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Fiche – Nombres complexes
Chapitre 13 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- Nombre \(i\) : \(i^2=-1\). Forme algébrique \(z=a+ib\) avec \(a=\operatorname{Re}(z)\), \(b=\operatorname{Im}(z)\) (réels).
- Conjugué : \(\bar z=a-ib\) (symétrie par rapport à l'axe réel). Module : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=OM\).
- Affixe : le point \(M(a\,;b)\) a pour affixe \(z=a+ib\) ; \(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A\).
- Un quotient se met sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur.
- Forme trigonométrique : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), \(r=|z|\), \(\theta=\arg(z)\).
Définitions clés
Définition
Forme algébrique : \(z=a+ib\), \(a,b\in\mathbb{R}\), avec \(i^2=-1\). \(z\) réel si \(b=0\), imaginaire pur si \(a=0\).
Définition
Conjugué : \(\bar z=a-ib\). Module : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\ge0\), c'est la distance \(OM\).
Définition
Affixe : à \(z=a+ib\) on associe le point \(M(a\,;b)\) (image) et le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) d'affixe \(z\), dans un repère orthonormé direct.
Définition
Argument : pour \(z\ne0\), \(\arg(z)=\theta\) est une mesure de l'angle \((\vec u\,;\overrightarrow{OM})\), à \(2\pi\) près. Forme trigonométrique : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
À connaître par cœur
Conjugué et module
\[\bar z=a-ib,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\bar z=|z|^2\]
Conjugué et module d'un produit / quotient
\[\overline{z z'}=\bar z\,\bar{z'},\qquad |z z'|=|z|\,|z'|\]
\[\overline{\left(\tfrac{z}{z'}\right)}=\tfrac{\bar z}{\bar{z'}},\qquad \left|\tfrac{z}{z'}\right|=\tfrac{|z|}{|z'|}\]
Affixes
\[z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A,\qquad AB=|z_B-z_A|,\qquad z_I=\tfrac{z_A+z_B}{2}\]
Lien algébrique ↔ trigonométrique
\[a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta,\quad r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\theta=\tfrac{a}{r},\ \sin\theta=\tfrac{b}{r}\]
Valeurs remarquables
| \(\theta\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
Méthode — Calculs et conversions
Méthode — Quotient sous forme algébrique
- Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
- Le dénominateur devient \(|z'|^2\) (un réel).
- Développer le numérateur (avec \(i^2=-1\)) et séparer partie réelle / imaginaire.
Méthode — Forme algébrique → trigonométrique
- Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Calculer \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).
- Identifier le quadrant grâce aux signes, puis reconnaître \(\theta\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Oublier \(i^2=-1\) (écrire \(i^2=1\)).
✅ \(i^2=-1\) : par ex. \((2i)^2=-4\).
❌ Dire \(\operatorname{Im}(a+ib)=ib\).
✅ \(\operatorname{Im}(a+ib)=b\), un réel.
❌ Diviser sans multiplier par le conjugué.
✅ Multiplier haut et bas par \(\bar{z'}\).
❌ Chercher un argument de \(0\).
✅ L'argument n'existe que pour \(z\ne0\).
Exemple rapide
Exemple — un complexe, plusieurs lectures
\(z=3+4i\).
- \(\operatorname{Re}(z)=3\), \(\operatorname{Im}(z)=4\), \(\bar z=3-4i\).
- \(|z|=\sqrt{9+16}=5\) (distance \(OM\)).
- \(z\bar z=(3+4i)(3-4i)=9+16=25=|z|^2\).
Autre : \(z=1+i\) → \(r=\sqrt2\), \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\), donc \(z=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\).