([1\,;3]\), croît sur \([3\,;{+}\infty[\).
Maximum local \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\) ; minimum local \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\).
La concentration d'un réactif au cours d'une transformation, en \(\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\), est modélisée en fonction du temps \(x\) (en minutes) par
\[C(x) = x^3 - 9x^2 + 27x + 5, \qquad x \in [0\,;6].\]1. Calculer \(C'(x)\) et le factoriser.
2. Étudier le signe de \(C'(x)\) sur \([0\,;6]\) et dresser le tableau de variations de \(C\).
3. À l'aide de l'approximation affine, estimer la variation de concentration lorsque \(x\) passe de \(x_0 = 2\) à \(2{,}1\) (min).
4. Déterminer l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_C\) au point d'abscisse \(x_0 = 2\).
1. \(C'(x) = 3x^2 - 18x + 27 = 3(x^2 - 6x + 9) = 3(x - 3)^2.\)
2. \(3(x-3)^2 \geqslant 0\) pour tout \(x\), et \(C'(x) = 0\) uniquement en \(x = 3\). Donc \(C'(x) \geqslant 0\) sur \([0\,;6]\) : \(C\) est croissante sur \([0\,;6]\) (la dérivée s'annule en \(x=3\) sans changer de signe : simple palier de tangente horizontale, pas d'extremum). \(C(0) = 5\), \(C(6) = 216 - 324 + 162 + 5 = 59\).
3. \(C'(2) = 3(2-3)^2 = 3\). \(\Delta C \approx C'(2)\times \Delta x = 3 \times 0{,}1 = 0{,}3\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\).
4. \(C(2) = 8 - 36 + 54 + 5 = 31\), \(C'(2) = 3\). Tangente : \(y = 31 + 3(x - 2) = 3x + 25.\)