Chapitre 13 – Nombres complexes

Chapitre 13 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Illustration : Deux élèves étudient un complexe z dans le premier quadrant du plan complexe, avec ses projections réelle et imaginaire, son module r et son argument θ. — Représenter un complexe par ses coordonnées, son module et son argument.

Objectifs du chapitre

Connaître la forme algébrique \(z=a+ib\) d'un nombre complexe ; identifier sa partie réelle et sa partie imaginaire
Déterminer et utiliser le conjugué \(\bar z\) et le module \(|z|\) d'un nombre complexe
Représenter un nombre complexe dans un repère orthonormé direct ; associer l'affixe d'un point et d'un vecteur
Calculer la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes
Utiliser le conjugué et le module d'un produit et d'un quotient
Déterminer un argument et écrire la forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et réciproquement, et interpréter géométriquement chaque élément

Les nombres complexes prolongent l'ensemble des réels : ils permettent de donner un sens à \(\sqrt{-1}\) et de résoudre des équations comme \(x^2+1=0\). En physique et en électricité, ils servent notamment à représenter les grandeurs sinusoïdales (tensions, courants). Dans ce chapitre, on reste en forme algébrique et trigonométrique : la notation exponentielle est étudiée en terminale.

I. Forme algébrique d'un nombre complexe

1. Le nombre \(i\) et la forme algébrique

Définition — Nombre complexe, forme algébrique

Il existe un ensemble de nombres, noté \(\mathbb{C}\), qui contient \(\mathbb{R}\) et un nombre particulier \(i\) vérifiant :

\[i^2=-1.\]

Tout nombre complexe \(z\) s'écrit de manière unique sous la forme algébrique

\[z=a+ib,\qquad a\in\mathbb{R},\ b\in\mathbb{R}.\]

Le réel \(a\) est la partie réelle de \(z\), notée \(\operatorname{Re}(z)\) ; le réel \(b\) est la partie imaginaire de \(z\), notée \(\operatorname{Im}(z)\). Attention : la partie imaginaire \(b\) est un nombre réel.

Propriété — Égalité de deux complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :

\[a+ib=a'+ib' \iff (a=a' \ \text{et}\ b=b').\]

En particulier, \(z=0 \iff (\operatorname{Re}(z)=0 \ \text{et}\ \operatorname{Im}(z)=0)\).

Définition — Réel, imaginaire pur

Si \(b=0\), alors \(z=a\) est un nombre réel : \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\).
Si \(a=0\) (et \(b\ne 0\)), alors \(z=ib\) est un imaginaire pur.

Attention

La partie imaginaire de \(z=3-5i\) est \(\operatorname{Im}(z)=-5\) (le réel devant \(i\)), et non \(-5i\). De même \(\operatorname{Re}(3-5i)=3\).

Exemple

Pour \(z=4+3i\) : \(\operatorname{Re}(z)=4\) et \(\operatorname{Im}(z)=3\). Pour \(z'=-2i\) : \(\operatorname{Re}(z')=0\), \(\operatorname{Im}(z')=-2\), c'est un imaginaire pur. Pour \(z''=7\) : \(\operatorname{Im}(z'')=0\), c'est un réel.

Exercice d'application 1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de \(z_1=-1+6i\), \(z_2=5\), \(z_3=-4i\). Lesquels sont réels ? imaginaires purs ?

\(\operatorname{Re}(z_1)=-1,\ \operatorname{Im}(z_1)=6\) ; \(\operatorname{Re}(z_2)=5,\ \operatorname{Im}(z_2)=0\) ; \(\operatorname{Re}(z_3)=0,\ \operatorname{Im}(z_3)=-4\).

\(z_2=5\) est réel ; \(z_3=-4i\) est imaginaire pur.

2. Représentation dans le plan complexe

Définition — Affixe d'un point, plan complexe

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec u,\vec v)\). À tout nombre complexe \(z=a+ib\) on associe le point \(M\) de coordonnées \((a\,;b)\) : \(M\) est l'image de \(z\), et \(z\) est l'affixe de \(M\), notée \(z_M\).

L'axe des abscisses porte les réels : c'est l'axe réel. L'axe des ordonnées porte les imaginaires purs : c'est l'axe imaginaire.

Le point \(M\) d'affixe \(z=a+ib\) : abscisse \(a=\operatorname{Re}(z)\), ordonnée \(b=\operatorname{Im}(z)\). La longueur \(OM\) est le module \(|z|=r\) ; l'angle \(\theta\) est un argument.

Définition — Affixe d'un vecteur

Un vecteur \(\vec w\) de coordonnées \((a\,;b)\) dans le repère \((O\,;\vec u,\vec v)\) a pour affixe le complexe \(z_{\vec w}=a+ib\). En particulier, l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{OM}\) est égale à l'affixe du point \(M\).

Propriété — Affixe d'un vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Si \(A\) a pour affixe \(z_A\) et \(B\) pour affixe \(z_B\), alors :

\[z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.\]

L'affixe du milieu \(I\) de \([AB]\) est \(z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}\).

