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Exercices – Chapitre 13 – Produit scalaire

Chapitre 13 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Conseils : les exercices sont classés du plus simple au plus complet (« Problème type »). Cherche d'abord seul, puis clique sur Voir la correction. Rappels : \(\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta=xx'+yy'\) ; \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\) ; Al-Kashi \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}\).

Exercice 1 — Produit scalaire par les normes et l'angle

Dans chaque cas, calculer \(\vec u\cdot\vec v\).

  1. \(\lVert\vec u\rVert=6\), \(\lVert\vec v\rVert=2\), \(\theta=0°\).
  2. \(\lVert\vec u\rVert=6\), \(\lVert\vec v\rVert=2\), \(\theta=90°\).
  3. \(\lVert\vec u\rVert=6\), \(\lVert\vec v\rVert=2\), \(\theta=120°\).

a) \(\vec u\cdot\vec v=6\times 2\times\cos 0°=12\times 1=12\).

b) \(\vec u\cdot\vec v=6\times 2\times\cos 90°=12\times 0=0\) (vecteurs orthogonaux).

c) \(\vec u\cdot\vec v=6\times 2\times\cos 120°=12\times\big(-\tfrac12\big)=-6\).

Exercice 2 — Coordonnées en base orthonormée

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On donne \(\vec u\,(4\,;-1)\) et \(\vec v\,(2\,;3)\).

  1. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\).
  2. Calculer \(\lVert\vec u\rVert\) et \(\lVert\vec v\rVert\).
  3. Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont-ils orthogonaux ?

a) \(\vec u\cdot\vec v=4\times 2+(-1)\times 3=8-3=5\).

b) \(\lVert\vec u\rVert=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}\approx 4{,}12\) ; \(\lVert\vec v\rVert=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx 3{,}61\).

c) \(\vec u\cdot\vec v=5\neq 0\) : les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Exercice 3 — Projection orthogonale

Soit \(A\), \(B\), \(C\) avec \(AB=8\), \(AC=5\) et l'angle \(\widehat{BAC}=40°\).

  1. Calculer la projection \(\overline{AH}\) de \(\overrightarrow{AC}\) sur la droite \((AB)\) (arrondir au centième).
  2. En déduire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
  3. Retrouver ce résultat par la formule des normes et de l'angle.

a) \(\overline{AH}=AC\cos 40°=5\times 0{,}766=3{,}83\).

b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times\overline{AH}=8\times 3{,}83\approx 30{,}6\).

c) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos 40°=8\times 5\times 0{,}766\approx 30{,}6\) : cohérent.

Exercice 4 — Développer avec la bilinéarité

On donne \(\lVert\vec u\rVert=3\), \(\lVert\vec v\rVert=4\) et \(\vec u\cdot\vec v=5\).

  1. Calculer \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)\) puis \(\lVert\vec u+\vec v\rVert\).
  2. Calculer \((2\vec u-\vec v)\cdot\vec u\).

a) \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\lVert\vec u\rVert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2=9+2\times 5+16=35\). Donc \(\lVert\vec u+\vec v\rVert=\sqrt{35}\approx 5{,}92\).

b) \((2\vec u-\vec v)\cdot\vec u=2\,\vec u\cdot\vec u-\vec v\cdot\vec u=2\lVert\vec u\rVert^2-\vec u\cdot\vec v=2\times 9-5=13\).

Exercice 5 — Orthogonalité et paramètre

Dans un repère orthonormé, \(\vec u\,(3\,;-2)\) et \(\vec v\,(m\,;6)\), où \(m\) est un réel.

  1. Exprimer \(\vec u\cdot\vec v\) en fonction de \(m\).
  2. Déterminer \(m\) pour que \(\vec u\) et \(\vec v\) soient orthogonaux.

a) \(\vec u\cdot\vec v=3m+(-2)\times 6=3m-12\).

b) \(\vec u\perp\vec v\iff 3m-12=0\iff m=4\).

Exercice 6 — Angle dans un triangle repéré

Dans un repère orthonormé, \(A(1\,;1)\), \(B(5\,;2)\) et \(C(2\,;4)\).

