Chapitre 15 – Primitives et méthode d'Euler
Chapitre 15 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30
Objectifs du chapitre
- Connaître la définition d'une primitive d'une fonction sur un intervalle.
- Savoir que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
- Déterminer les primitives d'un polynôme.
- Déterminer les primitives de \(t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)\) et \(t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi)\).
- Calculer des primitives et identifier celle qui vérifie une condition initiale.
- Construire point par point, par la méthode d'Euler, une approximation de la solution d'un problème de Cauchy \(y' = f(t),\ y(t_0) = y_0\).
Le calcul de primitives est l'opération réciproque de la dérivation : au lieu de partir d'une fonction pour trouver sa dérivée, on part d'une dérivée pour remonter à la fonction. En physique, cette opération est partout : connaissant une vitesse \(v(t)\), on remonte à la position \(x(t)\) ; connaissant une accélération, on remonte à la vitesse ; connaissant une puissance, on remonte à l'énergie. Lorsqu'une primitive n'a pas d'expression simple, la méthode d'Euler permet d'en construire une approximation point par point. Prérequis : dérivation (dérivées usuelles, dérivée de \(\cos\) et \(\sin\), opérations), fonctions trigonométriques.
I. Notion de primitive
1. Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On dit qu'une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et que
\[F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I.\]Autrement dit, \(F\) est une fonction dont la dérivée est \(f\).
Soit \(f(x) = 2x\). La fonction \(F(x) = x^2\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) car \(F'(x) = 2x = f(x)\).
Mais \(G(x) = x^2 + 5\) convient aussi : \(G'(x) = 2x = f(x)\). Une fonction possède donc plusieurs primitives.
Pour dériver, on part de \(F\) et on descend vers \(f = F'\). Pour primitiver, on part de \(f\) et on remonte vers \(F\). C'est l'opération inverse. Pour vérifier une primitive, il suffit toujours de la dériver et de retomber sur \(f\).
On dérive : \(F'(x) = 3x^2 - 4 = f(x)\). Donc \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Deux primitives diffèrent d'une constante
Soit \(f\) une fonction admettant une primitive \(F\) sur un intervalle \(I\). Alors :
- \(f\) admet une infinité de primitives sur \(I\) ;
- ce sont exactement les fonctions de la forme \(x \mapsto F(x) + k\), où \(k\) est une constante réelle quelconque.
En résumé : deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\), alors \((G - F)' = G' - F' = f - f = 0\). Une fonction de dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante : donc \(G - F = k\), soit \(G = F + k\).
Lecture géométrique : deux primitives ont en tout point la même pente ; leurs courbes sont « parallèles », l'une se déduisant de l'autre par une translation verticale.
Les primitives d'une même fonction forment une famille de courbes « parallèles », déduites par translation verticale.
Parmi toutes les primitives de \(f\) sur \(I\), il en existe une seule qui prend une valeur imposée \(y_0\) en un point \(t_0\) donné : c'est celle qui vérifie \(F(t_0) = y_0\). La constante \(k\) est alors entièrement déterminée.
\(F(1) = 1^2 + k = 1 + k\). On veut \(F(1) = 5\), donc \(1 + k = 5\), soit \(k = 4\). La primitive cherchée est \(F(x) = x^2 + 4\).
II. Calcul de primitives
3. Primitives usuelles
Chaque ligne se lit « une primitive de \(f\) est \(F\) » (la primitive générale s'obtient en ajoutant une constante \(+k\)). Ces formules se vérifient en dérivant \(F\).
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Sur |
|---|---|---|
| \(a\) (constante) | \(a\,x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(\dfrac{x^2}{2}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\ (n \in \mathbb{N})\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
Pour primitiver \(x^n\), on augmente l'exposant de 1 puis on divise par le nouvel exposant :
\[x^n \ \longrightarrow\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.\]C'est l'exact inverse de la dérivation \((x^{n+1})' = (n+1)x^n\). Vérification : \(\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \dfrac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n\). ✓
\(F(x) = \dfrac{x^5}{5}\) (on vérifie : \(F'(x) = \dfrac{5x^4}{5} = x^4\)). \(\quad G(x) = \dfrac{x^6}{6}\).
