Fiche – Produit scalaire

Chapitre 13 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Le produit scalaire \(\vec u\cdot\vec v\) est un nombre réel : \(\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta=xx'+yy'\) (base orthonormée).
Son signe est celui de \(\cos\theta\) : positif si \(\theta\) aigu, nul si \(\theta=90°\), négatif si \(\theta\) obtus.
Orthogonalité : \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).
Al-Kashi \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}\) généralise Pythagore ; en physique, le travail \(W=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}\).

Définitions clés

Définition géométrique

Pour \(\vec u\), \(\vec v\) non nuls et \(\theta\) l'angle entre eux : \(\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta\). Si \(\vec u=\vec 0\) ou \(\vec v=\vec 0\), alors \(\vec u\cdot\vec v=0\).

Carré scalaire

\(\vec u\cdot\vec u=\lVert\vec u\rVert^2\), donc \(\lVert\vec u\rVert=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\).

Projection orthogonale

Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times\overline{AH}\), avec \(\overline{AH}=\lVert\overrightarrow{AC}\rVert\cos\theta\).

Orthogonalité

\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\). Deux vecteurs non nuls peuvent être orthogonaux.

À connaître par cœur

Les deux expressions \[\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta \qquad \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\ \text{(base orthonormée)}\] \[\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2} \qquad \cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert}\]

Symétrie et bilinéarité \[\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u \qquad \vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w \qquad (k\vec u)\cdot\vec v=k\,(\vec u\cdot\vec v)\]

Développement des normes \[\lVert\vec u+\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2\] \[\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2\]

Al-Kashi et parallélogramme \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}\] \[\lVert\vec u+\vec v\rVert^2+\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=2\big(\lVert\vec u\rVert^2+\lVert\vec v\rVert^2\big)\]

Travail d'une force (lien physique) \[W_{AB}(\vec F)=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=\lVert\vec F\rVert\times AB\times\cos\alpha\ \text{(en joules)}\]

Méthodes

Méthode — Démontrer une orthogonalité

Écrire les coordonnées des deux vecteurs (repère orthonormé).
Calculer \(xx'+yy'\).
Conclure : résultat \(0\) \(\Rightarrow\) vecteurs orthogonaux.

Méthode — Calculer un angle

Calculer \(\vec u\cdot\vec v\), \(\lVert\vec u\rVert\), \(\lVert\vec v\rVert\).
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert}\).
\(\theta=\arccos(\cos\theta)\) (entre \(0\) et \(\pi\)).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Écrire que \(\vec u\cdot\vec v\) est un vecteur.

✅ C'est un nombre réel.

❌ Utiliser \(xx'+yy'\) en base non orthonormée.

✅ Formule valable uniquement en base orthonormée.

❌ Oublier le \(-\) du terme correcteur d'Al-Kashi.

✅ \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}\), l'angle est opposé au côté \(a\).

❌ Croire que \(\vec u\cdot\vec v=0\) impose \(\vec u=\vec 0\).

✅ Deux vecteurs non nuls peuvent être orthogonaux.

Exemple rapide

Exemple — calcul express

Repère orthonormé, \(\vec u\,(2\,;1)\) et \(\vec v\,(1\,;3)\).

\(\vec u\cdot\vec v=2\times 1+1\times 3=5\).
\(\lVert\vec u\rVert=\sqrt5\), \(\lVert\vec v\rVert=\sqrt{10}\).
\(\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt5\times\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt2}\), donc \(\theta=45°\).