Exercices – Chapitre 15

Chapitre 15 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles :

Primitive : \(F\) primitive de \(f\) \(\iff\) \(F' = f\) ; deux primitives diffèrent d'une constante \(k\).
Primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) ; on primitive un polynôme terme à terme.
\(A\cos(\omega t + \varphi) \to \dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi)\) ; \(A\sin(\omega t + \varphi) \to -\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi)\).
Euler : \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\), \(t_{n+1} = t_n + h\).

Exercice 1 — Reconnaître une primitive

Dans chaque cas, vérifier (par dérivation) que \(F\) est une primitive de \(f\).

1. \(f(x) = 6x^2\), \(F(x) = 2x^3\).

2. \(f(x) = \cos(x)\), \(F(x) = \sin(x) + 3\).

3. \(f(t) = 4\sin(2t)\), \(F(t) = -2\cos(2t)\).

1. \(F'(x) = 6x^2 = f(x)\). ✓

2. \(F'(x) = \cos(x) = f(x)\) (la constante \(3\) disparaît). ✓

3. \(F'(t) = -2 \times (-2\sin(2t)) = 4\sin(2t) = f(t)\). ✓

Exercice 2 — Primitives d'un polynôme

Déterminer l'ensemble des primitives (avec la constante \(k\)).

1. \(f(x) = 3x^2 - 2x + 5\).

2. \(g(x) = 4x^3 + x\).

3. \(h(x) = 5\).

1. \(F(x) = x^3 - x^2 + 5x + k\).

2. \(G(x) = x^4 + \dfrac{x^2}{2} + k\).

3. \(H(x) = 5x + k\).

Exercice 3 — Primitives de fonctions sinusoïdales

Déterminer une primitive de chaque fonction sur \(\mathbb{R}\).

1. \(f(t) = \cos(3t)\).

2. \(g(t) = 6\sin(2t)\).

3. \(u(t) = 10\cos\!\big(100t + \tfrac{\pi}{3}\big)\).

1. \(F(t) = \dfrac{1}{3}\sin(3t)\).

2. \(G(t) = -\dfrac{6}{2}\cos(2t) = -3\cos(2t)\).

3. \(U(t) = \dfrac{10}{100}\sin\!\big(100t + \tfrac{\pi}{3}\big) = 0{,}1\,\sin\!\big(100t + \tfrac{\pi}{3}\big)\).

Exercice 4 — Primitive vérifiant une condition initiale

1. Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 2x - 3\) telle que \(F(0) = 4\).

2. Déterminer la primitive \(G\) de \(g(x) = 3x^2 + 1\) telle que \(G(1) = 0\).

1. Primitives : \(F(x) = x^2 - 3x + k\). \(F(0) = k = 4\), donc \(F(x) = x^2 - 3x + 4\).

2. Primitives : \(G(x) = x^3 + x + k\). \(G(1) = 1 + 1 + k = 2 + k = 0\), donc \(k = -2\) et \(G(x) = x^3 + x - 2\).

Exercice 5 — Cinématique : de la vitesse à la position

Un mobile se déplace sur un axe. Sa vitesse (en m/s) est \(v(t) = 3t^2 - 4t\) et sa position initiale est \(x(0) = 2\) m.

1. Sachant que \(x\) est une primitive de \(v\), déterminer les primitives de \(v\).

2. En utilisant \(x(0) = 2\), déterminer la loi horaire \(x(t)\).

3. Calculer la position à \(t = 2\) s.

1. \(x(t) = t^3 - 2t^2 + k\).

2. \(x(0) = k = 2\), donc \(x(t) = t^3 - 2t^2 + 2\).

3. \(x(2) = 8 - 8 + 2 = 2\) m.

Exercice 6 — Méthode d'Euler (tableau)

On approche la solution de \(y' = t^2\), \(y(0) = 0\), avec un pas \(h = 1\).

1. Rappeler le schéma d'Euler.

2. Compléter le tableau des valeurs pour \(t_0 = 0\) à \(t_3 = 3\).

\(n\)	\(t_n\)	\(y_n\)	\(f(t_n) = t_n^2\)
0	0	0	…
1	1	…	…
2	2	…	…
3	3	…	—

1. \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\) avec \(h = 1\), soit \(y_{n+1} = y_n + t_n^2\).