4. Linéarité — primitive d'un polynôme
Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\), et si \(a\), \(b\) sont deux réels, alors :
- \(a\,F + b\,G\) est une primitive de \(a\,f + b\,g\) ;
- en particulier, on primitive un polynôme terme à terme.
Soit \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\). On primitive chaque terme :
\[F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 5x + k = x^3 - 2x^2 + 5x + k.\]Vérification : \(F'(x) = 3x^2 - 4x + 5 = f(x)\). ✓
\(F(x) = 4 \cdot \dfrac{x^4}{4} - 6 \cdot \dfrac{x^2}{2} + x + k = x^4 - 3x^2 + x + k\), avec \(k \in \mathbb{R}\).
5. Primitives de \(A\cos(\omega t + \varphi)\) et \(A\sin(\omega t + \varphi)\)
Soit \(A\), \(\omega\ (\omega \ne 0)\) et \(\varphi\) trois réels. Sur \(\mathbb{R}\) :
\[\boxed{\ t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi) \quad \text{a pour primitive} \quad t \mapsto \dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi) + k.\ }\] \[\boxed{\ t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi) \quad \text{a pour primitive} \quad t \mapsto -\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi) + k.\ }\]Posons \(F(t) = \dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi)\). En dérivant la fonction composée \(\sin(\omega t + \varphi)\), on multiplie par la dérivée de l'intérieur \(\omega\) :
\[F'(t) = \dfrac{A}{\omega} \times \omega\cos(\omega t + \varphi) = A\cos(\omega t + \varphi).\ \checkmark\]De même, \(\big(-\tfrac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi)\big)' = -\dfrac{A}{\omega} \times \big(-\omega\sin(\omega t + \varphi)\big) = A\sin(\omega t + \varphi)\). ✓
Deux pièges classiques : (1) ne pas oublier de diviser par \(\omega\) (car la dérivée fait apparaître un facteur \(\omega\)) ; (2) la primitive de \(\sin\) est \(-\cos\) (signe moins), celle de \(\cos\) est \(+\sin\).
Soit \(i(t) = 3\cos(100t + 0{,}5)\) (une intensité en fonction du temps). Une primitive est :
\[I(t) = \dfrac{3}{100}\sin(100t + 0{,}5) = 0{,}03\,\sin(100t + 0{,}5).\]\(F(t) = -\dfrac{5}{2}\cos(2t)\) (vérif. : \(F'(t) = -\tfrac52 \times (-2\sin(2t)) = 5\sin(2t)\) ✓).
\(G(t) = \dfrac{4}{3}\sin\!\big(3t - \tfrac{\pi}{4}\big)\).
III. Méthode d'Euler et problème de Cauchy
6. Problème de Cauchy
On appelle ici problème de Cauchy la donnée simultanée :
\[y' = f(t) \qquad \text{et} \qquad y(t_0) = y_0,\]c'est-à-dire : trouver la fonction \(y\) dont la dérivée est la fonction connue \(f\) et qui prend la valeur imposée \(y_0\) à l'instant \(t_0\). Cette fonction \(y\) est l'unique primitive de \(f\) vérifiant \(y(t_0) = y_0\).
Toutes les fonctions n'ont pas de primitive « calculable » avec les formules connues. Par exemple \(t \mapsto \dfrac{1}{1 + t^2}\) ou \(t \mapsto \dfrac{1}{t}\) n'ont pas de primitive exprimable au moyen des fonctions étudiées à ce stade. Dans ce cas, on construit une approximation point par point de la solution : c'est la méthode d'Euler.