Exercice d'application 2. Placer les points \(A(2+i)\), \(B(-1+3i)\). Déterminer l'affixe de \(\overrightarrow{AB}\), puis celle du milieu \(I\) de \([AB]\).

\(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(-1+3i)-(2+i)=-3+2i\).

\(z_I=\dfrac{(2+i)+(-1+3i)}{2}=\dfrac{1+4i}{2}=\dfrac{1}{2}+2i\).

II. Conjugué et module

1. Conjugué

Définition — Conjugué

Le conjugué du complexe \(z=a+ib\) est le complexe :

\[\bar z=a-ib.\]

Géométriquement, l'image de \(\bar z\) est le symétrique de l'image de \(z\) par rapport à l'axe réel.

\(\bar z\) est le symétrique de \(z\) par rapport à l'axe réel.

Propriété — Conjugué, partie réelle et imaginaire

Pour tout complexe \(z\) :

\[z+\bar z=2\operatorname{Re}(z),\qquad z-\bar z=2i\operatorname{Im}(z),\qquad \overline{\bar z}=z.\]

De plus \(z\) est réel \(\iff \bar z=z\) ; \(z\) est imaginaire pur \(\iff \bar z=-z\).

2. Module

Définition — Module

Le module du complexe \(z=a+ib\) est le réel positif :

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Géométriquement, \(|z|=OM\) est la distance de l'origine au point \(M\) d'affixe \(z\). Plus généralement, \(|z_B-z_A|=AB\).

Propriété — Module et conjugué

Pour tout complexe \(z=a+ib\) :

\[z\times\bar z=a^2+b^2=|z|^2,\qquad |\bar z|=|z|,\qquad |z|\ge 0.\]

De plus \(|z|=0 \iff z=0\).

Exemple

Pour \(z=3+4i\) : \(\bar z=3-4i\) et \(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).

Vérification : \(z\bar z=(3+4i)(3-4i)=9-12i+12i-16i^2=9+16=25=|z|^2\). ✓

Exercice d'application 3. Calculer \(\bar z\) et \(|z|\) pour \(z=-5+12i\), puis pour \(z'=1-i\).

\(\bar z=-5-12i\) ; \(|z|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).

\(\bar{z'}=1+i\) ; \(|z'|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\).

III. Opérations : somme, produit, quotient

1. Somme et produit

Propriété — Somme et produit

On calcule comme avec des réels, en remplaçant \(i^2\) par \(-1\). Pour \(z=a+ib\) et \(z'=a'+ib'\) :

\[z+z'=(a+a')+i(b+b'),\] \[z\times z'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b).\]

Exemple — produit détaillé

Soit \(z=2+3i\) et \(z'=1-4i\).

\[z z'=(2+3i)(1-4i)=2-8i+3i-12i^2=2-8i+3i+12=14-5i.\]

(On a utilisé \(-12i^2=-12\times(-1)=+12\).)

Propriété — Conjugué et module d'un produit

Pour tous complexes \(z\) et \(z'\) :

\[\overline{z+z'}=\bar z+\bar{z'},\qquad \overline{z\, z'}=\bar z\times\bar{z'},\qquad |z\, z'|=|z|\times|z'|.\]

2. Inverse et quotient

Méthode — Écrire un quotient sous forme algébrique

Pour mettre \(\dfrac{z}{z'}\) (avec \(z'\ne 0\)) sous forme \(a+ib\), on multiplie le haut et le bas par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient réel, car \(z'\bar{z'}=|z'|^2\).

Exemple résolu. Calculons \(\dfrac{2+i}{3-i}\).

\[\frac{2+i}{3-i}=\frac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{6+2i+3i+i^2}{9-i^2}=\frac{6+5i-1}{9+1}=\frac{5+5i}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i.\]

Propriété — Conjugué et module d'un quotient

Pour tous complexes \(z\) et \(z'\) avec \(z'\ne 0\) :

\[\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}=\frac{\bar z}{\bar{z'}},\qquad \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}.\]

En particulier \(\left|\dfrac{1}{z'}\right|=\dfrac{1}{|z'|}\).

Exercice d'application 4. On pose \(z=1+2i\) et \(z'=2-i\). Calculer \(z+z'\), \(zz'\), puis \(\dfrac{z}{z'}\) sous forme algébrique. Vérifier que \(|zz'|=|z|\,|z'|\).

\(z+z'=(1+2)+(2-1)i=3+i\).

\(zz'=(1+2i)(2-i)=2-i+4i-2i^2=2+3i+2=4+3i\).

\(\dfrac{z}{z'}=\dfrac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{2+i+4i+2i^2}{4+1}=\dfrac{2+5i-2}{5}=\dfrac{5i}{5}=i\).

\(|zz'|=|4+3i|=\sqrt{16+9}=5\) ; \(|z|=\sqrt{5}\), \(|z'|=\sqrt{5}\), donc \(|z||z'|=5\). ✓

IV. Argument et forme trigonométrique

1. Argument d'un nombre complexe non nul

Définition — Argument

Soit \(z\) un complexe non nul, d'image \(M\). Un argument de \(z\), noté \(\arg(z)\), est une mesure (en radians) de l'angle orienté \((\vec u\,;\overrightarrow{OM})\). Il est défini à \(2\pi\) près.