  1. Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\) et \(\lVert\overrightarrow{AC}\rVert\).
  3. En déduire une valeur approchée de l'angle \(\widehat{BAC}\).

a) \(\overrightarrow{AB}\,(4\,;1)\) et \(\overrightarrow{AC}\,(1\,;3)\).

b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times 1+1\times 3=7\) ; \(\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{17}\) ; \(\lVert\overrightarrow{AC}\rVert=\sqrt{10}\).

c) \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{7}{\sqrt{17}\times\sqrt{10}}=\dfrac{7}{\sqrt{170}}\approx 0{,}537\), donc \(\widehat{BAC}\approx 57{,}5°\).

Exercice 7 — Al-Kashi et égalité du parallélogramme

Partie A. Dans un triangle \(ABC\), \(AB=7\), \(AC=9\) et \(\widehat{A}=110°\).

  1. Calculer la longueur \(BC\) (au centième).

Partie B. Un parallélogramme a des côtés de longueurs \(\lVert\vec u\rVert=5\) et \(\lVert\vec v\rVert=8\), et une diagonale \(\lVert\vec u+\vec v\rVert=11\).

  1. À l'aide de l'égalité du parallélogramme, calculer la longueur de l'autre diagonale \(\lVert\vec u-\vec v\rVert\).

a) \(BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos 110°=49+81-2\times 7\times 9\times(-0{,}342)\).

\(BC^2=130+126\times 0{,}342=130+43{,}1=173{,}1\), donc \(BC\approx 13{,}16\).

b) Égalité du parallélogramme : \(\lVert\vec u+\vec v\rVert^2+\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=2(\lVert\vec u\rVert^2+\lVert\vec v\rVert^2)\).

\(121+\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=2(25+64)=178\), donc \(\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=57\) et \(\lVert\vec u-\vec v\rVert=\sqrt{57}\approx 7{,}55\).

Exercice 8 — Problème type : travail d'une force sur un plan incliné

Un chariot est tracté le long d'un plan incliné rectiligne \([AB]\) de longueur \(AB=12\) m. La force de traction \(\vec F\) a pour intensité \(\lVert\vec F\rVert=300\) N et fait un angle \(\alpha=25°\) avec le déplacement. Le chariot subit aussi son poids \(\vec P\) (vertical, vers le bas, \(\lVert\vec P\rVert=800\) N) ; le déplacement \(\overrightarrow{AB}\) fait un angle de \(18°\) avec l'horizontale.

  1. Calculer le travail \(W_{AB}(\vec F)\) de la force de traction (au joule près).
  2. La réaction normale du support \(\vec R\) est perpendiculaire au déplacement. Que vaut son travail ? Justifier.
  3. L'angle entre le poids \(\vec P\) et le déplacement \(\overrightarrow{AB}\) vaut \(90°+18°=108°\). Calculer le travail \(W_{AB}(\vec P)\) et commenter son signe.
  4. En admettant que la résultante des forces est \(\vec F+\vec P+\vec R\), exprimer le travail total et vérifier la propriété de bilinéarité.

a) \(W_{AB}(\vec F)=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=\lVert\vec F\rVert\times AB\times\cos 25°=300\times 12\times 0{,}9063\approx 3263\ \text{J}\) (travail moteur, positif).

b) \(\vec R\) est perpendiculaire au déplacement, donc \(\vec R\cdot\overrightarrow{AB}=\lVert\vec R\rVert\times AB\times\cos 90°=0\). Son travail est nul.

c) \(W_{AB}(\vec P)=\lVert\vec P\rVert\times AB\times\cos 108°=800\times 12\times(-0{,}309)\approx -2966\ \text{J}\). Le travail est négatif (travail résistant) : le poids s'oppose à la montée.

d) Par bilinéarité : \((\vec F+\vec P+\vec R)\cdot\overrightarrow{AB}=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}+\vec P\cdot\overrightarrow{AB}+\vec R\cdot\overrightarrow{AB}\). Le travail total est la somme des travaux : \(W_{\text{tot}}\approx 3263-2966+0=297\ \text{J}\).

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