7. Principe de la méthode d'Euler
On part du point connu \((t_0\,; y_0)\). Sur un petit intervalle de largeur \(h\) (le pas), on remplace la courbe par sa tangente. Comme la pente de la tangente en \(t_n\) vaut \(y'(t_n) = f(t_n)\), l'approximation affine donne :
\[y(t_n + h) \approx y(t_n) + h\,f(t_n).\]On note \(y_n\) l'approximation de \(y(t_n)\) et \(t_{n+1} = t_n + h\). On obtient le schéma d'Euler :
\[\boxed{\ t_{n+1} = t_n + h \qquad y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n).\ }\]À chaque pas, on avance d'un petit segment de pente \(f(t_n)\). La ligne brisée (indigo) approche la courbe solution (pointillés). Plus le pas \(h\) est petit, meilleure est l'approximation.
- Partir de \((t_0\,; y_0)\) et choisir un pas \(h\).
- Calculer la pente \(f(t_n)\) au point courant.
- Avancer : \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\) et \(t_{n+1} = t_n + h\).
- Répéter jusqu'à l'abscisse voulue.
Résolvons approximativement \(y' = 2t\), \(y(0) = 1\), avec un pas \(h = 0{,}5\), pour \(t\) de \(0\) à \(1{,}5\). Ici \(f(t) = 2t\).
| \(n\) | \(t_n\) | \(y_n\) | \(f(t_n) = 2t_n\) | \(y_{n+1} = y_n + 0{,}5\,f(t_n)\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | \(1 + 0{,}5 \times 0 = 1\) |
| 1 | 0,5 | 1 | 1 | \(1 + 0{,}5 \times 1 = 1{,}5\) |
| 2 | 1 | 1,5 | 2 | \(1{,}5 + 0{,}5 \times 2 = 2{,}5\) |
| 3 | 1,5 | 2,5 | — | — |
La solution exacte est \(y(t) = t^2 + 1\) (primitive de \(2t\) valant \(1\) en \(0\)). En \(t = 1{,}5\), elle vaut \(1{,}5^2 + 1 = 3{,}25\), alors qu'Euler donne \(2{,}5\) : l'écart s'explique par la taille du pas. Avec \(h\) plus petit, l'approximation se rapproche de \(3{,}25\).
Simulation — influence du pas h
Sur le problème de Cauchy \(y' = y\), \(y(0) = 1\), la solution exacte est \(y(t) = e^{t}\). Diminue le pas \(h\) et regarde la ligne brisée d'Euler se rapprocher de la solution exacte.
Ici \(f(t) = t + 1\), \(t_0 = 0\), \(y_0 = 2\).
\(y_1 = y_0 + h\,f(t_0) = 2 + 1 \times (0 + 1) = 3\), avec \(t_1 = 1\).
\(y_2 = y_1 + h\,f(t_1) = 3 + 1 \times (1 + 1) = 5\), avec \(t_2 = 2\).
IV. Méthodes-types
- Primitiver chaque terme \(a\,x^n\) en \(a\,\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\).
- Ajouter la constante \(+k\).
- Vérifier en dérivant : on doit retomber sur \(f\).
Exemple résolu. \(f(x) = 6x^2 - 2x\) \(\Rightarrow\) \(F(x) = 6\cdot\tfrac{x^3}{3} - 2\cdot\tfrac{x^2}{2} + k = 2x^3 - x^2 + k\).
- Écrire la primitive générale \(F(x) + k\).
- Remplacer par la condition \(F(t_0) = y_0\) et résoudre en \(k\).
- Écrire la primitive avec la valeur trouvée de \(k\).
Exemple résolu. \(f(x) = 3x^2\), on veut \(F(1) = 4\). \(F(x) = x^3 + k\) ; \(F(1) = 1 + k = 4\) donne \(k = 3\). D'où \(F(x) = x^3 + 3\).
- Repérer \(f(t)\), le point initial \((t_0\,; y_0)\) et le pas \(h\).
- Dresser un tableau : colonnes \(t_n\), \(y_n\), \(f(t_n)\).
- Appliquer \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\) et \(t_{n+1} = t_n + h\) ligne après ligne.