Module \(r=|z|=OM\) et argument \(\theta=\arg(z)\). Les projections donnent \(a=r\cos\theta\) et \(b=r\sin\theta\).

Attention

Le nombre \(0\) n'a pas d'argument (le point est confondu avec \(O\), aucun angle n'est défini). Le module et l'argument ne se définissent ensemble que pour \(z\ne 0\).

2. Forme trigonométrique

Définition — Forme trigonométrique

Tout complexe non nul \(z\) de module \(r=|z|\) et d'argument \(\theta\) s'écrit sous la forme trigonométrique :

\[z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big),\qquad r=|z|\gt 0.\]

Propriété — Lien entre les deux formes

Si \(z=a+ib=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), alors, en identifiant partie réelle et partie imaginaire :

\[a=r\cos\theta,\qquad b=r\sin\theta,\] \[r=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\theta=\frac{a}{r},\qquad \sin\theta=\frac{b}{r}.\]

Méthode — Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Calculer le module \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
Calculer \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).
Reconnaître l'angle \(\theta\) grâce au cercle trigonométrique (signes de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) → bon quadrant).

Exemple résolu. Écrivons \(z=1+i\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.

\(r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2\). Puis \(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\) et \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\). Ainsi \(z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\).

Méthode — Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique

On calcule directement \(a=r\cos\theta\) et \(b=r\sin\theta\), puis on écrit \(z=a+ib\).

Exemple résolu. Soit \(z=4\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\). Alors \(a=4\cos\dfrac{\pi}{6}=4\times\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\) et \(b=4\sin\dfrac{\pi}{6}=4\times\dfrac{1}{2}=2\). Donc \(z=2\sqrt3+2i\).

Valeurs remarquables utiles

\(\theta\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos\theta\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin\theta\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)

Exemple — interpréter géométriquement

Soit \(z=-2+2i\). Le module vaut \(|z|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\) : c'est la distance \(OM\). Puis \(\cos\theta=\dfrac{-2}{2\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(\sin\theta=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) : le point est dans le 2ᵉ quadrant, \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\). D'où \(z=2\sqrt2\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\).

Exercice d'application 5. Écrire \(z=3i\) puis \(z'=-2\) sous forme trigonométrique.

\(z=3i\) : \(r=|3i|=3\), \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) et \(z=3\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\).

\(z'=-2\) : \(r=2\), \(\cos\theta=-1\), \(\sin\theta=0\), donc \(\theta=\pi\) et \(z'=2\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)\).

Exercice d'application 6. Donner la forme algébrique de \(z=6\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\).

\(a=6\cos\dfrac{\pi}{3}=6\times\dfrac12=3\) et \(b=6\sin\dfrac{\pi}{3}=6\times\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\). Donc \(z=3+3\sqrt3\,i\).

3. Simulation — module et argument dans le plan complexe

Fais varier \(a\) (partie réelle) et \(b\) (partie imaginaire) et observe le point \(M\) d'affixe \(z=a+ib\), son module \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) et son argument \(\theta=\arg(z)\).

Partie réelle a :
Partie imaginaire b :

Un lien avec la physique

En électricité, une tension sinusoïdale \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\) se représente par un complexe de module \(U_m\) (l'amplitude) et d'argument \(\varphi\) (la phase à l'origine). La forme trigonométrique traduit alors directement l'amplitude et le déphasage d'une grandeur : c'est un outil central en régime sinusoïdal, approfondi en terminale.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Écrire \(i^2=1\) ou oublier le signe.

✅ \(i^2=-1\) : par exemple \(-3i^2=+3\).

❌ Dire que la partie imaginaire de \(a+ib\) est \(ib\).

✅ \(\operatorname{Im}(a+ib)=b\), un réel.

❌ Écrire un quotient sans multiplier par le conjugué.

✅ On multiplie haut et bas par \(\bar{z'}\) : le dénominateur devient \(|z'|^2\).

❌ Confondre module et argument, ou chercher l'argument de \(0\).

✅ \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\ge0\) ; l'argument (angle) n'existe que si \(z\ne0\).

❌ Oublier de vérifier le quadrant en cherchant \(\theta\).

✅ Les signes de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) fixent le bon angle.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Nombre \(i\) : \(i^2=-1\) ; forme algébrique \(z=a+ib\), \(\operatorname{Re}(z)=a\), \(\operatorname{Im}(z)=b\).
Conjugué : \(\bar z=a-ib\) (symétrique par rapport à l'axe réel) ; \(z\bar z=|z|^2\).
Module : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=OM\).
Affixe : \(M(a\,;b)\leftrightarrow z=a+ib\) ; \(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A\).
Opérations : \(\overline{zz'}=\bar z\,\bar{z'}\), \(|zz'|=|z||z'|\), \(\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}\) ; quotient : multiplier par le conjugué.
Forme trigonométrique : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), \(r=|z|\), \(a=r\cos\theta\), \(b=r\sin\theta\).