Chapitre 13 – Produit scalaire

Propriété — Signe du produit scalaire

• Si \(\theta\) est aigu (\(0\leqslant\theta\lt\tfrac{\pi}{2}\)), \(\cos\theta\gt 0\) : le produit scalaire est positif.
• Si \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\), \(\cos\theta=0\) : le produit scalaire est nul.
• Si \(\theta\) est obtus (\(\tfrac{\pi}{2}\lt\theta\leqslant\pi\)), \(\cos\theta\lt 0\) : le produit scalaire est négatif.

Propriété — Carré scalaire

Pour tout vecteur \(\vec u\) : \(\vec u\cdot\vec u=\lVert\vec u\rVert^2\) (car \(\theta=0\) et \(\cos 0=1\)). On le note \(\vec u^{\,2}\), et donc \(\lVert\vec u\rVert=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\).

Théorème — Produit scalaire et projection

Soit \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AC}\). En notant \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\) :

\[\vec u\cdot\vec v=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times\overline{AH},\]

produit des mesures algébriques : positif si \(H\) est du même côté que \(B\) par rapport à \(A\), négatif sinon. On dit que \(\overline{AH}=\lVert\vec v\rVert\cos\theta\) est la projection de \(\vec v\) sur l'axe dirigé par \(\vec u\).

Théorème — Symétrie et bilinéarité

Pour tous vecteurs \(\vec u,\ \vec v,\ \vec w\) et tout réel \(k\) :

• Symétrie : \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\) ;
• Bilinéarité : \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) et \((k\vec u)\cdot\vec v=k\,(\vec u\cdot\vec v)=\vec u\cdot(k\vec v)\).

Ces règles permettent de développer les produits scalaires comme un calcul algébrique ordinaire.

Propriété — Développement des normes

En développant \(\lVert\vec u\pm\vec v\rVert^2=(\vec u\pm\vec v)\cdot(\vec u\pm\vec v)\) et en utilisant la symétrie :

\[\lVert\vec u+\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2,\qquad \lVert\vec u-\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2.\]

D'où l'identité de polarisation, qui calcule un produit scalaire à partir des normes :

\[\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\Big(\lVert\vec u\rVert^2+\lVert\vec v\rVert^2-\lVert\vec u-\vec v\rVert^2\Big).\]

Théorème — Produit scalaire et norme par les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si \(\vec u\,(x\,;y)\) et \(\vec v\,(x'\,;y')\), alors :

\[\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'.\]

En conséquence :

\[\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \vec u\perp\vec v\iff xx'+yy'=0.\]

Théorème — Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux si et seulement si :

\[\vec u\cdot\vec v=0.\]

En effet, pour des vecteurs non nuls, \(\vec u\cdot\vec v=0\iff\cos\theta=0\iff\theta=\tfrac{\pi}{2}\). Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Théorème — Formule d'Al-Kashi

Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) les longueurs des côtés et \(\widehat{A}\) l'angle en \(A\) :

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}.\]

C'est la généralisation du théorème de Pythagore, que l'on retrouve si \(\widehat{A}=\tfrac{\pi}{2}\), car \(\cos\tfrac{\pi}{2}=0\).

Théorème — Égalité du parallélogramme

Pour tous vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) :

\[\lVert\vec u+\vec v\rVert^2+\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=2\big(\lVert\vec u\rVert^2+\lVert\vec v\rVert^2\big).\]

Dans un parallélogramme, la somme des carrés des deux diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés.

Conséquences (bilinéarité et orthogonalité)

• Une force perpendiculaire au déplacement (\(\alpha=90°\)) a un travail nul : \(\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=0\).
• Le travail de la force résultante est la somme des travaux : \((\vec F_1+\vec F_2)\cdot\overrightarrow{AB}=\vec F_1\cdot\overrightarrow{AB}+\vec F_2\cdot\overrightarrow{AB}\) (bilinéarité).

from math import sqrt, acos, degrees

def produit_scalaire(u, v):
    return u[0]*v[0] + u[1]*v[1]

def norme(u):
    return sqrt(u[0]**2 + u[1]**2)

def angle_degres(u, v):
    """Angle non oriente (degres) entre deux vecteurs non nuls."""
    c = produit_scalaire(u, v) / (norme(u) * norme(v))
    return degrees(acos(c))

u = (2, 1)
v = (1, 3)
print(produit_scalaire(u, v))          # 5
print(round(angle_degres(u, v), 1))    # 45.0