2. \(f(t_0) = 0^2 = 0\) donc \(y_1 = 0 + 0 = 0\).

\(f(t_1) = 1^2 = 1\) donc \(y_2 = 0 + 1 = 1\).

\(f(t_2) = 2^2 = 4\) donc \(y_3 = 1 + 4 = 5\).

Tableau final : \(y_0 = 0,\ y_1 = 0,\ y_2 = 1,\ y_3 = 5\). (Solution exacte \(y = \tfrac{t^3}{3}\) : \(y(3) = 9\) ; l'écart vient du pas.)

Exercice 7 — Euler avec un second membre non primitivable

On étudie \(y' = \dfrac{1}{1 + t^2}\), \(y(0) = 0\). Cette fonction n'a pas de primitive simple ; on utilise Euler avec un pas \(h = 0{,}5\).

1. Calculer \(f(0)\), \(f(0{,}5)\) et \(f(1)\) (arrondir au centième).

2. En déduire \(y_1\), \(y_2\) et \(y_3\) (approximations de \(y(0{,}5)\), \(y(1)\), \(y(1{,}5)\)).

1. \(f(0) = \dfrac{1}{1+0} = 1\) ; \(f(0{,}5) = \dfrac{1}{1 + 0{,}25} = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80\) ; \(f(1) = \dfrac{1}{2} = 0{,}50\).

2. \(y_1 = y_0 + 0{,}5 \times f(0) = 0 + 0{,}5 \times 1 = 0{,}5\).

\(y_2 = y_1 + 0{,}5 \times f(0{,}5) = 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}80 = 0{,}90\).

\(y_3 = y_2 + 0{,}5 \times f(1) = 0{,}90 + 0{,}5 \times 0{,}50 = 1{,}15\).

Problème type — Charge d'un condensateur (loi horaire et énergie)

Lors de la charge d'un condensateur, l'intensité du courant qui l'alimente est modélisée, sur un court intervalle, par \(i(t) = 0{,}02 - 0{,}004\,t\) (en ampères, \(t\) en secondes). La charge \(q\) portée par le condensateur vérifie \(q'(t) = i(t)\), et à l'instant initial \(q(0) = 0\).

1. Justifier que \(q\) est une primitive de \(i\).

2. Déterminer les primitives de \(i\), puis la loi horaire \(q(t)\) grâce à \(q(0) = 0\).

3. Calculer la charge à \(t = 2\) s.

4. La tension aux bornes du condensateur est \(u(t) = \dfrac{q(t)}{C}\) avec \(C = 1000\ \mu\text{F} = 10^{-3}\) F. Calculer \(u(2)\).

5. On veut vérifier ce calcul par la méthode d'Euler sur \(q\), avec un pas \(h = 1\) s. Calculer \(q_1\) et \(q_2\), puis comparer à la valeur exacte \(q(2)\).

1. Par définition, \(q'(t) = i(t)\) : \(q\) est donc une fonction dont la dérivée est \(i\), c'est-à-dire une primitive de \(i\).

2. Primitives : \(q(t) = 0{,}02\,t - 0{,}004 \times \dfrac{t^2}{2} + k = 0{,}02\,t - 0{,}002\,t^2 + k\). Avec \(q(0) = k = 0\), on a \(q(t) = 0{,}02\,t - 0{,}002\,t^2\).

3. \(q(2) = 0{,}02 \times 2 - 0{,}002 \times 4 = 0{,}04 - 0{,}008 = 0{,}032\) C.

4. \(u(2) = \dfrac{q(2)}{C} = \dfrac{0{,}032}{10^{-3}} = 32\) V.

5. Schéma : \(q_{n+1} = q_n + h\,i(t_n)\) avec \(h = 1\). \(i(0) = 0{,}02\) donc \(q_1 = 0 + 1 \times 0{,}02 = 0{,}02\). \(i(1) = 0{,}02 - 0{,}004 = 0{,}016\) donc \(q_2 = 0{,}02 + 1 \times 0{,}016 = 0{,}036\) C. La valeur exacte est \(0{,}032\) C : Euler surestime légèrement (pas trop grand), mais l'ordre de grandeur est correct.