Fiche – Primitives et méthode d'Euler

Chapitre 15 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

\(F\) est une primitive de \(f\) si \(F' = f\). Primitiver = « remonter » la dérivation.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : \(F(x) + k\).
Primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (on augmente l'exposant, on divise par le nouvel).
Une condition initiale \(F(t_0) = y_0\) fixe la constante \(k\) → une seule primitive.
Euler : \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\) approche la solution de \(y' = f(t)\), \(y(t_0) = y_0\).

Définitions clés

Définition

Primitive : \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\).

Définition

Problème de Cauchy : \(y' = f(t)\) et \(y(t_0) = y_0\). La solution est l'unique primitive de \(f\) prenant la valeur \(y_0\) en \(t_0\).

À connaître par cœur

Primitives usuelles (à une constante \(+k\) près) \[a \ \to\ a\,x \qquad x^n \ \to\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\] \[\cos(x) \ \to\ \sin(x) \qquad \sin(x) \ \to\ -\cos(x)\]

Primitives sinusoïdales \[A\cos(\omega t + \varphi) \ \to\ \dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi)\] \[A\sin(\omega t + \varphi) \ \to\ -\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi)\]

Linéarité (polynômes) \[a f + b g \ \to\ a F + b G \quad\text{(on primitive terme à terme)}\]

Schéma d'Euler \[t_{n+1} = t_n + h \qquad y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\]

Liens avec la physique

Position = primitive de la vitesse ; vitesse = primitive de l'accélération.
Mouvement uniformément accéléré : \(v = a\,t + v_0\), \(x = \tfrac12 a\,t^2 + v_0 t + x_0\).
Énergie = primitive de la puissance.

Méthode — Calculer et construire

Méthode — Primitive avec condition initiale

Écrire la primitive générale \(F(x) + k\) (primitiver terme à terme).
Imposer \(F(t_0) = y_0\) et résoudre en \(k\).
Vérifier en dérivant.

Méthode — Méthode d'Euler

Repérer \(f(t)\), le point \((t_0\,; y_0)\), le pas \(h\).
Tableau : \(t_n\), \(y_n\), \(f(t_n)\).
Appliquer \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\), \(t_{n+1} = t_n + h\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Primitiver \(x^n\) en \(n\,x^{n-1}\).

✅ Primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\).

❌ Oublier la constante \(+k\).

✅ Toujours écrire \(F(x) + k\).

❌ Primitive de \(A\cos(\omega t)\) sans le facteur \(\dfrac1\omega\).

✅ \(\dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t)\).

❌ Dans Euler, prendre \(f(t_{n+1})\).

✅ Pente évaluée au départ du pas : \(f(t_n)\).

Exemple rapide

Exemple — un problème de Cauchy résolu

\(y' = 3x^2\), \(y(1) = 4\).

Primitives : \(y(x) = x^3 + k\).
Condition : \(y(1) = 1 + k = 4 \Rightarrow k = 3\).
Solution : \(y(x) = x^3 + 3\).