Exemple résolu. \(y' = 2t\), \(y(0)=1\), \(h=0{,}5\) : \(y_1 = 1 + 0{,}5\times 0 = 1\), \(y_2 = 1 + 0{,}5\times 1 = 1{,}5\), \(y_3 = 1{,}5 + 0{,}5\times 2 = 2{,}5\).
Lien avec la physique
- Cinématique : la vitesse est la dérivée de la position, donc la position est une primitive de la vitesse : \(x(t)\) est la primitive de \(v(t)\) telle que \(x(t_0) = x_0\). De même, \(v(t)\) est une primitive de l'accélération \(a(t)\).
- Mouvement uniformément accéléré : si \(a(t) = a\) (constante), alors \(v(t) = a\,t + v_0\) et \(x(t) = \tfrac12 a\,t^2 + v_0 t + x_0\) — on reconnaît des primitives successives.
- Énergie : la puissance est la dérivée de l'énergie par rapport au temps ; l'énergie est donc une primitive de la puissance : \(E(t)\) primitive de \(P(t)\).
Algorithmique et Python
La méthode d'Euler s'automatise très simplement. Le programme ci-dessous renvoie la liste des points \((t_n\,; y_n)\) pour le problème de Cauchy \(y' = f(t)\), \(y(t_0) = y_0\).
def euler(f, t0, y0, h, n):
"""Renvoie les points (t, y) de l'approximation d'Euler.
f : fonction second membre y' = f(t)
t0, y0 : conditions initiales h : pas n : nombre d'etapes"""
t, y = t0, y0
points = [(t, y)]
for k in range(n):
y = y + h * f(t) # y_{n+1} = y_n + h * f(t_n)
t = t + h # t_{n+1} = t_n + h
points.append((t, y))
return points
# Exemple : y' = 2t, y(0) = 1, pas 0.5, 3 etapes
f = lambda t: 2 * t
for t, y in euler(f, 0, 1, 0.5, 3):
print(t, y)
# 0 1 | 0.5 1.0 | 1.0 1.5 | 1.5 2.5
# solution exacte y = t**2 + 1 -> y(1.5) = 3.25 (l'ecart vient du pas)En diminuant le pas \(h\) (donc en augmentant \(n\) pour couvrir le même intervalle), la ligne brisée obtenue se rapproche de la courbe solution exacte.
Erreurs fréquentes / points de vigilance
❌ Primitiver \(x^n\) en \(n\,x^{n-1}\) (c'est la dérivée).
✅ Primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) — on augmente l'exposant.
❌ Oublier la constante \(+k\).
✅ Une fonction a une infinité de primitives ; toujours écrire \(F(x) + k\).
❌ Écrire une primitive de \(A\cos(\omega t)\) sans diviser par \(\omega\).
✅ \(A\cos(\omega t + \varphi) \to \dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi)\).
❌ Se tromper de signe : primitive de \(\sin\) prise en \(+\cos\).
✅ Primitive de \(\sin\) : \(-\cos\) ; primitive de \(\cos\) : \(+\sin\).
❌ Dans Euler, utiliser \(f(t_{n+1})\) au lieu de \(f(t_n)\).
✅ Le schéma est \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\) : on évalue la pente au point de départ du pas.
L'essentiel à retenir
- Primitive : \(F\) est une primitive de \(f\) si \(F' = f\). Deux primitives diffèrent d'une constante \(k\).
- Puissance : primitive de \(x^n\) = \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (\(+k\)).
- Polynôme : primitiver terme à terme.
- Sinusoïdes : \(A\cos(\omega t + \varphi) \to \dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi)\) ; \(A\sin(\omega t + \varphi) \to -\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi)\).
- Condition initiale : une seule primitive vérifie \(F(t_0) = y_0\).
- Méthode d'Euler : \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\), \(t_{n+1} = t_n + h\) — approximation de la solution de \(y' = f(t)\), \(y(t_0) = y_0\).